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Si Duhem finit par résoudre à peu près le problème, ce ne fut cependant jamais à son entière satisfaction. Je crois être aujourd'hui plus heureux, et je n'hésite pas à répondre de la manière la plus catégorique : le Philotechnes n'est autre chose que le traité De Triangulis de Jordan de Nemore publié, en 1887, à Thorn, par Maximilien Curtze, d'après un manuscrit de Dresde (1). Un autre manuscrit que j'ai eu entre les mains à la Bibliothèque de la Ville de Bruges lève les derniers doutes qu'on pouvait encore concevoir sur ce sujet.

On devait le prévoir par le précieux Catalogue des Manuscrits mathématiques et astronomiques de la Bibliothèque de Bruges, publié récemment par MM. De Poorter et Alliaume (2). Le manuscrit de Bruges renferme, en effet, un traité de Jordan de Nemore commençant par ces mots : « Philotegni Jordani de Triangulis incipit liber primus ». (Commencement du premier livre du Philotechnes ou des Triangles par Jordan). D'autre part, l'ouvrage se termine par cette phrase: « Explicit liber Phylotegni Jordani LXIIIIor propositiones continens ». (Fin du Livre du Philotechnes de Jordan, contenant 64 propositions). (3)

super demonstrationem ponderis ». REVUE, t. LVI, 1904, pp. 2334. Ouvrage séparé, t. I, pp. 112-123.

(1) Jordani Nemorarii Geometria vel De Triangulis Libri IV. Zum ersten Male nach der Lesart der Handschrift Db. 86, der kænigl. öffentlichen Bibliothek zu Dresden herausgegeben von Maximilian Curtze. Thorn. Ernst, Lambeck, 1887. Ce volume forme le 6e fascicule des MITTEILUNGEN DES COPERNICUS-VEREINS FÜR WISSENSCHAFT UND KUNST ZU THORN.

(2) Extrait des ANNALES DE LA SOCIÉTÉ D'ÉMULATION DE BRUGES. Janvier 1915-1922. Tome 68 de la collection, pp. 13-50.

Je saisis cette occasion pour remercier M. l'abbé De Poorter, bibliothécaire de la Bibliothèque de la Ville de Bruges, qui m'a donné, avec obligeance, plusieurs renseignements que j'ai utilisés dans ce travail.

(3) Le manuscrit est coté No 530. Le Philotechnes s'y trouve du fo lv au fo 8v. L'écriture est de la fin du XIVe siècle. Le manuscrit est écrit sur vélin. Il appartint d'abord à l'abbaye de ter Doest, située entre Bruges et Blankenberghe; puis à la célèbre abbaye des

Le manuscrit de Bruges date de la fin du XIVe siècle et le copiste n'est pas un contemporain de Jordan. Le lecteur pourrait donc m'objecter que l'argument n'est pas péremptoire; que nul n'ignore les altérations de textes commises parfois par les scribes du XIVe siècle.

D'accord; aussi, pour rendre mon assertion sans réplique, convient-il d'examiner les deux mémoires spéciaux que Duhem a consacrés au problème du Philotechnes.

Le premier parut, en 1904, dans la BIBLIOTHECA MATHEMATICA, sous le titre de Un ouvrage perdu cité par Jordan de Nemore: Le Philotechnes (1). Dans ce travail, Duhem n'aboutit qu'à cette conclusion: Le Philotechnes a existé, et l'auteur en fut probablement Jordan de Nemore lui-même. Comme on le verra, les documents alors à la disposition de Duhem pouvaient difficilement le conduire à un résultat plus précis. Voici le résumé de son argumentation. J'y souligne un contresens dans la traduction d'un texte. Plus tard, cette inadvertance embarrassera notre traducteur et l'empêchera de voir qu'il tenait jusque dans les moindres détails la solution du problème.

Feu Björnbo, bibliothécaire adjoint à la Bibliothèque Royale de Copenhague, enlevé prématurément, il y a quelques années, à la science, venait de publier ses études sur les Sphériques de Ménélaus (2). Il y ajoutait, en Appendice, la description détaillée des anciens manuscrits qui nous ont conservé le texte du géomètre grec. L'un d'eux,

Dunes, d'où il passa lors de la Révolution française, à la Bibliothèque de la Ville de Bruges. Le Ms. 530 renferme encore plusieurs autres pièces curieuses.

(1) 3e série, t. V, Leipzig, Teubner, 1901, pp. 321-325.

(2) Axel Anthon Björnbo. Studien über Menelaos Sphärik. Beiträge zur Geschichte der Sphärik und Trigonometrie der Griechen. Publié dans les ABHANDLUNGEN ZUR GESCHICHTE DER MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN MIT EINSCHLUSS IHRER ANWENDUNGEN, begründet von Moritz Cantor. T. XIV. Leipzig, Teubner, 1902, pp. 1-154.

le manuscrit latin 1261 du fonds de la Reine de Suède à la Bibliothèque Vaticane, contenait en outre le traité De Ponderibus de Jordan. A la suite du traité se trouvaient sept propositions étrangères au texte, mais qui semblent y avoir été ajoutées pour aider à son intelligence. La dernière n'était autre que la formule classique de Héron exprimant l'aire d'un triangle en fonction des trois côtés (1). L'énoncé était suivi d'une démonstration. Mais, en marge, le copiste avait écrit cette note: «Haec est pars Filotegni et debet ei subjungi ».

A qui soupçonne que le Philotechnes est le traité De Triangulis, l'idée vient naturellement, après cette lecture, d'ouvrir l'édition de Curtze et d'y chercher la formule de Héron. Or, elle n'y est pas. Peut-être notre chercheur devra-t-il réprimer un premier mouvement de surprise. Cependant, à la réflexion, il s'apercevra que la note du copiste, un peu ambiguë, il faut l'avouer, se précise par cette constatation, et que le sens en devient fort clair. Traduite, mot à mot, elle dit : « C'est là une partie du Philotechnes et il faut l'y ajouter ».

Duhem serra le texte de moins près, et plus tard, dans son second mémoire, comme nous le verrons tantôt, il s'en trouva embarrassé. Mais, examinons d'abord le premier mémoire.

Le raisonnement s'y base sur des textes extraits du Liber de Ponderibus. Pour le suivre facilement, il importe de ne pas oublier que, d'après notre auteur, le meilleur texte du Liber de Ponderibus est celui du manuscrit 1025 (latin) de la Bibliothèque Nationale de Paris. Il est de la main d'Arnaud de Bruxelles, et la copie de notre compatriote a été terminée le 8 novembre 1464. Ce texte, inédit jusqu'ici, est entièrement distinct de celui que

(1) Soient a, b, c, les trois côtés du triangle, p le demi-périmètre, et s la surface; la formule de Héron est :

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Pierre Apian a publié, en 1533, à Nuremberg. J'en fais en passant la remarque, pour épargner des méprises au lecteur.

Un second texte, un peu paraphrasé, écrit également au xve siècle, se trouve dans le manuscrit latin 11247 de la même Bibliothèque. Enfin, un troisième texte, mais du xvIe siècle, se trouve, toujours à la même Biblic thèque, sous la cote 16649 (lat.). Ce dernier a certainement été copié sur un manuscrit du XIIIe siècle, dont un fragment se conserve encore sous le N° 3642 (ancien 1268) à la Bibliothèque Mazarine. Tout cela a été solidement établi dans Les Origines de la Statique, mais devait être rappelé. Écoutons maintenant Duhem.

Après avoir cité, d'après Björnbo, le passage du manuscrit de la Reine de Suède mentionné ci-dessus, il continue: <«< De cet ouvrage, c'est-à-dire du Philotechnes, nous avons relevé deux autres mentions, elles se trouvent toutes deux dans le texte que nous regardons comme le traité primitif de Jordanus (1).

» La première mention se trouve vers la fin de la démonstration de cette proposition qui est la seconde du traité : Cum equilibris fuerit positio equalis, equis ponderibus appensis ab equalitate non decedet et, si ab equidistantia separetur ad equalitatis situm revertetur. Jordanus invoquant une propriété très simple de deux arcs de cercle, la justifie par ces seuls mots : Sicut declaratum est in Philotechne.

>> Cette mention fait partie du texte du XIIe siècle (codex Mazarinus 3642) qui orthographie Filotegni. La copie de ce même texte faite au XVIe siècle et contenue dans le manuscrit 16649 (latin) de la Bibliothèque Nationale écrit Philotegne. Arnaud de Bruxelles copie Filoteqni, tandis que le manuscrit 11247 (latin) de la Bibliothèque

(1) Nous préférons conserver la forme ancienne du nom, qui nous paraît d'ailleurs plus française, et dire: Jordan de Nemore.

Nationale adopte la même orthographe, Filotegni, que le manuscrit du XIIIe siècle (1).

» La seconde mention du Philotechnes se trouve au cours de la quatrième proposition ainsi énoncée : Si brachia libre fuerint inequalia, equalibus appensis, ex parte longiori nutum faciet. Ici encore, à propos d'une propriété très simple de deux arcs de cercle, Jordanus écrit Sicut demonstravimus in Philotechne.

» La proposition où se trouve cette seconde mention manque au fragment du XIIIe siècle que conserve le codex Mazarinus et partant à la copie de ce fragment que conserve le codex 16649 (latin) de la Bibliothèque Nationale. Tous nos autres manuscrits renferment le renvoi que nous venons de citer au Filotegni ou au Filoteqni. » De ce qui précède, nos lecteurs ont déjà tiré la conclusion que Duhem va en déduire :

« Ces citations semblent prouver, dit-il, qu'il existait au XIIIe siècle un traité de Géométrie, sans doute de Géométrie pratique, intitulé Philotechnes.

» La seconde citation: Sicut demonstravimus in Philotechne, paraît indiquer que Jordanus en revendiquait la paternité ».

Après quoi Duhem continue, et c'est ici que je ne suis plus d'accord avec lui :

« Dès lors, on comprend sans peine l'annotation relevée par M. Björnbo dans le Codex Reginensis 1261 lat. : Jordanus avait fait figurer dans le Philotechnes le théorème de Héron d'Alexandrie ».

Eh bien! non. Le théorème de Héron ne se trouve pas dans le Philotechnes. Duhem commet, à notre avis, un contresens en traduisant l'annotation relevée par Björnbo dans le codex Reginensis. Mais l'idée préconçue, qu'il

(1) Il nous semble que, sinon Jordan lui-même, du moins plusieurs des copistes ont latinisé le mot « Philotechnes » en lui donnant des formes telles que « Filotegnus, Filoteqnus, Philotegnus, etc. ».

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