"Notez que (2A) signifie qu'il faut prendre le sinus de deux fois l'arc A. "Si A et B sont ensemble majeurs au quadrant "Si D abonde, prenez le +; autrement si D defaut prenez le Que si D est quadrant, c'est tout un, aussi bien d (= cos d) n'est rien ". Avant de passer outre, il faut remarquer l'emploi du symbole qui en est le plus ancien exemple connu; encore GIRARD sépare-t-il, par la conjonction ou, les signes superposés. J'abrège. Dans le cas suivant notre auteur cherche le troisième côté d d'un triangle ABD dont les deux côtés a et b sont connus, ainsi que l'angle D qu'ils comprennent. Si a et b ne sont pas tous les deux aigus, on opérera de nouveau sur un triangle consort. Cela posé, le côté inconnu d sera donné par la formule fondamentale, écrite en notations modernes comme suit, tous les cosinus y étant pris en valeur absolue 1 [cos (a − b) ± cos (a + b)] × sin.vers D R cos (a - b) = cos d. Quand a+b> 90°, il faut prendre cos (a + b) avec le signe +; quand a + b < 90°, il faut prendre cos (a + b) avec le signe Puis, vient cette remarque importante, preuve que GIRARD a vu qu'il eut dû, dans le second membre de sa formule, affecter la valeur absolue de cos d d'un double signe : "Quand l'application (c'est-à-dire la fraction du premier membre) est majeure au sinus de (A + b), [= cos (a — b)] la base requis abondera; si mineure elle défaudra, si egale, quadrant (1) ». Puis, plus loin, il dit : «Touchant le cas qui a deux angles donnez sur la base cogueue, on le pourrait resondre par le reciproque ». Quant à la solution des deux cas dits aujourd'hui douteux, elle n'est qu'ébauchée. Il faut faire cesser l'indétermination, puis décomposer le triangle donné en deux triangles rectangles. Quant au cas, dont les deux costez et un angle non compris d'iceux, il faut sçavoir l'espece de l'incognu opposite au costé donné —. Iceluy se resoudra facilement par les rectang. Quant au cas de deux angles et un costé opposite à l'un d'iceux, il faut aussi sçavoir l'espece du costé incogneu, qui est opposite à l'angle cogneu ». (1) Ces explications parurent probablement peu claires aux premiers lecteurs de GIRARD, qui y revint dans l'Appendice de l'édition de 1627. Pour élucider le sujet, il développe jusqu'au bout une application numérique; après quoi vient une définition par laquelle il eut été plus méthodique de commencer. Notez que j'appelle Aplication un numerateur et denominateur separez par une ligne. Cette déclaration entendue les autres choses seront faciles ". Restait, cependant, une dernière difficulté. Un caractère d'imprimerie brisé avait fait disparaitre en partie un signe d'opération et rendait la lecture d'une formule douteuse. « Afin, qu'il n'y ait pas d'achoppement, il faut un peu mieux marquer en ladite Table (= ladite formule) un trait qui n'apparait pas assez ». Cette faute, et la complication typographique de la formule dans le texte original, l'eussent rendue un peu difficile à reproduire; c'est ce qui m'a décidé à n'en donner que l'équivalent en notations modernes. Suivent quatre formules intéressantes, que GIRARD attribue à VIÈTE. Il en donne d'abord le tableau, puis définit le triangle auquel elles s'appliquent. Pour la clarté, je fais l'inverse. "Soit un triangle ABD spherique, et AC perpendic. de l'angle A sur le costé opposite BD. Il s'ensuivra quatre proportions. Notez que 2 lettres signifient un costé, autrement, (d'autre part) une ou trois lettres signif. l'angle. (1) GIRARD ne dit pas où VIETE les a donnés. Un examen, assez rapide, je dois le dire, du Canon Mathematicus, Lutetiae, apud Joannem Mettayer, 1579 (Coll. de la Compagnie de Jésus à Louvain) et du FRANCISCI VIETAE variorum de rebus mathematicis responsorum liber VIII. Turonis, apud Jamellium Mettayer, 1593 (Bibl. Roy. de Belg.) ne m'a donné aucun résultat. TROPFKE, toujours si exact, reproduit les 4 formules, dans la 2o édition de sa Geschichte der Elementar Mathematik (t. V, Berlin, Walter de Gruyter, 1923, p. 38) et les attribue à GIRARD sans faire la moindre allusion à VIÈTE. Je n'en conclurai pas que GIRARD se soit trompé. Peut-être avait-il vu un des opuscules de VIETE aujourd'hui perdu. Le Canon Mathematicus n'eut qu'une édition, mais trois tirages avec des titres, des dates et des adresses d'imprimeurs différentes. L'exemplaire du Collège de la Compagnie à Louvain porte Parisiis, apud Bartholomaeum Maccaeum, in Monte D. Hilarii, M.DC.IX. Pour plus de détails, voir ma Notice historique sur les diverses éditions du Canon Mathematicus de VIETE, dans COIGNET, pp. 21 25. GIRARD termine sa trigonométrie théorique par un problème contre lequel SIMON SIEVIN s'était buté; problème en soi assez banal, mais que le Samielois résout très ingéniensement po un géomètre du XVIIe siècle. En voici l'énoncé : Étant donné un quadrangle sphérique quelconque - vulgaire, revers ou croisé (1), - dont on connait cinq termes c'est-à-dire cinq éléments, angles ou côtés, déterminer les trois autres. STEVIN y distingue huit cas, d'après la position relative des angles et des côtés donnés (2). Il y ajoute 24 dessins, qu'il range par trois en huit groupes ou figures numérotées de 1 à 8. Chacune de ces figures contient le dessin des trois espèces de quadrangles. STEVIN résout sept figures sans difficulté. Elles ne donnaient lieu qu'à deux solutions différentes qualifiées d'Exemples. Mais le Brugeois, nous venons de le dire, se buta contre la 5o figure. qui ne rentrait dans aucun des deux Exemples précédents et nécessitait par conséquent un troisième Exemple. C'était la figure où on connaissait trois angles et les deux côtés qui comprennent l'angle inconnu. Après l'avoir énoncé, STEVIN écrit non sans quelque humeur, (cela lui arrivait en pareille circonstance) (3) : "Note. En descrivant ceste proposition je n'estois pas encore parvenu à la cognoissance des termes incognus de ceste 5° figure, de sorte que nous mettons seulement la suscription (= l'énoncé) de ce 3o Exemple, comme par memoire, pour ceux qui pourroient avoir l'envie de le cercher, afin d'avoir plus ample cognoissance du Traicté des polygones sphéri ques ». Dans l'édition des Euvres de STEVIN de Leyde 1634, GIRARD saisit la balle au bond et apostille la remarque (4) : (1) Le quadrangle ou quadrilatère revers étant celui qui contenait un angle revers, c'est-à-dire, supérieur à 180 degrés. C'est STEVIN le premier, qui crut utile d'appeler l'attention sur ce fait, qu'il y a trois formes de quadrilatère. Il n'eut pas cependant l'idée de les réunir en une seule figure et d'en former ce que nous nommons aujourd'hui le quadrilatère complet. Mémoires t. I, pp. 166-167. Œuvres, t. II, p. 21. C'est la définition 2, de l'Application des polygones plans. (2) Mémoires, t. I, pp. 173-174 et 282-283. Euvres, t. II, pp. 24-25 et 89-90. (3) Mémoires, t. I, p. 323. Œuvres, t. II. p. 90. (4) Euvres, t. II, p. 90. « ALBERT GIRARD. Voyez la solution de cest Exemple en la page apres la K7 de mes sinus de la deuxiesme edition ». Dans notre édition de 1626, elle se trouve pages K4v0 et Kro. A une première lecture, cette solution est malaisée à comprendre. Mais elle est très jolie quand on a pénétré le vieux français de GIRARD. La voici donc d'abord sous une forme moderne : Soit ABCD le quadrangle sphérique considéré; A, B, C, les trois angles et p, q les deux côtés données. Le problème sera évidemment résolu si l'on parvient à déterminer l'angle D compris entre ces deux côtés. Avec de très légères modifications, la démonstration vaut pour les trois formes du quadrangle; mais pour fixer les idées nous la donnerons sur le quadrangle « vulgaire ou convexe. Menons la diagonale DB, et posons ang DBA arc DA p, arc DC = q, arc DB = λ. On a = x, ang DBC = y, - y. Les deux triangles DBA, DBC donnent Quand AC le second membre se réduit à un rapport de deux sinus. Pour lui donner la même forme dans le cas général, GIRARD effectue une transformation qui revient à calculer deux angles auxiliaires et en posant, ce qui est évidemment toujours possible, Mais le degré d'avancement de l'Algèbre ne permettait pas d'opérer d'une manière aussi simple. GIRARD substitue, dit-il, un côté à l'un des côtés donnés », ce qui au premier abord est peu intelligible. En continuant la lecture du texte, on parvient, cependant, sans trop de peine, à suppléer ce qui manque à l'énoncé de l'artifice employé et aux explications qui l'accompagnent. L'auteur effectue la transformation à l'aide d'un triangle sphérique rectangle auxiliaire, qui a le côté donné pour hypoténuse, et pour angle adjacent l'angle donné, ce qui lui permet de calculer un nouveau côté auxiliaire par la proportionnalité des sinus. Dans le cas actuel, il vient |