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LA RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION DU 4 DEGRÉ

CHEZ SIMON STEVIN (1),

par M. H. BOSMANS, S. J.

STEVIN résout l'équation du 4° degré par la méthode connue de nos jours encore sous le nom de LourS FERRARI, son auteur. Mais, s'il en « collige les theoremes du livre de CARDAN intitulé Ars magna », qui fit connaître cette méthode aux savants du xvie siècle, il les dispose à sa manière. Il possède aussi à fond l'Algebra de BOMBELLI, ouvrage dans lequel le géomètre bolonais s'occupe en détail de l'équation du 4o degré, notamment à la fin du Livre II.

Pour faire apprécier STEVIN tel qu'il est et avec ses nuances archaïques, je continuerai, comme dans mes articles précédents, à le laisser parler lui-même le plus possible. Aussi, prierai-je le lecteur de bien vouloir relire au besoin ce que j'ai dit des notations et du vocabulaire de notre Brugeois, dans les deux premières pages de mon étude sur l'Équation du 3 degré chez STEVIN. Qu'il me suffise de rappeler que, d'après ce que j'y ai dit, l'équation du 4° degré s'écrira naturellement chez lui sous forme d'une proportion à quatre termes

avec la condition tacite que les antécédents sont égaux aux conséquents; ce qui lui permet de transformer immédiatement cette proportion en

x4 = ax3 + bx2 + cx+d

(1) Cet article fait suite à deux autres publiés ici même : Remarques sur l'«Arithmetique

pp. 167-174, 220-231, et 275-281.

(I)

de SIMON STEVIN. T. XXXVI, 1922,

La résolution des équations du 3 degré, d'après SIMON STEVIN. T. xxxvii, 1923, pp. 246-254, 304-311, et 341-347.

Dans ces articles, j'ai donné des renseignements bibliographiques sur les éditions de STEVIN, ainsi que sur celles de l'Ars magnu de CARDAN, et l'Algebra de BOMBELLI. Il me parait superflu de les répéter. J'y renvoie le lecteur.

Je citerai en abrégé les trois éditions de l'Arithmetique de STÉVIN par : Ed. 1585, Ed. 1624, Ed. 1634.

Pour ne pas multiplier sans utilité les références du bas des pages, je dirai une fois pour toutes, que l'équation du 4° degré est traitée dans les diverses éditions aux endroits suivants. Ed. 1585, pp. 348-375, Ed. 1624, pp. 324-350. Ed. 1634, T. 1, pp 81-87.

Comme j'aurai soin d'indiquer le numéro d'ordre du problème étudié, cette indication générale suffira pour le retrouver rapidement.

De plus, il me faut rappeler aussi que l'inconnue (1) se nomme Nombre algebraique quelconque.

Pour la clarté, je crois utile d'exposer préalablement la méthode de FERRARI telle que STEVIN l'emploie systématiquement. Dans ses grandes lignes, personne ne l'ignore, elle consiste à transformer les deux membres de la proposée en polynomes carrés parfaits; puis, par une extraction de racines, à remplacer l'équation du 4° degré par deux équations du second. Voici comment STEVIN opère.

Après avoir fait passer le terme aa3 dans le premier membre, il remarque qu'en ajoutant a2x2 aux deux membres, la proposée peut s'écrire

(x2

ах

— —
— ax)2 = ( —
— a2 + b) x2 + cœ+d.

(II)

Ceci lui permet d'affirmer que, s'il veut transformer le premier membre en un trinome du second degré à élever au carré, les deux premiers 1 termes doivent en être nécessairement a2

ах.

Quant au terme indépendant de , il peut provisoirement ne pas s'en occuper; car quel que soit y, s'il ajoute aux deux membres

2y (x2

1/2 ax) + y2,

(III)

l'équation (II) prendra la forme

(w2 − − → ax + y) = ( — a2 +b+2y) x2+(c− ay)x+d+y2 (IV)

et tout consistera à choisir y de manière à ce que le second membre de (IV) soit un polynome carré parfait. Or, on savait de temps immémorial, que la condition nécessaire ct suffisante pour que le trinome Ax2 + Bx + C soit carré parfait, était que

ti

da

ap

règle que STEVIN formule d'ailleurs lui-même, dans la Note qui suit le deuxième exemple de la proposition 61 (1) Pour reconnaître si un trinome du second degré est carré parfait, il avait d'abord donné un procédé tout

(1) Ed. 1585, p. 255. Ed. 1624, p. 237. Ed. 1634, T. 1, p. 59.

:

empirique extraire la racine carrée des deux termes extrêmes; faire par voie de multiplication algébrique le carré du binome ainsi obtenu; voir si oui ou non ce carré reproduisait le trinome donné. Puis il ajoute :

"Nota. L'on peut aussi autrement que par la multiplication en eux, cognoistre si la somme des racines des extremes est la racine requise, à sçavoir, par le produict des extremes noms donnez. Car estant tel product egal à la moitié du moyen nom donné alors le seront ».

D'après cela, l'équation de la résolvante de (IV) est

nous la donnerons dans le style de STEVIN à la fin de l'article.

(VI)

La théorie de l'équation du 4° degré se compose de six problèmes qui se distinguent entre eux par les termes du second membre, les coefficients étant supposés différents de zéro. Pour les formuler, je conserve la notation de l'équation générale :

Le terme tout connu d est naturellement toujours supposé différent de zéro, puisque, s'il était nul, l'équation s'abaisserait d'un degré. Le cas de l'équation bicarrée est aussi omis.

De plus, tous les coefficients sont positifs, mais leurs signes sont mis en évidence; ce qui conduit STEVIN à distinguer dans les trois premiers problèmes autant de « differences de second terme » ou de cas particuliers qu'il y a de combinaisons de signes possibles dans les seconds « termes » ; nous dirions aujourd'hui dans les seconds membres de l'équation. Mais, comme il ne s'occupe que des racines positives, il néglige les « differences » dans lesquelles tous les termes du second membre sont négatifs. Enfin, après le 74° problème il déclare explicitement que l'examen de toutes ces « differences est inutile, puisque les règles qu'on leur applique sont générales. Désormais il s'abstiendra d'entrer en ce détail.