Dies führt uns zu folgendem Resultate: Die beschleunigende Kraft, durch welche eine sich stetig ändernde Bewegung hervorgebracht wird, ist stets in der Krümmungsebene der Bahn enthalten. Zerlegt man diese Kraft, wie sie zu einer gewissen Zeit T, statt hat, in zwei Kräfte, von denen die eine normal auf der Bahn ist und daher Normalkraft heisst, die andere in tangentieller Richtung wirkt und daher Tangentialkraft genannt wird, so ist die Normalkraft eben so gross, als wenn von T, an sich nicht mehr die Geschwindigkeit, sondern bloss die Richtung änderte, also eben so gross, als bei einer Bewegung mit derselben Geschwindigkeit in einem Kreise, der dieselbe Krümmung hat, wie die Bahn zur Zeit T; die Tangentialkraft aber ist eben so gross, als wenn von T, an sich nicht mehr die Richtung, sondern bloss die Geschwindigkeit änderte, also eben so gross, als bei einer geradlinigen Bewegung, deren Geschwindigkeit sich nach demselben Gesetze, wie bei der krummlinigen, ändert. §. 24. Lehrsatz. Ist eine Bewegung (von A) aus zwei oder mehreren Bewegungen (von C, D, ...) zusammengesetzt, so ist auch in jedem Zeitpunkte die Kraft, durch welche die erstere Bewegung hervorgebracht wird, zusammengesetzt aus den Kräften, welche die letzteren hervorbringen. 1 2 0 Beweis. Die auf A zur Zeit T, wirkende Kraft ist = mm. A, B1 dem mm-fachen einer Linie, sie heisse a, welche aus A ̧ à ̧ und à ̧ B1 oder A, A, zusammengesetzt ist (§. 21); und eben so sind die gleichzeitig auf C, D, ... wirkenden Kräfte = den mm-fachen von Linien c, d, ..., von denen c aus C, C, und C, C2, d aus D, D ̧ und D, D ̧ zusammengesetzt ist. Es ist daher nur zu beweisen, dass die aus A, A ̧ und A, A, zusammengesetzte Linie a durch Zusammensetzung von c, d,... d. i. von C, C, C, C, D, D。, D, D2, ... gefunden wird. Dies folgt aber sogleich daraus, dass nach der Voraussetzung A, A, aus C, Co, D, D., ... und A, A, aus C, C, D, D, ... zusammengesetzt ist (§. 6). Anderer Beweis. Weil die Bewegung von A aus denen von C, D, ... zusammengesetzt ist, so ist es auch die Geschwindigkeit von A aus den Geschwindigkeiten von C, D, ... (§. 12). Lässt man daher die Punkte H, K, L, ... sich so bewegen, dass ihre Abstände von einem festen Punkte O resp. den Geschwindigkeiten von A, C, D, ..... stets gleich und gleichgerichtet sind, so ist stets OH aus OK, OL, ..., folglich die Bewegung von H aus denen von K, L, folglich auch stets die Geschwindigkeit von H aus denen von K, L, ... (§. 12), d. i. (§. 22) die auf A wirkende Kraft aus denen, welche auf C, D, ... wirken, zusammengesetzt. Folgerungen. a) Hat B (Fig. 8, S. 25) gegen einen festen Punkt F dieselbe Bewegung, welche P gegen A hat, so ist (§. 5) die Bewegung von P aus denen von A und B, folglich auch p aus a und zusammengesetzt, wenn a, b, p die Kräfte bezeichnen, welche b die Bewegungen von A, B, P hervorbringen; folglich ist aus p und der nach entgegengesetzter Richtung genommenen Kraft a zusammengesetzt (§. 2, d). Aus den Kräften a und p, durch welche die Bewegungen zweier Körper A und P erzeugt werden, wird demnach, wenn man, die Bewegung von P gegen A unverändert lassend, A ruhend annimmt, die Kraft, welche dann auf P wirken muss, gefunden, wenn man p mit der nach entgegengesetzter Richtung genommenen Kraft a zusammensetzt. b) Wird eine Bewegung auf eine der drei in §. 12, b) gedachten Arten in zwei oder drei zerlegt, so ergeben sich die Kräfte, welche die letzteren Bewegungen hervorbringen, wenn man die zur ersteren nöthige Kraft auf dieselbe Art zerlegt. Der Beweis hiervon wird mittelst des obigen Lehrsatzes ähnlicherweise geführt, wie in §. 12 der entsprechende Satz von der Zerlegung der Geschwindigkeit dargethan wurde. Eben so können wir mit Anwendung des Begriffes der Projection schliessen: die Kraft bei einer auf eine Gerade oder eine Ebene projicirten Bewegung ist der auf dieselbe Gerade oder Ebene projicirten Kraft bei der ursprünglichen Bewegung gleich. Beispiele. 1) Ein sich gleichförmig in einem Kreise bewegender Körper P (Fig. 10, S. 53) wird von der ihn beschleunigenden Kraft stets nach dem Mittelpunkte O des Kreises getrieben. Drücken wir daher diese Kraft geradezu durch PO aus, so ist AO, als die rechtwinklige Projection von PO auf den Durchmesser MN, die Kraft, von welcher der Körper A bei seiner in §. 14 betrachteten Bewegung zwischen M und N getrieben wird. Es war aber die erstere Kraft gleich nn. PO (§. 22); mithin ist die letztere gleich nn. A0, wie schon in §. 21, 2) auf andere Weise gefunden worden. i 2) Projiciren wir dieselbe gleichförmige Kreisbewegung von P rechtwinklig, statt auf MN, auf eine durch MN gelegte und mit der Ebene des Kreises einen schiefen Winkel machende Ebene, so bewegt sich die Projection von P, die wiederum A heisse, in einer Ellipse, deren Mittelpunkt O, deren grosse Axe ist. Die auf A wirkende Kraft ist, wie vorhin, = 2 a cos i Das Gesetz, nach welchem A in der Ellipse fortgeht, lässt sich hier auf eine eigenthümliche Weise bestimmen. Weil nämlich P im Kreise sich gleichförmig bewegt, so werden auch die vom Halbmesser OP in gleichen Zeiten überstrichenen Theile der Kreisfläche einander gleich sein. Da ferner, wenn irgend zwei einander gleiche Theile einer Ebene auf eine andere Ebene projicirt werden, auch die Theile in der Projection einander gleich sind, so wird von A die Ellipse dergestalt beschrieben werden, dass die Gerade OA in gleichen Zeiten gleiche Flächen überstreicht. Hiernach, und weil sich jede Ellipse als die rechtwinklige Projection eines Kreises betrachten lässt, können wir folgenden Satz aufstellen: Bewegt sich ein Körper A in einer Ellipse dergestalt, dass die vom Mittelpunkte O der Ellipse bis zu ihm gezogene Gerade OA in gleichen Zeiten gleiche Flüchen überstreicht, so ist die auf den Körper wirkende Kraft stets nach O gerichtet und seinem Abstande von O proportional, nämlich gleich л. AO: UU, wo U die halbe Umlaufszeit (im Kreise und daher auch) in der Ellipse bedeutet. §. 25. Lehrsatz. Ist für einen gewissen Zeitpunkt T. der Ort A eines sich bewegenden Körpers A und seine Geschwindigkeit gegeben, für jeden Zeitpunkt aber die ihn beschleunigende Kraft ihrer Stärke und Richtung nach, sei es als eine unmittelbar von der Zeit, oder als eine von seinem jedesmaligen Orte, oder von seiner Geschwindig keit abhängige Grösse, gegeben, so ist die Bewegung des Körpers vollkommen bestimmt. Beweis. Mit dem Orte A, und der Geschwindigkeit des Körpers zur Zeit T ist sein Weg 4, 4, während des Elementes TT,, also auch sein. Ort 4, zur Zeit T,, vollkommen bestimmt. Der Voraussetzung zufolge ist ferner für die Zeit T, die Grösse und Richtung der Kraft, also auch der Diagonale A, B, des Parallelogramms AA, A, B1 (Fig. 13), gegeben. Man 0 kann daher dasselbe construiren und damit den Weg A, A, während T, T, finden. Gleicherweise lässt sich hieraus und aus der dann gegebenen Kraft zur Zeit T, der Weg während TT,, u. s. w. bestimmen. Folgerung. Hat man aus der gegebenen Bewegung eines Körpers das Gesetz bestimmt, nach welchem die ihn beschleunigende Kraft wirkt, so kann man umgekehrt schliessen, dass, wenn den Körper eine Kraft nach dem gefundenen Gesetze treibt, und er zu irgend einer Zeit T, die Geschwindigkeit hat, welche ihm der gegebenen Bewegung gemäss zukommt, seine jetzige Bewegung der gegebenen gleich ist. Beispiele. 1) Aus der Theorie der gleichförmigen Kreisbewegung, wo die beschleunigende Kraft p = cc: a und stets nach dem Mittelpunkte gerichtet war (§. 22), folgern wir: Wirkt auf einen Körper eine nach einem festen Punkte O gerichtete Kraft von constanter Grösse gleich p, und ist die Richtung der anfänglichen Geschwindigkeit perpendikular auf der Geraden, welche den anfänglichen Ort A, des Körpers mit O verbindet, die Geschwindigkeit selbst aber so beschreibt der Körper mit sich gleich bleibender Geschwindigkeit um O als Mittelpunkt einen Kreis. Weil der Körper von O stets in derselben Entfernung bleibt, so kann man hierbei, statt die Kraft constant zu setzen, auch annehmen, dass sie einen von der Entfernung des Körpers von O beliebig abhängigen Werth habe, d. i. irgend eine Function dieser Entfernung sei. 2) Die in §. 14 und §. 24, 1) betrachtete Projection einer gleichförmigen Kreisbewegung auf einen Durchmesser des Kreises führt uns zu folgendem Satze: R B H G M Wird ein Körper A von einer Kraft getrieben, welche stets nach einem festen Punkte O (Fig. 10) gerichtet und dem Abstande des A von O proportional ist, also = nn. AO gesetzt werden kann, wo n = π: U eine constante Zahl bedeutet, so bewegt sich der Körper, wenn er anfangs in M in Ruhe war, in gerader Linie nach O zu, sodann eben so weit über O hinaus bis N, hierauf durch O wieder zurück bis M, und fährt auf diese Weise fort zwischen M und N hin und her zu schwingen. Die Schwingungsdauer, d. i. die Dauer eines solchen Hinoder Herganges, ist Fig. 10. |