STEVIN y considère sept differences de second termes : les termes du second membre sont tous trois positifs; deux sont positifs et le troisième négatif; un seul est positif et les deux autres négatifs. 66 Explication du donné. Soyent Voici un exemple de la solution. donnez trois termes selon le probleme tels : le premier 1 (3), (x3), le second 6 (3) +10 (1) + 300 (6x2+10x + 300), le troisiesme (1), (x). Explication du requis. Il faut trouver leur quatriesme terme proportionnel (la valeur de x), "Construction. Le tiers de 6 des 6 (2), (6x2) est "Qui multiplié par son double 4, faict 8, au mesme ajousté le quarré dudict 2. faict 12, au mesme ajousté 10, des 10 (1), (10x), faict 22. auquel appliqué (1). (y), seront "Puis du nombre (0), (x) donné 2 22 (1), 22 (y) 300 292 >> Au mesme ajousté le produict de 2 premier en l'ordre, par 22 second en l'ordre, qui est 44, faict 336 Soubstraict le cube de 2 premier en l'ordre, qui est 8, reste "Puis on dira, 1 (3) (par reigle) vaut 22 (1) (second en l'ordre) +336, cinquiesme en l'ordre, (y3 = 22y +336); combien 1(1), (y)? Faict par le 69 probleme "A mesme ajousté 2, premier en l'ordre, faict 8 10 "Je dis que 10 est le quatriesme terme proportionnel requis (la valeur de x) " Suivent la vérification arithmétique de la solution et une démon stration géométrique, d'après la méthode de CARDAN, analogue à celle du problème LXX. Elle est sans grand intérêt. Il en est tout autrement du nouveau mode de démonstration de STEVIN, qui est exposé cette fois plus brièvement que dans le problème précédent. Il n'y perd rien. +/ » Explication du donne. Soient donnez les mesmes termes de la precedente premiere maniere tels le premier 1 (3), (3), le second 6(2)+400, (6x2400), le troisiesme 1 (1), (x). » Explication du requis. Il faut trouver leur quatriesme proportionnel, (la valeur de a). » Construction. Le produict des 400 donnez 62), (6) donnez, faict 2400. auquel appliqué par le 6 des 2400 (1), (-2400y). » Le quarré de 400 donné est 2400 (1) 160 000, (y3 160 000 2400y » Puis 1(3) (par reigle) donne +160 000), (premier et second en l'ordre); combien 1 (1), (y)? Faict par la 2 difference du 69 probleme "Par le mesme divisé le 400 donné, donne quotient 40 10 Je dis que 10 est le quatriesme terme proportionnel requis, dont l'arithmetique et geometrique demonstrations sont faictes cidevant, mais l'origine s'ensuivera à la fin de ce probleme ». Je viens de la résumer ci-dessus en notations modernes. Le problème LXX se termine par un Appendice des plus remarquables sur lequel j'ai déjà appelé l'attention dans mes Remarques sur l'Arith métique de SIMON STEVIN (1). Je n'y reviens pas. Cet Appendice est intitulé Des solutions que l'on peut faire par sur le precedent probleme, c'est-à-dire des solutions négatives de ce genre d'équations. Et combien les mesmes (solutions négatives), dit STEVIN, ne soient que solutions songées, toutesfois elles sont utiles ». C'est à cette occasion qu'il fait dans son style la remarque que les solutions négatives d'une équation sont les solutions positives de la transformée en -x, comme je l'ai dit dans l'article cité. PROBLEME LXXI. STEVIN le traite longuement à cause de la nouveauté du sujet ; mais après les développements que je viens de donner au Problème LXX, je puis être relativement court. L'auteur s'y propose la résolution de l'équation complète du 3° degré STEVIN у considère sept « differences de second termes » : les termes du second membre sont tous trois positifs; deux sont positifs et le troisième négatif; un seul est positif et les deux autres négatifs. Voici un exemple de la solution. "Explication du donne. Soyent donnez trois termes selon le probleme tels : le premier 1 (3), (x3), le second 6(3)+10 (1) 300 (62+10x+300), le troisiesme (1), (x). " Explication du requis. Il faut trouver leur quatriesme terme proportionnel (la valeur de x), "Construction. Le tiers de 6 des 6 (2), (6x2) est » Qui multiplié par son double 4, faict 8, au mesme ajousté le quarré dudict 2. faict 12, au mesme ajousté 10, des 10 (1), (10x), faict 22. auquel appliqué (1). (y), seront "Puis du nombre (0), (x) donné "Soubstraict le cube de 2 premier en l'ordre, qui est 8, reste 2 22 (1), 22 (y) 300 292 » Au mesme ajousté le produict de 2 premier en l'ordre, par 22 second en l'ordre, qui est 44, faict 336 "Puis on dira, 1 (3) (par reigle) vaut 22 (1) (second en l'ordre) +336, cinquiesme en l'ordre, (y22y+336); combien 1 (1), (y)? Faict par le 69 probleme 8 » Au mesme ajousté 2, premier en l'ordre, faict 10 » Je dis que 10 est le quatriesme terme proportionnel requis (la valeur de x) " Suivent la vérification arithmétique de la solution et une démon stration géométrique, d'après la méthode de CARDAN, analogue à celle du problème LXX. Elle est sans grand intérêt. Il en est tout autrement du nouveau mode de démonstration de STEVIN, qui est exposé cette fois plus brièvement que dans le problème précédent. Il n'y perd rien. " DE L'ORIGINE DE LA CONSTRUCTION DU PRECEDENT LXXI PROBLEME. et alors devient la valeur de 1(1), (y) notoire par le probleme conformé aux termes reduicts, et de telle reduction est colligée la maniere de ladicte construction, comme il apparoistra. Soit, par exemple, 1 (3) egale à 6 (2) + 10 (1) + 300, ᏗᏰ =6x2+10x + 300 qui sont le premier et le second terme de la première différence. Et soubstrayons de chasque partie 6 (2), (6x2). Ergo 1 (3) 6 (2) demeurera egale à 10(1) + 300. x03 6x2 10x + 300 "Puis ajoustons à chasque partie quelque (1) et (0), (x+1), telles que la premiere partie aie racine cubique de (1) + quelque (0), (de la formexa). Et est demonstré en l'origine du 70 probleme, que ce sera 12 (1) 8, (12x8). Ajoustons les doncques à chasque partie. Ergo 1 (3) — 6 (2) + 12 (1) 8 seront egales à 22 (1) + 292 "Puis extrayons de chasque partie racine cubique. Ergo "Or parce que la seconde partie n'a point de racine servant à nostre propos, il faudra achever le reste par l'aide de la figure du théorème devant le 69 probleme, en ceste sorte. Soit chascune (1) de noz egales parties la ligne AB, (x = AB). Ergo 1 (1) AB 2 sera egale à √(3) bino 22 (1) AB +292 » Ergo 1 (1) AC sera egale à √(3) bino 22 (1) AB + 292 3 TAC √220AB + 292 "Puis prenons la potence cubique de chasque partie. Ergo (car 22 fois CB2 font 44). Ostons doncques les 22 (1) AB, (22oAB) et en son lieu posons 22 (1) AC + 44, (22æac +44). Ergo 1 (3) AC sera egale à 22 (1) AC +336 "Et ainsi au lieu des donnez 1 (3) AB egale à 6 (2) AB + 10 (1) AB +300 x3AC = 22xAC +336 nous avons 1 (3) AC egale à 22 (1) AC +336 Desquels estant trouvé la valeur de 1(1) AC, (AC), qui par le 69 probleme est 8; s'ensuit que pour avoir la valeur de toute la AB, (AB), requise, qu'il y faut encore ajouster la CB,qui par l'hypothese est 2, et sera pour solution comme dessus 10 CAB 10 Or que cecy est l'origine de ladicte construction (comme nous avons demonstré le semblable plus amplement à la fin de l'origine du 70 probleme semblable à ceste ci) est manifeste. Laquelle origine il falloit declarer ». STEVIN explique encore au long, la solution de la deuxième différence; mais pour les cinq dernières il se contente d'en donner des exemples disposés en tableaux mumériques, presque sans explication. Les calculs se comprennent sans peine, à condition de connaître la forme qu'il donne aux coefficients de la transformée. Plusieurs de ces équations données en modèle admettent trois solutions réelles. Parfois le Brugeois les trouve toutes; mais parfois aussi, il n'en obtient que deux. C'est qu'il opère par simples tâtonnements. Il ne pouvait d'ailleurs soupçonner que l'équation du 3° degré a toujours trois racines, puisqu'il dédaigne les racines imaginaires de BOMBELLI, et qu'il déclare perte de temps de chercher à deviner l'énigme du cas irréductible. |