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L'emploi de la méthode des limites est en soi plus intéressant, dans le Waterwicht que dans la Weeghconst, mais, dans cette dernière il est plus instructif. Nous y trouvons, en effet la démonstration d'un théorème déjà traité par ARCHIMEDE et que CAVALIERI devait reprendre à son tour. Chacun des trois géomètres pourrait sembler avoir été soucieux de bien y mettre en évidence, ce que sa méthode a de caractéristique. Je les laisserai parler à tour de rôle. Et d'abord, ARCHIMEDE. Il s'agit de cette proposition tout élémentaire, que le centre de gravité d'un triangle ne saurait être hors de la médiane (1).

« DE L'ÉQUILIBRE DES PLANS. LIV. I. PROP. VIII. (Fig. 1.`

"Dans tout triangle, le centre de gravité est situé sur la droite menée d'un angle au milieu de la base.

"Soit le triangle ABI dans lequel la droite A▲ est menée au milieu de la base Br. Il faut démontrer que le centre de gravité du triangle ABI est situé sur la droite AA.

(1) ARCHIMEDIS Opera Omnia cum Commentariis EUTOCI, iterum edidit J. L. HEIBERG, t. II, Leipzig, Teubner, 1913, pp. 150-155. Les OEuvres complètes d'ARCHIMEDE traduites du grec en français, par PAUL VER EECKE. Bruxelles, Desclée de Brouwer, 1921, pp. 316-318.

« En effet, que cela ne soit pas ainsi, et que le centre de gravité soit le point , si cela est possible. Par ce point, menons la droite OI parallèle à la droite BF.

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Dès lors, la droite A étant constamment divisée en deux parties égales, on aura bientôt un reste plus petit que I. »

En langage moderne nous dirions: Si a est une longueur donnée, k un nombre arbitrairement petit, n un nombre suffisamment grand, on finira toujours par avoir

Comme, ni ARCHIMEDE, ni STEVIN ne connaissent les quantités négatives, nous nous trouvons devant une définition rigoureuse d'une variable qui tend vers zéro. Dès à présent, j'appelle l'attention sur l'usage absolument différent qu'ARCHIMEDE et STEVIN vont faire de la variable ainsi définie. Quant à CAVALIERI, il n'en parlera pas.

<< Partageons chacune des droites BA, AF en segments égaux à ce reste. Par les points de division, menons des parallèles à A▲, et menons les droites de jonction EZ. HK, AM. Ces dernières droites seront donc parallèles à BI.

Dès lors, le centre de gravité du parallélogramme MN est situé sur la droite ry (1); le centre de gravité du parallelogramme K≤ sur la droite TT; et celui du parallélogramme ZO sur la droite AT. Donc, le centre de gravité de la grandeur constituée par toutes les grandeurs précédentes est situé sur la droite A (2). Que ce centre de gravité soit le point P.

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Menons la droite de jonction PO que nous prolongerons, et menons la droite I parallèle à la droite AA. »

A ce moment, ARCHIMEDE passe par une série de calculs, qu'il sera plus clair, et sans inconvénient à notre point de vue, de donner en notations algébriques.

et il en est de même des n petits triangles EOB, AZA. On a donc entre les surfaces des triangles:

(1) D'après la Prop. 10.

(2) D'après la Prop. 4.

I importe maintenant de revenir aux expressions d'ARCHIMÈDE. Reprenons la traduction du texte :

"Puisque l'on a une certaine grandeur ABF, dont le centre de gravité est, et qu'on en a ôté une grandeur composée des parallélogrammes MN, KE, ZO, et que le centre de gravité de la grandeur retranchée est le point P, il s'en suit, que le centre de gravité de la grandeur restante, composée des triangles laissés à l'entour, est sur la droite PO prolongée, sur laquelle on a pris une droite (X) ayant avec PO le même rapport que la grandeur retranchée avec la grandeur restante.

"Donc le point X est le centre de gravité de la grandeur des triangles qui restent à l'entour (1).

« Ce qui est impossible. Car ces derniers sont tous situés du même côté d'une droite, parallèle à AA menée du point X dans le plan.

Dès lors la proposition est évidente (2). "

On le voit, la quantité qui tend vers zéro sert uniquement à édifier un raisonnement par l'absurde, dans lequel la contradiction provient de l'impossibilité de la position que devrait occuper le centre de gravité.

Il serait exagéré de dire, que d'ARCHIMEDE à STEVIN le calcul infinitésimal resta tout à fait stationnaire. Dans cet intervalle de temps, FREDERIC COMMANDINO (1505-1575) le fit quelque peu progresser. Le traité du Centre de gravité (3) du géomètre d'Urbin, à l'autorité duquel STEVIN en appelle parfois, est un ouvrage de vrai mérite. Mais, comme il nous l'apprend, dans la Préface, COMMANDINO s'y propose de reconstituer un traité perdu d'ARCHIMEDE et il y réussit.

(1) D'après la Prop. 8.

(2) Comme M. VER EECKE le dit fort bien (0, c.) p. 318, Note 6, la manière embarrassée dont se termine le raisonnement fait supposer quelque altération dans le texte original. Celui-ci contenait probablement un renvoi au postulat VII: « Le centre de gravité de toute figure, dont le périmètre est concave dans la même direction, doit être à l'intérieur de cette figure ». En un mot, l'impossibilité résulte de ce fait, que le centre de gravité de chacun des triangles est à gauche de F, tandis que le centre de gravité X de l'ensemble serait à droite.

(3) FREDERICI COMMANDINI URBINATIS Liber, De Centre Gravitatis solidorum. Bononiae, ex officina Alexandri Benacii, MDLXV.

Le but qu'il poursuivait, lui imposait la règle à suivre imiter le mieux qu'il le pourrait le style et la méthode du Syracusain. CoмMANDINO n'y manqua pas. Ce que son traité du Centre de gravité a de neuf, c'est d'avoir étendu à l'espace des méthodes, que les traités conservés d'ARCHIMEDE ne faisaient connaitre que pour la géométrie plane. Il en est tout autrement chez STEVIN.

THEOREME II, PROPOSITION II. (Fig 2.) (1)

Le centre de gravite de tout triangle est sur la ligne menée d'un angle au milieu du côté opposé.

"DONNÉE. Soit ABC un triangle quelconque, dans lequel la ligne AD est menée de l'angle A au milieu du côté BC.

« DEMANDE. Nous devons démontrer que le centre de gravité du triangle est sur la ligne AD.

<< CONSTRUCTION. Menons EF, GH, IK, parallèles à BC, coupant AD en L, M, N, ensuite EO, GP, IQ, KR, HS, FT, parallèles à AD. " STEVIN, Sans le dire, suppose les parallèles EF, GH, IK, équidistantes.

(1) Weeghconst, pp. 67-68, Wis. Ged, t. IV, pp. 61-62, Hypomnemata, t. IV, pp. 57-58, Euvres, t. II,

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