w= folgt. Es ist aber wλa, und daher die Geschwindigkeit des Winkels w, oder der Apsidenlinie, gleich der Geschwindigkeit von 2-a, d. i. Die Apsiden haben demnach eine gleichförmige und positive, d. i. vorwärtsgehende, Bewegung und ihre Umlaufszeit ist (§. 99) 4 n 3 4.360° n2 4 n 360° = 360°: nw= 3 n n 12 3 n' n' siderischen Jahren 17.825 siderischen Jahren, n' 13.369 n ist (§. 100). §. 126. Abgesehen von den Ungleichheiten, welche vom scheinbaren Stande des Mondes gegen die Sonne oder dem Winkel λ — λ' abhängen, ist nach §. 125 und nach §. 118: e, (1 + 11 w) = e。 (1 − ¦ w) (1 + ¦ w) = e。 (1 + 3 w) wozu noch, wegen der Excentricität der Sonnenbahn, die wir aber jetzt unberücksichtigt lassen, in r sowohl, als in 7, ein Glied mit dem Argumente a' hinzutritt (§. 114). So wie jene Ungleichheiten in den vom Winkel 7-' abhängigen Theilen der störenden Kraft ihren Ursprung haben, so sind die mit w multiplicirten Glieder, welche in den jetzt hingeschriebenen Ausdrücken für r und vorkommen, aus dem von jenem Winkel freien Theile der Kraft, dem Gliede r a'3 I 6 Der von der gegenseitigen Stellung der Sonne und des Mondes unabhängige Theil der störenden Kraft bewirkt demnach: erstens eine Verringerung, in dem Verhältnisse von 1 zu I -w, der mittleren Entfernung a des Mondes, welche aus seiner mittleren Bewegung n folgt; zweitens eine Verschiedenheit, gleich ew, der Excentricitäten, mit denen der Radius Vector und die Länge des Mondes. zu berechnen sind, und drittens ein mit der Geschwindigkeit 3 n erfolgendes Vorrücken der Apsiden der Mondsbahn. 3 4 n w Es lassen sich aber die zwei letzteren Wirkungen auf eigenthüment (§. 45) und liche Art vereinigt darstellen. Weil nämlich = Nun ist kn die Geschwindigkeit von a (§. 119), und es wird folglich durch die Gleichung (a) und durch eine rein elliptische Bewegung dargestellt. Ersichtlich stehen aber die Geschwindigkeiten, mit denen sich und 7, ändern, in dem constanten Verhältnisse von 1: ko. Die Verschiedenheit der Geschwindigkeiten von λ und a, oder die gleichförmige Drehung der Apsidenlinie, und die Verschiedenheit der Excentricitäten für r und 7 in der rein elliptischen Bewegung, können wir uns daher mit einem Male dadurch erzeugt denken, dass bei der durch (a) und (c) ausgedrückten elliptischen Bewegung die Winkelgeschwindigkeit des Radius Vector in dem Verhältnisse von 3 vergrössert wird, und folglich in wl übergeht, wo die Winkelgeschwindigkeit bei der elliptischen Bewegung bezeichnet. Wir können uns daher auch vorstellen, dass während der Mond nach den Formeln (a) und (c) elliptisch um die Erde läuft, die Ellipse selbst mit einer der Geschwindigkeit des Radius stets proportionalen Geschwindigkeit wl, nach derselben Richtung um die Erde gedreht wird. 3 §. 127. Zusätze. a) Betrachten wir überhaupt zwei Körper A und A, welche sich in einer Ebene um einen festen Punkt O derselben dergestalt bewegen, dass ihre Radien OA, und OA stets einander gleich sind und sich mit constanten Flächengeschwindigkeiten c. und e um O drehen. Sei r der gemeinschaftliche Werth der Radien, und und l' ihre Winkelgeschwindigkeiten, so ist (§. 35) mithin stehen auch die Winkelgeschwindigkeiten in dem constanten Verhältnisse der Flächengeschwindigkeiten, welches, I gesetzt werde, und man kann sich die Bewegung des einen Körpers A aus der des anderen A, dadurch entstehend denken, dass die Bahn, in welcher A, fortgeht, mit einer Winkelgeschwindigkeit um O gedreht wird, welche sich zu der von A, wie 1-k, zu k。 verhält. Heissen noch T, und T die Kräfte, durch welche die Bewegungen von A, und A erzeugt werden; sie sind nach O gerichtet (§. 37), und es ist (§. 36) 0 »Bewegt sich demnach ein Körper A, in einer Ebene um einen festen Punkt O derselben mit constanter Flächengeschwindigkeit, und wird aus dieser Bewegung eine zweite hergeleitet, indem man, während A in seiner Bahn fortgeht, die Bahn selbst mit einer Winkelgeschwindigkeit, welche der von A proportional ist, um O sich drehen lässt, so ist von den zwei Kräften, durch welche diese zwei Bewegungen von A hervorgebracht werden, und welche beide nach O gerichtet sind, der Unterschied dem Würfel des Radius OA, umgekehrt proportional.< Princ. philos. nat., lib. I. propos. 44. b) Man sieht leicht, dass sich mit Hülfe der Relation (A) die Bewegung der Mondsapsiden gleichfalls ermitteln lassen muss. Es ist nämlich bei der wirklichen Mondsbahn, also bei der sich drehenden Ellipse des §. 126, die doppelte Flächengeschwindigkeit und die zur Bewegung in dieser Ellipse nöthige Kraft (§. 55) *) Eigentlich c = na; V(§. 52). Der Factor V kann aber hier wegge a, a, lassen werden, weil er von der Einheit nur um e2 unterschieden ist (§ 49). Hieraus folgt nach (A) die Kraft bei der sich drehenden Ellipse, also die den Mond treibende Kraft, oder wenn, wie in §. 125, k=1+pw gesetzt wird: (a) T = == a's M+m a3 K (M+m) wist (ebendas.): a, 2.3 n2 a; [1 + 2 pw ( 1 − /' ) ] = K (M +m)(1 − 27, w), 2a3 welche unabhängig von einem bestimmten Werthe von r bestehen muss. Für ra, wird sie: was mit dem schon in §. 102 Bemerkten übereinstimmt. Man dividire nun (a) durch (b), so findet sich oder, weil die Bewegung nahe kreisförmig, und daher nahe r = a, ist: Р 3 1 4 woraus das Uebrige, wie in §. 125, fliesst. Es ist dieses eine ungefähre Angabe des höchst sinnreichen Verfahrens, durch welches Newton die Bewegung der Apsiden zu bestimmen gesucht hat. Princ. philos. nat., lib. I, sect. IX. §. 128. Die vorwärtsgehende Bewegung der Mondsapsiden ist eine schon seit den ältesten Zeiten beobachtete Thatsache. Allein merkwürdiger Weise beträgt die aus den Beobachtungen folgende Umlaufszeit der Apsiden nur 8.850 siderische Jahre, ist also nahe nur halb so gross, als diejenige, welche sich uns im Vorigen ergab, und welche auch Newton und späterhin die zu ihrer Zeit ausgezeichnetsten Geometer Clairaut, Euler und d'Alembert fanden, als sie diesen Gegenstand theoretisch zu untersuchen anfingen. Clairaut, der erste, welcher (im Jahre 1743) die Mondsstörungen mit Hülfe der Analysis zu entwickeln unternahm, wurde durch diesen so auffallenden Unterschied zwischen der Theorie und den Beobachtungen zu der Vermuthung geleitet, dass das Gesetz der Anziehung nicht so einfach sei, als man es seit Newton angenommen habe, und dass in seinem Ausdrucke dem Gliede, welches dem Quadrate der Entfernung umgekehrt proportional ist, ein zweites hinzugefügt werden müsse, welches, nur für die Bewegung der Apsiden von beträchtlicher Wirkung, auf die übrigen Ungleichheiten des Mondes und auf die Bewegungen der Planeten keinen merkbaren Einfluss habe. Als er aber, um dieses Glied näher zu bestimmen, alle Rechnungen mit noch grösserer Schärfe, als früher, von Neuem unternahm, machte er die wichtige Entdeckung, dass, wenn Entwickelung weit genug fortgesetzt wird, und Grössen nicht vernachlässigt werden, die man wegen ihrer Kleinheit anfangs fast für einflusslos zu halten geneigt ist, die Apsidenbewegung des Mondes sich eben so gross als in der Natur findet. nur die Von dieser schärferen Rechnung werden die folgenden Paragraphen einen ungefähren Begriff zu geben suchen. §. 129. Die durch die bisherige Rechnung gefundenen Werthe der Coordinaten r und sind bis auf die erste Potenz des Störungscoefficienten w, und damit bis zu den Störungsgliedern der dritten Ordnung (§. 100), richtig. Um diese Werthe zu erhalten, fingen wir damit an, in den mit w multiplicirten Gliedern von T1 und V1, oder in P und Q, wenn gesetzt wird, für r, l, r', l', wovon P und Q Functionen sind, die bis zur ersten Ordnung richtigen Werthe dieser Coordinaten, also ihre bis zur ersten Potenz der Excentricitäten e und e' richtigen Werthe zu substituiren. Denn somit erhielten T, und V, selbst eine bis zu ew und e'w, also bis zur dritten Potenz gehende Genauigkeit. So wie nun auf solche Weise aus den bloss bis zur ersten Ordnung richtigen Werthen von r und ihre bis zur dritten Ordnung richtigen Werthe gefunden wurden, so wird man durch Wiederholung desselben Verfahrens mit letzteren Werthen von r und 7, und mit den bis zur dritten Ordnung genauen Werthen von r' und l', |