leren zurück oder ihm voraus ist. Es wird mithin auch die wahre Winkelgeschwindigkeit des Mondes grösser oder kleiner als die mittlere sein, je nachdem die wahre Winkelgeschwindigkeit der Sonne kleiner oder grösser als ihre mittlere ist. Dasselbe giebt auch geradezu die aus der Länge 211′13′′ sin a' nach §. 35 gefolgerte Geschwindigkeit = n — 11′ 13′′. sin 1". n' cos a' = n (1 ・ 0·000244 cos α') zu erkennen, wonach die grössten und kleinsten Werthe der wahren Geschwindigkeit 10.000244 der mittleren sind und für a' = 180° und = 0o, also dann stattfinden, wenn die Sonne in der Erdferne und in der Erdnähe ist und daher ihre kleinste und ihre grösste Geschwindigkeit hat. Auf ähnliche Weise verhält es sich auch mit dem Radius Vector des Mondes. Denn die Gleichung für denselben, welche mit der jährlichen Gleichung einerlei Argument hat, ist +0.000142 cos α', und folglich der Radius des Mondes am grössten, wenn a' = 0o und mithin der Radius der Sonne am kleinsten ist; dagegen ist der Radius des Mondes am kleinsten für a' = 180°, wo der Radius der Sonne am grössten ist. In dem Halbjahre also, in welchem sich die Sonne von der Erde entfernt und ihre Geschwindigkeit sich verringert (vom 1. Januar bis 2. Juli), kommt der Mond der Erde näher und seine Geschwindigkeit wächst. In dem folgenden Halbjahre aber, in welchem sich die Sonne der Erde wieder nähert und ihre Geschwindigkeit zunimmt, entfernt sich der Mond von der Erde und seine Geschwindigkeit nimmt ab. §. 116. Um uns den Grund dieser Erscheinung unmittelbar aus der Natur der störenden Kraft deutlich zu machen, dürfen wir nur erwägen, dass diese Kraft, abgesehen von einem bestimmten Orte des Mondes in seiner Bahn, den Mond von der Erde zu entfernen strebt (§. 102), und dieses offenbar desto stärker, je näher die Sonne der Erde ist. Das Glied, welches diese von einem bestimmten Orte des Mondes unabhängige Kraft darstellt, ist das in T, vorkommende a'3 Glied w (§. 113) und giebt damit zu erkennen, dass diese Kraft dem Würfel der Entfernung der Sonne von der Erde umgekehrt proportional ist. 2713 Je nachdem sich daher die Sonne der Erde nähert oder von ihr entfernt, muss der Radius des Mondes wachsen oder abnehmen; und da die Kraft selbst, welche dieses bewirkt, in der Richtung des Radius wirkt, mithin seine Flächengeschwindigkeit unverändert lässt, so wird im ersteren Falle seine Winkelgeschwindigkeit kleiner, im letzteren grösser werden. Zusatz. Dass sich bei der jetzt in Rede stehenden Ungleichheit die Flächengeschwindigkeit nicht ändert, geht auch leicht aus den diese gestörte Bewegung ausdrückenden Formeln 7: r = a, [1 +ƒ2w cos a'] und = λ+g,w sin a' hervor. Bedeutet nämlich, wie in §. 35, l' die Geschwindigkeit von 1, so ist l' = n + n'g,w cos a' = n(1+k, gw cos a'), und damit die doppelte Flächengeschwindigkeit (ebendas.) =rrl' = a;n (1 + 2f, w cos a') (1 + k2g2w cosα') also constant, weil nach den in §. 113 für f, und g, gefundenen Werthen 2f+k,g, o ist. Fünftes Kapitel. Von der Evection. §. 117. Wir haben in dem Vorhergehenden eine sehr nahe kreisund gleichförmige Bewegung gefunden, welche der in seinem Laufe um die Erde von der Sonne gestörte Mond möglicher Weise haben kann, und in dem Falle auch wirklich haben würde, wenn irgend einmal seinem Radius Vector und seiner Länge, so wie den Geschwindigkeiten, mit denen sich beide ändern, diejenigen Werthe zugekommen wären, welche aus den vorhin (§. 114) für r underhaltenen Ausdrücken fliessen (§. 25). Statt dieser Bewegung, die sich von einer vollkommen kreisund gleichförmigen nur durch die mit w behafteten Glieder unterscheidet, geben aber die Beobachtungen deutlich genug eine Ellipse als Grundform der Mondsbahn zu erkennen. Die Excentricität dieser I 18' Ellipse ist == und die daraus folgende Mittelpunktsgleichung (§. 43) hat einen Coefficienten, = 6°17', der bedeutend grösser als der Coefficient jeder Störungsgleichung ist. Wir wollen daher in dem Folgenden statt der vorigen Kreisform diese elliptische der Rechnung zum Grunde legen und untersuchen, ob und was für neue Ungleichheiten bei dieser Hypothese zum Vorschein kommen; denn nur auf solche Weise können wir hoffen, die Formeln der Theorie mit den Beobachtungen in die zu wünschende Uebereinstimmung zu bringen. §. 118. Bezeichnet e die Excentricität der Mondsbahn und a die mittlere Anomalie des Mondes, so wird sein elliptischer Ort, mit Weglassung der zweiten und höheren Potenzen von e, durch bestimmt. Um daher die bei dem elliptischen Laufe des Mondes statt habenden Störungen zu finden, wollen wir zunächst diese elliptischen Werthe von rund 7 in den mit w multiplicirten Gliedern von T und V substituiren. Denn damit werden T und V noch immer bis auf die erste Potenz von w genau, und somit alle die Störungen zu liefern im Stande sein, welche w und ew, so wie e'w, zu Factoren haben. Weil ferner das Glied mit dem Factor ee'w, als einer höheren Ordnung angehörig, hier ausser Betracht bleibt (§. 100), und wir daher auch jetzt mit Berücksichtigung von e' keine anderen Glieder, als die schon in §§. 113 und 114 entwickelten, finden würden, so nehmen wir gegenwärtig für die Sonnencoordinaten r' und l' schlechthin ihre mittleren Werthe a' und ' und schreiben demnach statt der in §. 99 für T, und V, aufgestellten Formeln: 4 Nun ist mit Anwendung der elliptischen Werthe von r und 7 (vergl. §. 113): 2 (7 — 2') = λ, +4 e sina, wo 2,2 (22'), cos 2 (l') = cos 2,-2 e cos (2,- a) + 2 e cos (2, + α), (2) V1 = − 3 w sin λ, +15ew sin (2, − a) — 2ew sin (2, +a) . α Wir erkennen hieraus, dass r und 7, bei Berücksichtigung der Excentricität der Mondsbahn, ausser den uns schon bekannten Gliedern, welche λ, zum Argument und w zum Factor haben, noch mit ew multiplicirte Störungsglieder erhalten, deren Argumente a, λ, — a und a sind. Indem wir daher alle diese Glieder zu den elliptischen Werthen von rund 7 hinzufügen und den mittleren Werth von um die Constante acw vergrössern (§. 105), setzen wir: e cos a+cw+few cos a +f,w cos +few cos (2,- a)+few cos (2, +α), r (3) I - a (4) 1 = 2+2 e sin a+gew sin a+g, w sinλ, α +g, ew sin (2, a) + gew sin (2, + α), und suchen nun die Zahlen c, fa, Jo, ... so zu bestimmen, dass die aus (3) und (4) zu folgernden Kräfte mit (1) und (2) identisch werden. Hierzu sind aber die in §. 34 entwickelten und bisher benutzten Formeln nicht mehr ausreichend, weil jetzt nicht mehr, wie dort vorausgesetzt wurde, alle die zu den mittleren Werthen von rund 7 hinzugefügten Glieder so klein sind, dass ihre Producte in einander vernachlässigt werden können. Es ist nämlich r sowohl, als 7, von der Form A+ Be+ Cw + Dew, und es kann daher das Product aus den Gliedern Be und Cw gegen das letzte Glied Dew nicht unbeachtet bleiben. Auch würde, weil nach der Annahme in §. 100, e von der ersten und w von der zweiten, also ew von der dritten Ordnung ist, noch das Quadrat und der Cubus von Be mit zu berücksichtigen sein. Da aber die Glieder ohne w zur rein elliptischen Bewegung gehören, und wir es hier nur mit der Entwickelung der von der Störung herrührenden und daher in w multiplicirten Glieder zu thun haben, so brauchen wir auf die höheren Potenzen von e keine Rücksicht zu nehmen. Um, diesen Bemerkungen gemäss, zuerst das in (1) vorkommende Hieraus folgt, bis auf die zweite Potenz von ≈ genau: Es ist aber mit Weglassung der zweiten Potenzen von e und w: 6e cos a (cw+ƒ, w cos λ1) 1 3ƒ1ew [cos (λ, — a) + cos (2, +α)], − (3ƒ1 + 2ƒs) ew cos (λ, — a) — (3ƒ1 +2ƒ6) ew cos (λ, + a) . Dieses in (1) substituirt und der Kürze willen λ1 21+a=λ gesetzt, erhalten wir: 6 (1*) T, = −1 +(2 c + 1) w − 2 e cos α + (6c + 2ƒ。 − 2/2) 2 +(2ƒ, + 3) w cos λ, + (3ƒ1 + 2 ƒ − 15). (2*) V1 = — 3 w sin λ, +15 ew sin λ-2ew sin 2. 2 und §. 119. Wir haben nunmehr T, und V, aus den in (3) und (4) für und angenommenen Werthen herzuleiten. Da aus den angegebenen Gründen von der Methode in §. 112 hier kein Gebrauch gemacht werden kann, so wollen wir die allgemein gültigen Formeln (D) in §. 36 anwenden. Bedeuten demnach im jetzigen Paragraphen, wie dort, r' und 'die Geschwindigkeiten von r und 7, r" und " die von rund ', und setzen wir die constanten Geschwindigkeiten, mit denen sich die Argumente α, 217 25, 26 = n, k ̧n, k1n, kn, k ̧n, wobei noch zu bemerken, dass k, entweder = 1, oder von 1 doch nur sehr wenig verschieden ist. Denn bezeichnet @ die Länge des Perigäums des Mondes, so ist (§. 45) ω . In der elliptischen Theorie ist aber o von constanter Länge, folg |