mais vous êtes distraits. Euclide vous donne une simple définition nominale, formulée en vue d'abréger le discours. Il n'y a pas là l'énoncé d'un principe pouvant servir de point de départ à la démonstration d'une proposition ultérieure. Chaque fois qu'Euclide se servira de rapports composés, il vous démontrera qu'il a le droit de faire entre antécédents et conséquents les simplifications qu'il suppose implicitement permises dans la Définition. Votre objection n'a, en fait, aucune raison d'être. »

Saccheri passe alors en revue et en les discutant, les propositions dans lesquelles Euclide emploie les rapports composés. L'artifice du Géomètre grec est au fond toujours le même. Quand tous les rapports ne sont pas entre des quantités homogènes, que les uns sont, par exemple, entre des lignes, d'autres entre des surfaces ou des volumes, il en remplace quelques-uns par des rapports d'espèce différente, jusqu'à ce qu'il les ait exprimés tous en rapports équivalents d'espèce unique, d'ordinaire par des rapports entre lignes. Après quoi, pour faire les simplifications qui lui sont nécessaires, il n'a plus qu'à appliquer les théorèmes relatifs aux proportions démontrés dans le Livre V.

« Au surplus, ajoute en résumé Saccheri, si la chose peut vous agréer, il n'est pas difficile de vous démontrer, immédiatement après la Définition, l'existence des rapports composés. >>

J'emploie ce mot moderne d'existence, qui n'est évidemment pas dans Saccheri, parce qu'il rend parfaitement sa pensée.

Notre auteur fait ensuite au long la démonstration qu'il propose, mais dans l'hypothèse où tous les nombres sont commensurables. Il l'omet dans le cas où quelques-uns sont incommensurables, car, dit-il, si au point de vue logique cette démonstration est nécessaire, d'autre part elle n'a pas une utilité suffisante pour justifier les longs raisonnements qu'elle nécessite, raisonnements dont on aperçoit d'ailleurs les grandes lignes.

« Et ce qui précède me paraît suffire, écrit Saccheri en déposant la plume, pour laver Euclide de toutes les taches qu'on lui reproche ! »

Secrétariat de la Société Scientifique Les Presses Universitaires de France

(MM. F. Willaert et H. Dopp) II, RUE DES RÉCOLLETS, II Compte chèques postaux 38022

(Société coopérative)

49, BOULEVARD S' MICHEL, 49

Chèques postaux 392-33

(Extrait des Annales de la Société scientifique de Bruxelles Tome XLIV, première partie, Documents et Comptes rendus, p. 458 Session du 29 octobre 1925. Première Section.

SUR L'AUTEUR D'UN TRAITÉ D'« ALGORISME »
CONTENU DANS LE MS. D. 372 DE LA BIBLIOTHÈQUE
RECONSTITUÉE DE L'UNIVERSITÉ DE LOUVAIN

Note du R. P. H. BOSMANS, S. J.

Le Ms. D. 372 de la nouvelle Bibliothèque de l'Université de Louvain est un volume de papier relié, dont les feuillets mesurent environ 22×15,5 centimètres, avec une légère différence dans les dimensions d'un feuillet à l'autre. II. se compose de 12 cahiers d'inégales épaisseurs, formant un total de 154 feuillets non numérotés; mais les cahiers eux-mêmes le sont, au crayon, de 1 à 12, en haut de la marge de gauche du premier feuillet (recto) de chaque cahier. L' Ex Libris» de l'Université, collé sur le plat intérieur de la reliure, donne le nom du dernier propriétaire : « Ex dono L. de Ridder, Bruxellis ».

L'écriture du corps du Ms. parait être d'une seule main, du XVe siècle. Les lignes sont en général assez espacées. Sur beaucoup de pages une seconde main du xv siècle a ajouté, dans les marges et dans les interlignes, des gloses d'une écriture beaucoup plus petite.

Notre Ms. renferme plusieurs ouvrages, et notamment des traités de Comput qui ne sont pas de ma compétence. Mais les 18 feuillets du 6o cahier, ainsi que les 6 premiers feuillets et le recto du 7o feuillet du cahier 7, soit au total 49 pages, contiennent un traité d'Algorisme, ou de calcul, fort intéressant (').

(1) Incipit : Omnia que a primeva rerum origine processerunt, ratione numeri vel numerorum formata sunt; et quemadmodum, sicut, res habet esse suum, sic cognosci habet. Unde in universa rerum cognitione ars numerandi est necessaria et optima. Hanc igitur scientiam numerandi compendiosam edidit quidam philosophus nomine Algus, unde et Algorismus nuncupatur.

Desinit: Notandum, quod si in numero proposito non sit aliquis locus millenarii, incipiendum est operari sub prima figura. In hac autem radice extrahenda solent quidam distinguere numerum propositum per ternarios, et semper inci

L'auteur n'est pas nommé; mais c'est un Anglais, élève d'Oxford, Jean de Holywood, ou de Halifax, très connu, sous le nom de Sacrobosco, par les innombrables éditions de son opuscule de la Sphère. On ignore la date précise de sa naissance; mais on sait qu'il enseigna les mathématiques et l'astronomie à Paris. On s'accorde aussi pour placer sa mort en 1256.

Son traité d'Algorisme (') a donné lieu à des difficultés et soulevé des controverses, qui ont été en grande partie définitivement résolues par Maximilien Curtze, dans son édition du Petri Philomeni de Dacia in Algorismum vulgarem Johannis de Sacrobosco Commentarius, una cum Algorismo ipso (2). Par « Algorismus vulgaris» il faut entendre l'Algorismus de integris ou calcul des nombres entiers. On le distinguait de l'Algorismus de minutiis ou calcul des fractions; et de l'Algorismus projectilium ou calcul par les jetons.

L'Algorisme de Sacrobosco eut une fortune très variée. On le trouve dans beaucoup de Mss. du Moyen Age, tantôt anonyme, tantôt avec le nom de l'auteur. Au temps des débuts de l'imprimerie, il eut plusieurs éditions, dont la plus ancienne est de Strasbourg, 1486 ou 1488, et la plus récente, d'Anvers, 1582 (3). Puis, après avoir joui d'une popularité presque égale à celle de la Sphère du même auteur, il tomba dans un oubli tel, qu'en 1841,

pere operari a prima figura ultimi ternarii, sive completi, sive incompleti. Qui modus operandi idem est cum predicto. Et haec de radicum extractione dieta sufficiant.

Si j'ai cru devoir donner avec une certaine étendue ce commencement et cette fin de notre Algorisme, c'est pour en faciliter la comparaison avec les éditions imprimées qui ont des divergences assez marquées entre elles.

(1) Mon travail ayant été lu dans une des salles de la Bibliothèque de la Ville de Bruges, je crois intéressant de rappeler que la riche exposition de Mss. anciens et d'incunables de ce dépôt, organisée en l'honneur des membres de la Société scientifique, par le Bibliothécaire M. l'abbé De Poorter, renfermait quatre exemplaires de l'Algorisme de Sacrobosco contenus respectivement dans les Mss. 521, 522, 523 et 524.

(2) Hauniae, A. Hoest et fil., M. DCCC.XCVII.

(3) Curtze, o. c., en donne la liste sommaire, « Einleitung », p. V, note 1. Pour la 1 édition, Curtze donne, dans le texte, la date de 1486, mais en transcrivant le titre (note 1). il donne celle de 1488. L'Algorisme y fait suite à un traité du Comput de Sacrobosco.

L'édition d'Anvers 1582 fait suite à une édition de la Sphère de Sacrobosco.