chez les riches négociants hollandais, jointe à leur désir de s'instruire. C'est le même motif qui, deux ans auparavant, en 1583, avait décidé un ami de Stevin, Nicolas Petri de Deventer, à publier en flamand une algèbre sous le titre de Practicque om te leeren rekenen, cijpheren ende boeckhouwen, Amsterdam, Claesz, 1583. (Voir mon mémoire sur cet ouvrage dans les Annales de la Société scientifique de Bruxelles, Bruxelles, 1908, t. XXXII, 2e part., pp. 272-301.) Mais Stevin avait, pour écrire en flamand un motif de plus que Nicolas Petri la persuasion intime de la supériorité de la langue flamande sur toutes les autres pour s'exprimer clairement. Cette persuasion, il ne manque pas de la manifester chaque fois qu'il en a l'occasion. Cependant, quand il se mit à écrire en flamand sur les mathématiques, il s'aperçut bien vite qu'il devait fréquemment faire usage de termes techniques empruntés à la logique. Or, ces termes n'existaient pas en néerlandais, ou n'étaient pas suffisamment compris, parce que la logique n'avait jamais été jusque-là traitée dans cette langue. Stevin résolut de combler cette lacune. Sa Dialectike est en quelque sorte un travail préparatoire à ses écrits mathématiques. La nécessité d'un ouvrage tel que la Dialectike ressort d'une remarque intéressante faite par la Bibliotheca Belgica, à propos précisément du travail de Stevin. La même année parut à Leyde, chez le même éditeur, une autre dialectique en flamand: Ruygh-Bewerp vande Redenkaveling, ofte Nederduytsche Dialectike. J'en connais un exemplaire à la Bibliothèque Plantin, à Anvers. Il est relié dans un recueil factice avec la Dialectike de Stevin.

4° De Thiende Leerende door onghehoorde lichticheyt allen rekeningen onder den Menschen noodich vallende, afveerdighen door heele ghetalen sonder ghebrokenen. Beschreven door Simon Stevin van Brugghe. Tot Leyden, By Christoffel Plantijn. M. D. LXXXV. (Bibl. Plantin et Bibl. de la Ville d'Anvers; Univ. de Louvain, exemplaire qui a échappé à l'incendie.)

Stevin traduisit lui-même l'ouvrage en français, et le donna la même année et chez le même imprimeur, dans sa Pratique d'arithmetique, sous le titre de La Disme Enseignant facilement expedier par nombres entiers sans rompuz, tous comptes se rencontrans aux affaires des Hommes. Premierement descripte en Flameng, et maintenant conuertie en François, par Simon Stevin de Bruges (pp. 132-160).

La Thiende et la Disme ayant paru la même année, quelques historiens en vue, M. Félix Müller, par exemple (Führer durch die mathematische Litteratur. Leipzig et Berlin, Teubner, 1909, p. 69), ont regardé à tort la Disme comme l'édition originale. Mais, le titre est formel; Stevin écrivit la Disme en flamand puis la traduisit.

La Disme a été rééditée deux fois en français, par Albert Girard, à Leyde, chez les Elzevier en 1625, dans la deuxième édition de l'Arithmetique, et en 1634, dans les Euvres mathématiques de Stevin. La Thiende, elle aussi, a été rééditée dans la traduction flamande de la Rhabdologie de Neper, par Adrien Vlacq, traduction qui parut, en 1626, à Gouda, chez Pierre Rammasceyn. Cette réédition est rare et je ne l'ai pas vue. J'emprunte le renseignement à Bierens de Haan, Note sur les Tables Logarithmiques Hollandaises (Bullettino di Bibliografia e di Storia delle Scienze Matematiche e Fisiche, de Boncompagni, Rome, 1873; t. VI, pp. 203 et 222).

A propos de la Disme se pose la question de l'inventeur des fractions décimales. On y répond volontiers par le nom de Stevin. La vérité est que, formulée dans les termes simples où nous venons de le faire, la question est mal posée. Il faudrait la généraliser, ou plutôt, y distinguer les fractions et le système décimal. Mais, même en restreiguant la question aux seules fractions. il est impossible d'y répondre par un nom unique. Une difficulté analogue se rencontre pour la plupart des grandes découvertes en mathématiques. Elles débutent par des essais isolés et timides,

sans

aucune exception. A ce double point de vue, Stevin mérite à juste titre le nom d'inventeur du système décimal. Quant à l'application de ces deux idées, peut-être le Brugeois n'atteignit-il pas un résultat aussi définitif dans la seconde que dans la première. C'est qu'y passer à l'exécution était bien plus difficile ! Stevin y déploie néanmoins un talent et une originalité surprenante. J'ai consacré au développement de ces considérations un mémoire spécial publié dans la Revue des questions scientifiques (Louvain, 1920, t. 77, pp. 109-139): La Thiende de Simon Sterin. A propos d'un exemplaire de l'édition originale qui a échappé à l'incendie de la Bibliothèque de l'Université de Louvain.

La notation décimale imaginée par Stevin est curieuse, mais lourde et encombrante. Aussi a-t-elle été vite remplacée par d'autres plus élégantes. Elle consistait à mettre, tantôt audessus, tantôt au-dessous du nombre proposé, de petits cercles au centre desquels s'écrivaient les puissances successives de la fraction 1/10 en commençant par la puissance 0. Stevin admettait, comme nous, que (1/10)0 = 1. Les petits cercles s'intercalaient souvent aussi dans le nombre lui-même, et s'écrivaient alors à la suite du chiffre qu'ils affectaient. D'après cela, en remplaçant, pour des exigences typographiques, par des parenthèses les petits

cercles de Stevin, le nombre 32,57, par exemple, s'écrirait, ou bien

ou bien

:

(0)

(1) (2) ou bien enfin, 32 (0) 5 (1) 7 (2). Je n'en puis dire ici davantage. Le lecteur que le sujet intéresserait, trouverait de nombreux renseignements complémentaires dans mon mémoire cité ci-dessus. Voir, en outre, sur la Thiende et plus particulièrement sur sa place dans l'histoire des fractions décimales Bierens de Haan, Bouwstoffen voor de Geschiedenis der Wis- en Natuurkundige Wetenschappen in de Nederlanden, n° XXX, De Thiende, Simon Stevin's Werken. (Verslagen en Mededeelingen der koninklijke Akademie van Wetenschappen. Afdeeling Natuurkunde; 2e serie, t. 19; Amsterdam, 1884; pp. 249-252.) DavidEugène Smith, The Invention of the Decimal Fraction (Teacher College Bulletin. 1 série, n° 5, New-York, 1910; pp. 11-21); mais surtout: N.L.A. W. Gravelaar, De Notatie der Decimale Breuken (Nieuw Archief van Wiskunde ; 2o serie, t. IV; Amsterdam, 1899; pp. 54-73). Travail consciencieux, richement documenté.

5o L'Arithmetique De Simon Stevin De Bruges, Contenant les computations des nombres Arithmetiques ou vulgaires: Aussi l'Algebre, auec les equations de cinc quantitez. Ensemble les quatre premiers liures d'Algebre de Diophante d'Alexandrie, maintenant premierement traduicts en François. Encore vn liure particulier de la Pratique d'Arithmetique, contenant entre autres, Les Tables d'Interest, La Disme; Et vn traicté des Incommensurables grandeurs Auec l'Explication du Dixiesme Livre d' Euclide. A Leyde, De l'imprimerie de Christophle Plantin, M. D. LXXXV. (Bibl. Royale de Belgique, 2 ex.; Univ. de Liége; ville de Bruges; Bibl. Plantin à Anvers; Observatoire Royal d'Uccle.)

Après la mort de Stevin, son Arithmetique eut deux rééditions, mais, avant d'en parler, il convient de parcourir l'ouvrage, tel qu'il sortit, en 1585, de la plume de son auteur. L'Arithmetique

1.

de Stevin est un travail très personnel, plein d'idées neuves, mais qui n'a malheureusement jamais donné lieu à une étude d'ensemble quelque peu complète. Le cadre de cette publication ne me permet pas de l'essayer ici. Force m'est donc de me contenter, moi aussi, de quelques remarques.

Et tout d'abord le mot Arithmetique se doit entendre dans le sens que beaucoup d'auteurs, à l'exemple de Stifel, y attachaient alors, celui d'Arithmetica Integra, Arithmétique complète, comprenant à la fois le calcul numérique et la théorie des équations; Stevin en énumère d'ailleurs les parties dans le titre. Chose étrange chez un aussi grand admirateur de la science germanique, le géomètre brugeois s'inspire beaucoup plus des Italiens: Cardan, Tartaglia et Bombelli, que des Allemands Rudolf et Stifel. Il connaît aussi le portugais Pedro Nunes.

Pour représenter les diverses puissances de l'inconnue dans les équations, la plupart de ces algébristes employaient des notations lourdes et compliquées. Bombelli, dans son Algebra Opera, de 1572, faisait cependant exception. L'auteur y avait eu l'idée heureuse de rappeler dans chaque terme le degré de l'inconnue, par un simple exposant numérique placé dans la concavité d'un petit demi cercle horizontal, qui luimême représentait l'inconnue. Stevin remplace le demi-cercle par un petit cercle entier à l'intérieur duquel il écrit l'exposant. De plus, aux lettres p et m, dont se servait Bombelli pour désigner les signes plus et moins, Stevin substitue les signes graphiques et déjà systématiquement usités alors chez plusieurs auteurs, notamment chez Scheubelius et dans un rarissime petit recueil belge de problèmes d'algèbre élémentaire, peutêtre connu par Stevin, dont je possède un exemplaire intitulé d'une manière assez fantaisiste: Insulae Melitensis, Qram Alias Maltam Vocant, Historia, quaestionib. aliquot Mathematicis reddita iucondior. Hric Accesserunt: Vltimae obsidionis breuis commemoratio, et testimonium S. Euangelistae Lucae, de humanitate

huius Insulae erga peregrinos. Anno.1565 En colophon Avth. Wil: Klebitio Impress. Antverp. approbatione Ecclesiast. typis E. Diest. 2. Augusti. 1565. Ce double emprunt donne aux équations de Stevin un cachet élégant, presque moderne.

Mais il faut le reconnaître, sa notation n'est pas encore parfaite. Ainsi, elle se prête mal, par exemple, aux systèmes d'équations à plusieurs inconnues. Pour distinguer ces inconnues les unes des autres, Stevin se voit obligé d'ajouter à la suite des cercles qui les représentent, les mots sec, ter, etc. C'est long et disgracieux. Autre inconvénient plus grave: L'algorithme employé pour désigner l'inconnue ressemble trop à celui des fractions décimales, composé aussi de petits cercles renfermant des chiffres. Quand on doit donner aux coefficients des inconnues la forme de fractions décimales, les écritures de Stevin deviennent ambiguës. Aussi, eurent-elles peu de succès et l'auteur ne trouva guère d'imitateurs. Sa notation constituait cependant un progrès considérable. Descartes s'en inspira, et en combinant Stevin avec Adrien Romain, Oughtred et Viète, il donna, à peu de chose près, à l'écriture des équations, la forme actuelle.

:

L'Arithmetique de Stevin se divise en deux volumes, dont le premier se subdivise lui-même en deux livres intitulés respectivement des Definitions et de l'Operation. Sous le nom d'Operation, Stevin entend la théorie des équations. Dans cette première édition, qui differe en cela des suivantes, Stevin s'en tient pour la résolution des équations des troisième et quatrième degrés, aux méthodes des Italiens, dont il donne d'ailleurs l'exposé d'ensemble le plus parfait qui ait été publié avant les travaux de Viète. Mais à propos de l'équation du second degré, il a quelques généralisations remarquables. Jusqu'à lui tous les auteurs avaient cru devoir distinguer, dans l'équation du second degré, trois cas differents ayant chacun leur formule de solution propre. Stevin, le premier, remarque qu'une formule unique les

comprend toutes les trois. A ce propos, quand il rencontre une soustraction, au lieu de dire retrancher 3, par exemple, il est conduit à devoir préférer l'expression, ajouter-3. C'est le premier auteur qui, pour retrancher un nombre d'un autre, dit qu'il ajoute au premier un nombre négatif. J'ai traité ce sujet en détail dans le premier chapitre de mes Notes sur l' Arithmétique de Simon Sterin. (Ann. de la Soc. Scient. de Bruxelles, Louvain, 1911, t. 33, 2e part., pp.293304.)

Le livre de l'Operation se termine par: Les quatre premiers livres d' Algebre de Diophanted' Alexandrie. Truduicts en Langue Françoise et expliquez par Simon Stevin de Bruges. Stevin ne fit pas sa version sur quelque bon manuscrit grec, mais sur la mauvaise traduction latine que Guillaume Xylander venait de publier à Bâle, en 1575. L'exemplaire Grec duquel Xylander l'auoit translaté, nous dit-il, a esté (par le souuent rescripre comme il semble) si rempli de vices (dont Xylander s'en complaint souuentes fois) que le texte de Diophante ne se pourroit expliquer de mot à mot (pp. 433-434). Aussi Stevin en prend-il à son aise, et dispose-t-il selon son style les quatre >> premiers livres de Diophante. >> (p. 642). C'est beaucoup plus un commentaire qu'une traduction proprement dite.

On rencontre parfois isolément le tome II de l'Arithmetique (ville de Bruges). En voici le titre, qui diffère assez de celui du tome I: La Pratique D'Arithmetique De Simon Sterin De Bruges, A Leyde, En l'Imprimerie de Christophle Plantin, M.D.LXXXV. La Pratique d'Arithmetique se compose de deux parties, divisées respectivement en deux et huit distinctions. Parmi ces dernières, il en faut signaler trois, auxquelles Stevin semble attacher lui-même une importance particulière, car il les nomme au titre du tome I. Ce sont la cinquième distinction «qui est de la reigle >> d'interest. » Stevin y réédite, en français, ses Tafelen van Interest; la septième, ou la Disme, c'est-à-dire, la traduction

de la Thiende; enfin la huitième, . Traité des incommensurables grandeurs. Avec un Appendice de l'explication du dixiesme livre d'Euclide. "

:

Le Catalogue of printed books, dụ British Museum, au mot Simon Stevin, donne le titre d'un ouvrage publié sans nom d'auteur, mais qui est de M. Mersenne Traité des quantités incommensurables: où sont décidées plusieurs questions de nombres rationaus et irrationans. Les erreurs de S(imon) S(tevin), réfutées; et le dizième livre d'Euclide illustré de nouvelles démonstrations et réduit à 62 propositions.., Paris, 1640. L'exemplaire du British Museum contient un autographe de Mersenne. Je n'ai pas vu cet ouvrage et n'en connais pas la valeur; mais, dans les questions de mathématiques pures le célèbre Minime n'était pas un adversaire redoutable. Je signale son travail à titre documentaire.

L'Arithmelique a eu, nous l'avons dit, deux rééditions; mais avant de préciser ce en quoi elles diffèrent de la première, il nous faut analyser l'Appendice que Stevin ajouta à son Arithmetique, en 1594.

60 Appendice Algebraique De Simon Stevin de Bruges, contenant regle generale de toutes Equations, 1594. J'en ai eu autrefois un exemplaire en mains à la Bibliothèque de l'Université de Louvain. Cet exemplaire, probablement unique, a péri dans le sac de la ville par l'armée allemande, en 1914. L'Appendice n'a pas de nom d'imprimeur, mais sort des presses de François van Raphelingen, de Leyde. Cette petite brochure constitue l'un des plus beaux titres de gloire de Stevin. Le grand algébriste se propose d'y donner une règle permettant de résoudre les équations numériques de tous les degrés. Sa méthode s'appuie sur ce principe fondamental dans la théorie de la résolution des équations numériques si deux nombres substitués à l'inconnue donnent des résultats de signes différents, ils comprennent au moins une racine de la proposée.

Adrien Romain et Ludolphe van Ceulen, amis de Stevin, et ses émules dans le problème qui nous occupe, con

naissaient probablement ce principe. On sait, en effet, par le traité Van de Circkel (Delft, 1596), de Van Ceulen, et les Idaeae Mathematicae (Anvers et Louvain, 1593), de Romain, que tous les deux possédaient le moyen de résoudre les équations numériques de tous les degrés. L'un et l'autre usaient fréquemment d'équations de degré élevé dans les vérifications de leurs calculs, notamment dans leurs célèbres déterminations du rapport de la longueur de la circonférence au diamètre. Mais, avaient-ils, chacun de leur côté, découvert le principe de Stevin? Encore une fois, la chose est probable, sans être toutefois certaine, car aucun des deux algébristes ne nous a révélé sa méthode de solution. Stevin lui-même ne savait d'ailleurs pas au juste à quoi s'en tenir, du moins relativement à Van Ceulen, car voici, à ce propos, la Note par laquelle il termine l'édition de 1594, de l'Appendice Algebraique; cette Note n'a pas été répétée dans les éditions suivantes :

Mon especial et familier ami, Maistre Ludolf van Collen, m'a dict d'avoir aussi inventé une maniere generale des Equations, voire il l'a prouvé en effect par certaines questions fort difficiles par luy solvees: Laquelle son Invention, il a promis de . divulguer.

Ludolphe Van Ceulen n'a malheureusement pas tenu parole.

L'Appendice Algebraique précède en date, notons-le, les publications de Viète sur la résolution des équations numériques. Loin de moi de vouloir insinuer, par cette réflexion, que les écrits du géomètre français pourraient avoir été inspirés par ceux de l'algébriste flamand. Le contraire est hors de toute discussion. Le Canon Mathematicus, pour lequel Viète créa sa théorie des équations numériques, est, en effet, de 1579. Mais, la De numerosa potestatum resolutione, dans laquelle, pour la première fois et encore partiellement, il la fit connaître, est de 1600. En 1594, Stevin ignorait cet ouvrage; il importe de ne pas l'oublier. La méthode du géomètre français est d'ailleurs toute.

différente de celle du géomètre flamand.

L'Appendice Algebraique, dit la Bibliotheca Belgica, est le plus rare des ouvrages de Stevin. C'est Philippe Gilbert qui appela le premier sur lui l'attention et en montra la haute valeur scientifique. Il en fit l'objet d'une lettre à Quetelet, publiée par ce dernier dans le Bulletin de l'Académie royale de Belgique (2a série, t. 8, Bruxelles, 1859, pp. 192-197).

L'exemplaire détruit de l'Université de Louvain, le seul qui soit jusqu'ici connu, était relié dans un recueil factice, à la suite de l'Arithmetique de Stevin. Ce recueil présentait la particularité intéressante d'avoir appartenu à Adrien Romain. Romain, on le sait, appréciait à sa valeur l'Appendice. A preuve, les termes élogieux avec lesquels il en parle dans son In Mahumedis Algebram. Par malheur, ce dernier ouvrage, presque aussi rare que l'Appendice lui-même, a également péri dans l'incendie de la Bibliothèque de l'Université de Louvain. Je lui ai consacré, en 1906, une étude dans les Annales de la Société Scientifique de Bruxelles (t. XXX, 2e partie, pp. 267-287): Le Fragment du Commentaire d'Adrien Romain sur l'Algèbre de Mahumed Ben Musa El Chowárez mî. J'y ai traduit (p. 275) le jugement de Romain, relatif à l'Appendice. J'ai appris récemment que la Bibliothèque de la ville de Douai possède un exemplaire de l'In Mahumedie Algebrun, coté Reserve C 203. (Ce renseignement m'a paru trop important pour ne pas le signaler en passant.)

L'Appendice Algebraique a été réédité en 1608, par Jean Tuning, dans les Memoires Mathematiques de Simon Stevin de Bruges (t. V., Des Meslanges, 1 partie, ch. II, pp. 7-10); Stevin le traduisit en flamand et le donna luimême, aussi en 1608, dans ses Wisconstighe Ghedachtenissen (t. V, Ire partie, pp. 7-10). Enfin, toujours en 1608, il le fit traduire par Willebrord Smellius, pour être publié dans ses Hypomnemata Mathematica (t. V, 1re partie, pp. 7-9). Les idées, et ce qui vaut mieux, le texte lui-même de Stevin sont donc sauvés.