gleichförmig dichten unendlich dünnen Kugelschale gelten. Und da jede Kugel in unendlich dünne mit ihr concentrische Kugelschalen zerlegt werden kann, so wird auch eine Kugel, wenn sie gleichförmig dicht ist, oder auch, wenn nur je zwei gleich weit vom Mittelpunkte entfernte Theilchen derselben gleiche Dichtigkeit haben, einen ausser ihr befindlichen Punkt eben so anziehen, als wenn ihre Masse in ihrem Mittelpunkte vereinigt wäre. Bezeichnet daher M die Masse einer solchen Kugel und C ihren Mittelpunkt, so wird von ihr der materielle Punkt P mit einer Kraft b) Heisst p die Masse des materiellen Punktes P, so ist die bewegende Kraft, mit welcher P nach der Kugel hingetrieben wird, gleich dem Producte aus p in die beschleunigende Kraft (§. 61), also und nach PC gerichtet. Sie ist zusammengesetzt aus den bewegenden Kräften, mit denen P nach den einzelnen Massentheilchen der Kugel getrieben wird. Da aber die Anziehung immer gegenseitig ist, und da bei zwei sich anziehenden Theilchen die bewegenden Kräfte, mit denen sie gegen einander getrieben werden, sich gleich sind (ebendas.), so ist auch die Resultante der bewegenden Kräfte, mit denen die Theilchen der Kugel nach P hin getrieben werden, gleich KMp: PC und nach CP gerichtet. Zufolge der Anziehung von P wirkt demnach auf die Kugel eine nach CP gerichtete beschleunigende Kraft c) Wird die Kugel, ausser von P, noch von mehreren anderen Punkten P', P",.. deren Massen = p', p",... sind, angezogen, so wirken auf die Kugel gleichzeitig nach CP, CP', CP",... gerichtete Kräfte, welche resp. Ist P ein Punkt innerhalb der Kugel, so zerlege man sie durch eine durch P beschriebene concentrische Kugelfläche in eine kleinere Kugel und eine Kugelschale. Weil P auf der Oberfläche der kleineren Kugel und daher ausserhalb dieser Kugel liegt, so wird er von ihr eben so angezogen, als ob ihre Masse in C vereinigt wäre. Und dieses ist auch die Anziehung der ganzen Kugel, weil die Anziehung jeder der unendlich dünnen concentrischen Schalen, in welche man die ganze Schale zerlegen kann, nach §. 70, c) Null ist. sind. Nehmen wir nun an, dass alle diese materiellen Punkte eine zweite Kugel bilden, bei welcher, wie bei der ersten, in gleicher Entfernung vom Mittelpunkte gleiche Dichtigkeit statt findet, und bezeichnen wir die Masse dieser zweiten Kugel, p + p' + p" +..., p+ mit M1 und ihren Mittelpunkt mit C1, so lassen sich, nach dem in a) Bemerkten, alle jene Kräfte, deren Richtungen in C zusammentreffen, zu einer einzigen K. M = CC eben verbinden, deren Richtung CC, ist; d. h. die erste Kugel wird von der zweiten und folglich auch die zweite von der ersten so angezogen, als ob die Massen beider Kugeln in ihren Mittelpunkten vereinigt wären. Wenn demnach auf zwei oder auch mehrere Kugeln, deren jede in gleicher Entfernung von ihrem Mittelpunkte gleiche Dichtigkeit hat, keine anderen Kräfte, als ihre gegenseitige Anziehung, wirken, so bewegen sich die Mittelpunkte eben so, als ob sie allein vorhanden und in ihnen die Massen der Kugeln vereinigt wären. Man sieht, wie dieses Resultat unmittelbare Anwendung auf die Bewegung der Himmelskörper leidet, und dass wir bei Berechnung der Bahnen ihrer Mittelpunkte, wie bisher, so auch fernerhin die Dimensionen dieser Körper ganz unberücksichtigt lassen können. Allerdings zeigen einige derselben eine kleine Abweichung von der Kugelgestalt. Der Einfluss dieser Abweichung auf die Bewegung der von ihnen angezogenen Körper ist aber bei ihren grossen Entfernungen von einander so gering, dass er jeder Beobachtung entgehen muss, mit Ausnahme der noch wahrnehmbaren Störungen, welche die abgeplattete Gestalt Jupiters in den Bewegungen seiner Trabanten hervorbringt, und mit Ausnahme des kleinen Einflusses der Abplattung der Erde auf die Bewegung des Mondes. §. 72. Die Kraft, mit welcher ein Himmelskörper einen anderen Körper anzieht, ist nach §. 71 umgekehrt proportional dem Quadrate der Entfernung des anderen vom Mittelpunkte des ersteren, und dieses nicht bloss bei grösseren Entfernungen, sondern auch dann noch, wenn beide Körper bis zur Berührung einander nahe sind. Es wird hiernach von besonderem Interesse für uns sein, aus der Kraft, mit welcher die Erde den um sie laufenden Mond anzieht, die Anziehungskraft der Erde auf Körper in der Nähe ihrer Oberfläche zu berechnen, indem die Wirkungen der letzteren Kraft sich unmittelbar beobachten lassen. Bedeutet a die mittlere Entfernung des Mondes von der Erde und n seine mittlere Bewegung, so ist die Kraft, mit welcher der Mond in der Entfernung a nach der als ruhend gedachten Erde hingetrieben wird, oder der doppelte Raum (§. 10), um welchen der Mond in der ersten Zeiteinheit gegen die Erde fällt, gleich nna; es ist der Werth von T in §. 55 für r = a. Nun ist (§. 66) Hiermit findet sich der Fallraum des Mondes in der ersten Minute: nna = 15.094 Fuss . Wegen der gegenseitigen Anziehung von Erde und Mond fällt aber sowohl letzterer gegen die erstere, als erstere gegen den letzteren, und zwar mit Geschwindigkeiten, die sich umgekehrt wie ihre Massen, also wie 88: 1, verhalten. Der Theil des Fallraumes, welcher auf den Mond allein kommt, oder der Fallraum eines Körpers, der um die mittlere Entfernung des Mondes absteht und eine gegen 88 die Erde ganz zu vernachlässigende Masse hat, ist folglich der --ste 89 358 Theil des ganzen. Dieser muss aber noch mit multiplicirt werden, 357 um ihn von dem störenden Einflusse der Sonne zu befreien, als wodurch die gegenseitige Anziehung von Erde und Mond im Verhältnisse von 358 357 geschwächt wird (§. 66). Wir erhalten somit den verbesserten Fallraum Um hieraus einen durchschnittlichen Werth für den Fallraum auf der Oberfläche der Erde abzuleiten, wollen wir für die abgeplattete Erde eine ihr an Inhalt und Masse gleiche Kugel substituiren. Vom Mittelpunkte dieser Erdkugel ist der Mond um 1.0011 60.296 = 60.363 ihrer Halbmesser entfernt (§. 68), und es ist folglich auf der Oberfläche dieser Kugel der Fallraum in der ersten Minute folglich in der ersten Secunde: = 60.363° 14.966 Fuss, 60.3632 -X 14.966 = 15.148 Fuss. Es beträgt aber (§. 10), einer sehr grossen Anzahl an den verschiedensten Orten der Erde angestellter Pendelbeobachtungen zufolge (§. 26), der Fallraum in der ersten Secunde unter den Polen 15.132 Fuss und unter dem Aequator 15.054, oder vielmehr weil durch die Schwungkraft, welche durch die Axendrehung der Erde erzeugt wird, und deren Wirkung hier ausser Acht bleiben muss, die Schwerkraft unter dem Aequator um ihren 288-sten Theil verringert wird. Die grosse Uebereinstimmung zwischen diesen Zahlen und dem vorhin aus der Bewegung des Mondes gefolgerten Resultate*) zeigt nun auf das deutlichste, dass die Kraft, welche die Erscheinung des freien Falles der Körper, ihren Druck auf untergelegte Flächen u. s. w. hervorbringt, und welche die Schwerkraft genannt wird, völlig einerlei mit derjenigen ist, mit welcher die Erde auf den Mond und noch entferntere Himmelskörper wirkt. Diese sich über alle Grenzen erstreckende Kraft der Erde, sowie die ähnliche Kraft jedes anderen Himmelskörpers, und die gegenseitige Anziehung der Materie überhaupt, hat man daher auch die allgemeine Schwere genannt. Zusatz. Aus dem Fallraume auf der Oberfläche der Erde kann man leicht den Fallraum auf einem anderen Himmelskörper mittelst der Verhältnisse zwischen den Massen und den Halbmessern beider Körper herleiten. Denn zufolge des Ausdrucks für die anziehende Kraft ist er direct der Masse und umgekehrt dem Quadrate des Halbmessers proportional. Bezeichnen daher M, R, F die Masse der Erdkugel, ihren Halbmesser und den Fallraum in der ersten Secunde auf der Oberfläche der Erde, und bedeuten M', R', F' dasselbe für irgend einen anderen Himmelskörper, so hat man Eine noch bessere Uebereinstimmung erhält man, wenn man in obiger Rechnung die Laplace'sche Bestimmung der Mondsmasse, gleich der Erd75 I 80 I masse [nach Hansen §. 67], anwendet. Denn damit finden sich 15.119 statt der obigen 15.148 Fuss. Den Pendelbeobachtungen zufolge ist aber auf einer der Erde an Inhalt und Masse gleichen, sich nicht drehenden Kugel der Fallraum in der ersten Secunde gleich 15.106 Fuss. Auf dem Monde fällt daher ein Körper in der ersten Secunde 15.12 2.31 Fuss, auf der Sonne 28.53 × 15.12 6-55 =431.4 Fuss. Ein Körper, der bei uns 6 Pfund wiegt, drückt auf dem Monde nicht stärker, als ein Gewicht von 1 Pfund bei uns; und ein Gewicht von Pfund lastet auf der Sonne eben so stark, als ein Gewicht von 28 Pfund bei uns. Fünftes Kapitel. Allgemeine Gesetze der Bewegung bei einem System sich anziehender Körper. §. 73. Es ist schon erinnert worden, dass wegen der gegenseitigen Anziehung aller Körper die Planeten in ihren Bewegungen um die Sonne sich nicht vollkommen genau nach den von Kepler gefundenen Gesetzen bewegen. Dies würde nur dann geschehen können, wenn die Masse jedes Planeten gegen die Masse der Sonne unendlich klein wäre. Denn alsdann würden die Wirkungen der Planeten auf die Sonne und auf einander als verschwindend gegen die Wirkung der Sonne auf die Planeten zu betrachten sein. Abgesehen von einer muthmaasslich stattfindenden gemeinsamen Bewegung des ganzen Systems, würde dann die Sonne in Ruhe verharren und die Planeten würden sich um sie in vollkommenen Ellipsen bewegen. Da |