bien entendu, des travaux de ses prédécesseurs immédiats sur les sections angulaires, tels que ceux de VIETE, de LUDOLPHE VAN CEULEN et d'autres encore. Tous ces savants connaissaient l'équation cubique qui donne la corde d'un arc en fonction de la corde de l'arc triple. Cette équation équivalait à la formule classiqué

Mais pour suivre les calculs de GIRARD, il faut remplacer les sinus par les rapports des deux lignes qui les définissent; en conséquence en désignant par R le rayon du cercle trigonométrique, il faut poser Sin 3 a ; et écrire l'équation transformée R

Sin a
R

, sin 3 α =

sin a= comme suit

Pour faire l'équivalent de ce que nous appellerions l'identification de (2)

En voici la traduction exacte en notations algébriques modernes. Je représente les segments de droite qui y entrent par R, 2 Cos a, 2 Cos 3a, 2 Sin a, 2 Sin 3 a. Prop. 16.

(2 Cos a)3 3 R2 (2 Cos a)

R2 (2 Cos 3a).

(a)

Prop. 17.

3 R2 (2 Sin a) — (2 Sin a3 :

=

R2 (2 Sin 3a).

(3)

En divisant par 2 R3 et en désignant par nos notations habituelles les rapports des lignes trigonométriques au rayon, il vient

4 cos3 a 3 cos a = cos 3 a,

3 sin a 4 sin3 a sin 3 a.

VIÈTE a résolu l'équation du 3° degré dans le cas irréductible à l'aide des formules (x) et (B), mais en faisant usage d'artifices géométriques différents de ceux de GIRARD, qui dans sa première solution opère comme on le verra d'une manière toute algébrique.

MITZSCHERLING a consacré un volume entier au problème des sections angulaires: Das Problem der Kreistellung. Ein Beitrag zur Geschichte seiner Entwickelung, Leipzig et Berlin, Teubner, 1913. Travail intéressant, contenant beaucoup d'informations historiques; mais sans les renseignements bibliographiques qui permettraient de les retrouver aisément. Ces références n'eussent cependant pas été inutiles, car chez M. MITZSCHERLING les énoncés des théorèmes et leur démonstration sont donnés sous une forme moderne ne rappelant parfois que d'assez loin la forme originale.

et de (3), GIRARD, sans dire comment, détermine un facteur constant que nous représenterons par k, et tel qu'on puisse poser

kx = Sin a..

Tirons-en la valeur de x. En la substituant dans (3), il vient

(4)

(5)

R2 Sin 3a

(6)

=

qR et

3

se nomment respectivement divi

dende et diviseur; leur quotient donne - Sin 3a. Mais, Sin 3 a Sin (— 180° +3 a) Sin 3 a', qui tombe dans la limite des tables, GIRARD prend pour valeur de l'are a, le tiers de 180° +3 a'. Les tables lui donnent alors la valeur correspondante de Sin a. Puis en éliminant k entre (4) et (7), il obtient la première racine xi

Les deux racines x2 et 3 auraient évidemment pu se calculer de la même manière. Mais, d'après une méthode dont il ne se départit presque jamais quand il résout des équations d'un degré supérieur au second, il préfère profiter de la racine qu'il vient de trouver, pour former une équation du degré immédiatement inférieur à la précédente; ce qu'il fait à l'aide de son beau théorème sur les relations qui relient les racines et les coefficients des diverses puissances de l'inconnue; théorème qu'il énonce plus loin. Chose assez étrange pour former cette nouvelle équation, jamais il n'a l'idée de réunir, tous les termes de la proposée dans un même membre et de le diviser ensuite par x xi, x1 désignant la racine connue.

En ce qui concerne l'équation du troisième degré qui nous occupe, il a, d'après son théorème

et par conséquent x2 et 3 lui sont fournies par l'équation du second degré

Le lecteur qui aura eu la patience de me suivre dans les détours de cette solution, comprendra maintenant sans peine les calculs purement numériques de GIRARD (9). En les transcrivant, je rappellerai d'ailleurs au fur et à mesure les formules précédentes.

lors que le cube du tiers du nombre de (1) est majeur au quarré de la

La notation (4) signifie ici, qu'il faut séparer vers la droite 4 chiffres décimaux. L'extraction de la racine carrée du même nombre sera encore utilisée plus loin. Pour en marquer l'importance et la faire retrouver aisément elle est précédée d'une main qui la montre du doigt; signe de rappel qui sera répété tantôt, quand il faudra de nouveau faire usage de ce résultat.

La décimale est indiquée à la fois par la virgule et par (4)

(9) Le lecteur aura remarqué que cette solution, dans ses grandes lignes, ne diffère pas de celle qu'on rencontre, par exemple, chez NEUBERG, Cours d'Algebre supérieure (dans l'édition, Paris, Herman; Liége, Gnusé, 1909, pp. 222-224).

"La moitié du (0) est 6

le raid 100 000

leur produit 600 000 dividende

66

Or, ayant ainsi un dividende et un diviseur, on a un quotient 66515 41 deg. 41' 37" Sin 3 a' = 66515 Sin 41° 41' 37"

Sinus de

Car il y a encore deux valeurs qui sont (c'est-à-dire négatives); parquoy appliquant (1) [4x], et ledit divisant l' (0) donné 12 viendra 3,

signe à chacun puis par reigle

X2

R 100 000

4.

chacune faites par
à la valeur trouvée 4,

12 x0

"Donc les trois valeurs requises seront 4;

3, X3 = = — 1.

- 3;

« Le mesme en geometrie de facile expedition ».

C'est une seconde solution trigonométrique de l'équation

dans le cas irréductible. Elle est beaucoup plus connue que la précédente, notoriété qu'elle doit à la brillante explication de la figure qui l'accompagne en guise de démonstration, donnée par FRANÇOIS VAN SCHOOTEN, dans son Appendix de Aequationum cubicorum resolutione, annexé à sa traduction latine de la Géométrie de DESCARTES (1o). La voici en résumé :

ties égales, par les points L, J se succédant dans l'ordre K, L, J, G.

Imaginons maintenant que L soit le sommet d'un triangle équilatéral inscrit et MN son côté opposé; FL sera la solution positive de l'équation et - FM, - FN ses deux solutions négatives. En effet, posons

(10) Geometria a RENATO DES CARTES Anno 1637. Callice conscripta ... in linguam Latinam versa... operá atque studio FRANCISCI A SCHOOTEN... Amstelodami, apud Ludovicum et Danielem Elzeviries. M.DC.LIX; pp. 348