Man theile die Ebene des Papiers durch horizontale und verticale Linien in quadratförmige Fächer. In die oberste horizontale Fächerreihe schreibe man von der Rechten nach der Linken die Zahlen 0, 1, 2, 3, ... in ihrer natürlichen Ordnung. Wir wollen diese Reihe die Hauptreihe nennen. In jedes Fach der darunter liegenden horizontalen Reihe schreibe man 1. I. In jedes Fach der nächstfolgenden Reihe, welches unter einer Zahl der Hauptreihe liegt, die durch 2 theilbar ist, setze man 2. Eben so schreibe man in alle Fächer der folgenden Reihe, welche unter den durch 3 theilbaren Zahlen der Hauptreihe liegen, die Zahl 3, u. s. w. (Siehe Fig. 1.) Auf solche Weise erhält man eine Factorentafel, indem unter jede Zahl der Hauptreihe in verticaler Linie keine anderen Zahlen, als die Factoren jener Zahl, sie selbst und die Einheit mit gerechnet, zu stehen kommen. Eine solche Anordnung der Factoren, die für die Praxis allerdings nicht die geeignetste, in theoretischer Hinsicht aber die naturgemässeste sein dürfte, besitzt nun zugleich mehrere merkwürdige geometrische Eigenschaften. Die Entwickelung derselben ist der Zweck dieses Aufsatzes. Es werde deshalb vorläufig bemerkt, dass, wenn im Folgenden gesagt wird, eine Linie gehe durch eine gewisse Zahl, oder eine Zahl liege in einer gewissen Linie, unter der Zahl immer nur der Mittelpunkt des Feldes verstanden werden soll, in welchem die Zahl sich befindet. Um ferner die unter sich gleichen Zahlen einer und derselben Horizontalreihe ihrem Orte nach von einander zu unterscheiden, soll hier im Texte an jede Zahl als Index noch die Zahl der Hauptreihe beigefügt werden, unter welcher erstere anzutreffen ist. Hiernach werden z. B. die Dreien in der 3-ten Reihe unter der Hauptreihe charakterisirt durch 30, 33, 36, 39, u. s. w., und all gemein die Zahl a in der a-ten Reihe durch der Hauptreihe stehen. Zugleich sieht man hieraus, wie der Index der Zahl gelten können, indem man die horizontale Mittellinie der Die Grundeigenschaft der Factorentafel, aus welcher sich alle Zahlen am+r)a und b(n+r)b, die Abscissenlinie in demselben Punkte treffen. In der That haben die Zahlen ama und a(m+r)a gleiche Ordinaten, gleich a, und die Differenz ihrer Abscissen istra, d. h. jede von ihnen ist um eine Weite = a von der Abscissenlinie entfernt, und ihr gegenseitiger Abstand ist ra. =ra. Eben so ist jede der Zahlen bnb und b(n+r)b um b von der Abscissenlinie entfernt, und ihr gegenseitiger Abstand ist rb. Es verhalten sich daher ihre gegenseitigen Abstände ra und rb wie ihre Entfernungen a und b von der Abscissenlinie; woraus das Uebrige von selbst fliesst. = Eine unmittelbare Folge hiervon ist, dass, wenn drei oder mehrere an sich verschiedene Zahlen in einer Geraden sind, man wiederum auf Zahlen in einer Geraden kommen wird, wenn man von jeder der ersteren in ihrer Horizontalreihe um gleich viel Zahlen nach einerlei Seite zu weiter geht, und dass beide Gerade sich in der Abscissenlinie schneiden. So müssen z. B., weil die Zahlen 10, 20, 30, 40, in einer Verticalen unter dem Nullpunkte liegen, auch die Zahlen ... ... u. S. W. in Geraden liegen, welche sämmtlich auf den Nullpunkt treffen. Man sieht hieraus, wie alle Zahlen der Tafel in Reihen, deren jede die Zahlen 1, 2, 3, in der natürlichen Folge enthält, und welche vom Nullpunkte divergirend ausgehen, sich zusammennehmen lassen. Auch bieten sich diese Reihen beim ersten Anblicke der Tafel dar. Die unter einer Zahl der Hauptreihe, etwa unter 8, stehenden Zahlen 1, 2, 48, 8, oder 18.12 24.27 42.47 84.8 sind die Factoren jener Zahl 8. Es müssen Es müssen daher mit 8 in gerader Linie auch die Zahlen seitwärts (219), trifft daher auch die übrigen Factoren (1,0, 416, 824), und keine anderen Zahlen; oder, was zum Theil dasselbe sagt: Eine Gerade, gelegt durch irgend eine Zahl ama der Tafel und durch eine der Zahlen der Hauptreihe, welche ein Vielfaches con a ist, wie a.b, trifft die vervielfachende Zahl bnb · Der Coefficient n im Index nb von b ist offenbar eine von a, b und m abhängige Zahl. Um diese Abhängigkeit zu bestimmen, erwäge man, dass mit der Zahl ab der Hauptreihe die Zahlen aba und bab ebenfalls in einer Geraden liegen, nämlich in einer Verticalen, weil die Indices letzterer Zahlen der Zahl ab der Hauptreihe selbst gleich sind. Es müssen daher in der horizontalen Reihe der a zwischen aba und ama eben so viele a, als b in der Reihe der b zwischen bab und bnb, vorkommen, d. h. es muss m bna sein, wodurch n = m+a — b wird. Die Gerade durch die Zahl ama und durch ihr Vielfaches ab in der Hauptreihe, trifft demnach die vervielfachende Zahl b(m+a—b)b• Die Geraden, welche die Zahl ama mit den Zahlen 1a, 2a, 3a, aa, der Hauptreihe verbinden, treffen daher resp. die Zahlen. ... (A) ... Im+a−1, 2(m+a−2)21 3(m+a-3)3 ... ama etc. Man kann die somit nach ihrer Stellung in der Tafel bestimmten Zahlen 1, 2, 3, 4, ... die zur Zahl ama gehörigen Zahlen nennen. Sie gehören ihr aber nach dem Gesetze zu, dass eine Gerade, welche eine der ersteren mit der letzteren verbindet, die Hauptreihe in dem Producte beider trifft, wobei noch zu bemerken ist, dass die zu ama gehörige Zahl a auch dem Orte nach mit ersterer zusammenfällt. Soll die Zahl bnb zur Zahl ama gehören, so muss, dem Vorigen zufolge, m+ a = n + b sein; und eben so muss, wenn ama und Сре zusammengehörige Zahlen sein sollen, m + a = p+ c sein. Gehört demnach jede von zwei Zahlen bab und cpe zu einer und derselben dritten ama, so ist auch n+b=p+c, und sie gehören folglich auch zu einander; oder mit anderen Worten: wenn die zwei Geraden, welche eine Zahl a der Tafel mit zwei anderen Zahlen und e derselben verbinden, die Hauptreihe in den Producten ab und ac treffen, so begegnet auch die Gerade durch b und e der Hauptreihe in dem Producte bc. |