zu compensiren (siehe den Aufsatz „Einige Bemerkungen über die Säcularänderung der mittleren Länge des Mondes" in den Berichten der mathem.physischen Classe der Sächs. Gesellschaft der Wiss. vom 15. April 1863). Dass Einflüsse existiren, welche in dem angedeuteten Sinne wirksam sein können, ist nicht in Abrede zu stellen und in dieser Beziehung z. B. an die Bewegung der Ebbe und Fluth, sowie einen etwaigen Reibungswiderstand des Aethers zu erinnern. Achtes Kapitel. Von den Störungen der Breite des Mondes. §. 135. In dem Bisherigen, wo wir die hauptsächlichsten Störungen der Länge und des Radius Vector des Mondes zu bestimmen suchten, nahmen wir den Mond und die Sonne in derselben Ebene sich bewegend an, da bei der hier beabsichtigten Genauigkeit die kleine Neigung, welche die Bahnebenen von Sonne und Mond gegen einander haben, auf diese Störungen keinen Einfluss hatte. Die Neigung der beiden Bahnen kann aber durchaus nicht mehr unberücksichtigt bleiben, sobald wir die Störungen in der Breite des Mondes bestimmen wollen, als welche eben daher rühren, dass die Sonne bei ihrem jährlichen Umlauf um die Erde in dem einen Halbjahr über, in dem anderen unter der Ebene der Mondsbahn steht, und wodurch zu den zwei in der Ebene selbst wirkenden Kräften T und eine dritte auf ihr perpendikulare Kraft W hinzukommt, welche den Mond bald nach der einen, bald nach der anderen Seite hin von der Ebene zu entfernen strebt. Der Werth dieser Kraft, so genau, als wir seiner hier bedürfen, und nachdem er mit n'a dividirt worden, ist (§. 100) W = = 3w cos (l') sin b' worin b' die Breite der Sonne in Bezug auf die Mondsbahn bedeutet. Da cos (l') von l-l' 90° bis 270°, also vom ersten bis zum letzten Viertel, negativ ist, so hat während dieser Zeit W, das entgegengesetzte Zeichen von b', d. h. der Mond wird in der von der Sonne entfernteren Hälfte seiner Bahn nach derjenigen Seite seiner Bahnebene getrieben, auf welcher die Sonne nicht steht. Vom letzten bis zum ersten Viertel dagegen, wo er sich in der der Sonne näheren Bahnhälfte bewegt, treibt ihn die Kraft W nach der Seite der Sonne hin. Um den Grund hiervon unmittelbar einzusehen, denke man sich die Bahnebene horizontal und die Sonne über derselben stehend. Von den nach verticalen Richtungen geschätzten Kräften, womit irgend zwei in der Ebene befindliche Körper A und B von der Sonne S angezogen werden, wird alsdann die Kraft für den der Sonne näheren Körper, welcher A sei, die grössere sein, und dieses nicht allein deswegen, weil A mit einer grösseren Kraft, als B, nach S direct gezogen wird, sondern auch, weil von den Richtungen AS und BS die erstere einen kleineren Winkel, als die letztere, mit der Verticalen macht. Da nun vom ersten bis letzten Viertel die Erde, und vom letzten bis ersten der Mond der Sonne näher steht, wird im ersteren Zeitraume die Erde, im letzteren der Mond stärker nach oben getrieben. Die störende Kraft W ist aber der Unterschied dieser zwei verticalen Kräfte (vgl. §. 103), und treibt folglich den Mond nur im letzteren Zeitraume nach oben, im ersteren dagegen nach unten*). S S Dasselbe ergiebt sich auch leicht aus dem in §. 103 gefundenen Resultate, dass die ganze den Mond L störende Kraft LN (Fig. 37) in der Ebene TLS wirkt und den Mond von seinem Radius TL nach der Seite zu, auf welcher die Sonne S steht, oder nach der entgegengesetzten, zu entfernen sucht, je nachdem T oder L der von S entferntere Körper ist. Denn denken wir uns noch durch TL die Ebene der Mondsbahn gelegt, so wird L im ersteren Falle von dieser Ebene weg nach derjenigen Seite zu getrieben, auf welcher sich S befindet, folglich u. s. w. U T T Fig. 37 und 37*. *) Analytisch werden diese Schlüsse durch den in §. 95 für W erhaltenen Ausdruck Km' z und Km' 2 dargestellt, worin z, einerlei mit dem dortigen QP', der Abstand der Sonne von der Ebene der Mondsbahn, g und die Entfernungen des Mondes und der Erde von der Sonne, und damit die nach der Richtung von z geschätzten Kräfte sind, mit denen der Mond und die Erde von der Sonne angezogen werden. W, als der Unterschied dieser Kräfte, hat hiernach mit z einerlei Zeichen, oder das entgegengesetzte, je nachdem o kleiner oder grösser als ' ist. §. 136. Ehe wir zu den von der Kraft W erzeugten Wirkungen übergehen, müssen wir dem analytischen Ausdrucke von Weine zu diesem Zwecke dienlichere Gestalt zu geben suchen. Heisst, wie im Früheren, die gegenseitige Neigung der Bahnebenen von Sonne und Mond, und 9' die Länge des aufsteigenden Knotens der Sonnenbahn auf der Mondsbahn, so ist (§. 47) und damit sin b' — sin ɩ sin (l' — 9′) W1 = 3w sin cos (l') sin (l' — 9′) . Da aber uw von der dritten Ordnung ist, und hier über Grössen der dritten Ordnung hinaus nicht gegangen werden soll, so können wir in dieser Formel statt sin, und statt und l' ihre mittleren Werthe und setzen. Hierdurch wird 2 wo der Kürze willen 4, und 4, für 9' und 2-22'+' geschrieben worden. Durch die Kraft W wird nun der Mond von der Ebene, in welcher er in jedem Augenblicke fortgehen will, und deren Lage durch die Richtung seiner jedesmaligen Geschwindigkeit und den Ort der Erde bestimmt wird, bald auf die eine, bald auf die andere Seite getrieben und damit die Lage der Ebene selbst fortwährend geändert. Unter allen den verschiedenen Ebenen, in welche die Mondsbahn auf solche Weise nach und nach gebracht wird, wird es aber eine gewisse mittlere geben, die, wie es wenigstens für den Anfang scheint, unverändert bleibt, und von welcher sich der Mond um periodisch ab- und zunehmende Grössen entfernt, die nur von der Ordnung w sind, so dass sowohl seine auf diese Ebene bezogene Breite, welche man b nenne, als der Winkel, den mit ihr seine jedesmalige Bahnebene macht, und welcher I heisse, w zum Factor haben. Um daher die Wirkung der Kraft W zu ermitteln, wollen wir die Bewegung des Mondes auf diese mittlere Ebene als Grundebene beziehen, und seine rücksichtlich derselben stattfindende Breite b zu bestimmen suchen. Die Kraft, welche diese Breite erzeugt, ist perpendikular auf der Grundebene und werde mit U bezeichnet. Weil die ganze auf den Mond wirkende Kraft aus T, V, W zusammengesetzt ist, so ist U gleich der Summe der Projectionen von T, V, W auf ein auf die Grundebene gesetztes Perpendikel, d. i. gleich der Summe von T, V, W, nachdem jede dieser Kräfte mit dem Sinus des Winkels multiplicirt worden, den ihre Richtung mit der Grundebene macht. Für die in der Richtung des Radius wirkende Kraft T ist dieser Winkel b. Für die Kraft V sei er I'; er ist kleiner als I, weil die Richtung von V in der Ebene der Mondsbahn liegt, und der grösste Winkel, den eine Linie dieser Ebene mit der Grundebene machen kann, gleich I ist. Die Kraft W endlich ist auf der Ebene der Mondsbahn perpendikular und macht daher mit der Grundebene einen Winkel 90°+I. Hiernach wird = Da ferner e von der ersten, V, von der zweiten, W, aber, so wie b, I und I', von der dritten Ordnung sind, und alle Grössen von der vierten Ordnung an vernachlässigt werden sollen, so zieht sich die Formel zusammen in wo also das zu W, noch hinzugefügte Glied - b von der den Mond anziehenden und damit nach der Grundebene zurücktreibenden Kraft der Erde herrührt. Substituirt man darin für W seinen obigen Werth, so kömmt: worin man jetzt unter dem Winkel und dem Bogen 9', von welchem 4, und 4, Functionen sind, die Neigung und die Knotenlänge der Sonnenbahn in Bezug auf die Grundebene oder die mittlere Mondsbahn verstehe, indem davon dieselben auf die wirkliche Bahn bezogenen Elemente, oder und 9′ in ihrer anfangs festgesetzten Bedeutung, ersichtlich nur um Grössen von der Ordnung w abweichen können. §. 137. Zufolge des letzterhaltenen Ausdrucks für U, und nach Schlüssen, ganz denen ähnlich, durch welche aus den Ausdrücken für T, und V, die Störungen im Radius Vector und in der Länge gefunden wurden, wird der Ausdruck für die durch die Kraft U erzeugte Bewegung, mithin auch die Breite b, aus Gliedern bestehen, welche Д und Д, zu Argumenten und w zum Factor haben. Wir setzen daher: (2) b = h1w sin 4, +h, w sin 4, . Hiermit wird einerseits (3) U1 = (3 — h1) ɩw sin 4, — (23+h,) ɩw sin 1⁄4 · Andererseits folgt daraus für den Abstand des Mondes von der Grundebene und hieraus nach §. 38 die auf der Ebene perpendikulare Kraft, welche die dadurch ausgedrückte Bewegung hervorbringt: n2 Uniqah, iw sin 4,- n'q ah,ɩw sin,, 2 wo ng, und nq, die Geschwindigkeiten bezeichnen, mit denen sich die Argumente 4, und 4, ändern; folglich Durch Vergleichung dieses Ausdruckes für U, mit dem obigen (3) ergiebt sich aber §. 138. Unter der Hypothese, dass die zur Grundebene genommene mittlere Lage der Mondsbahn ungeändert bleibt, und weil die Ebene der Sonnenbahn, oder vielmehr der Erdbahn, ihre Lage nur äusserst langsam ändert, sind die Knoten der Sonnenbahn auf der Grundebene gleichfalls als fest, und daher der Bogen 9' als constant zu betrachten. Hiernach sind die Geschwindigkeiten von 2-9' und — 2λ'+', oder von 4, und 4, gleich n und n2n'; mithin (§. 100) 2n' = I und 12 = I- = 0.85040. n und weil nach den Beobachtungen der mittlere Werth der Neigung 1= = 5°8′ 48′′ = 18528", und w=0.005595 ist: h2ɩw=562" =—9′22′′, |