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Guidé par ces considérations, STEVIN, comme d'ailleurs déjà TARTAGLIA et CARDAN (1), conclut que pour trouver la valeur de l'inconnue, il faut déterminer deux nombres X et Y dont la somme des cubes vaut q et le

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(1) Pour ce qui concerne TARTAGLIA et CARDAN, voir l'article cité de GRAVÉLAAR.

J'ai exposé le tout en notations modernes, mais STEVIN est absolument clair. Il raisonne sur l'équation

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"La somme d'iceux deux nombres (à chercher), dit-il, sera la valeur de 1(1), (x). Qui estant ainsi, nous mettrons une question telle: Trouver deux nombres tels que leur produict soit 2 [qui est le tiers de 6 des 6 (1), (6) donnez et la somme de leurs cubes 40 [qui est

(ᄒ)]

le 40 donné (q)]. Et est ceste la 7 question du 81 probleme, par l'operation de laquelle il appert estre colligée la reigle de la construction precedente. "

La solution de la question 7 du problème 81 est celle que je viens de donner ci-dessus, mais en abrégeant un peu, notamment dans les explications du Brugeois sur l'équivalence des deux valeurs de Y (1). STEVIN fait suivre sa démonstration par quelques réflexions sur le cas irréductible, dont bien entendu il n'entrevoit pas l'explication. Sa conclusion est que la méthode de résolution de l'équation du 3° degré est encore imparfaite.

"De l'imperfection qu'il y a en ceste premiere difference.

(

q2

4

>

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27

-).

D'où s'en

Il avient en aucuns exemples de ceste difference que le quarré de la moitié du (0) donné, (de q), sera moindre que le cube du tiers du nombre de multitude de (1), (de px), donnée suit que le mesme cube ne se pourra soubstraire d'iceluy quarré, comme veut la reigle de la precedente construction; de sorte que ceste premiere difference...... est encore imparfaicte. RAFAEL BOMBELLE la solve par diction de plus de moins et de moins de moins, en cette sorte.... » Nous le dirons plus loin.

RAPHAËL BOMBELLI naquit à Bologne on ne sait au juste en quelle année. En 1572, il publia une Algèbre des plus remarquables, qui eut une seconde édition, ou plutôt un second tirage sous un titre nouveau, en 1579 (2). Entre autres mérites, l'auteur a celui d'avoir le premier compris que la considération des racines imaginaires pouvait présenter de l'utilité

(1) Arithmétique, éd. 1585, pp. 407-408; éd. 1625, pp. 383-384; éd. 1634, tome I, p. 96.

(2) Ce point de bibliographie a été élucidé par FAVARO : Intorno ad una pretesa secunda edizione dell'Algebra di RAFAEL BOMBELLI, note qui parut dans la Bibliotheca Mathematica, Nouvelle série, t. VII, Stockholm, G. ENESTROM, 1893, pp. 15-17. Les deux tirages ne different que par les titres et les six premières pages d'introduction. Voici les titres :

et

dans la résolution des équations. Il donne aux imaginaires le nom assez étrange de : « de moins ». Ainsi, + √ — II se dira plus de moins 11, -VII, moins de moins 11.

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=

6. STEVIN la donne,

La proposée admet une racine positive, qui est x mais sans dire comment il l'obtient. Puis il ajoute à propos de l'expression de cette racine donnée par la formule de CARDAN :

«Or, si par les nombres de ceste solution, l'on sceut approcher infiniment à 6 (car ils vallent precisement autant).... ceste difference seroit en sa desirée perfection.

« CARDAN met aussi en son Aliza quelques exemples servant à ceste matiere, mais pas generaux, ains à tastons, par lesquels après grand travail, on ne peut souventesfois rien en effectuer."

Le nom d'Aliza dont CARDAN intitula son Traité semble dériver d'un mot arabe qui signifierait « difficile ». Aliza fut publié pour la première fois à la suite de la deuxième édition de l'Ars magna, qui parut à Bâle en 1576 (1). Le livre de la Règle Aliza est un ouvrage diffus, que STEVIN apprécie à sa valeur et qui a pour objet l'étude du cas irréductible. COSSALI lui a consacré une étude étendue dans ses Origine, Trasporto in Italia, Primi progressi in essa dell' Algebra (2). Il y met un peu d'ordre, sans toutefois parvenir à y répandre une pleine lumière.

«Quant à moy, continue STEVIN en parlant des règles données dans le livre de l'Aliza, j'estime inutile d'en escripre icy de semblables. La

L'Algebra parte maggiore dell'Aritmetica divisa in tre libri di RAFAEL BOMBELLI da Bologna Nuovamente posta in luce. In Bologna, Nella stamperia di Giovanni Rossi. MDLXXII.

L'Algebra Opera di RAFAEL Bombelli da Boloyna divisa in tre Libri..... In Bologna, Per Giovanni Rossi. MDLXXIX.

Je me sers d'un exemplaire du tirage de 1579.

(1) Cette réédition est accompagnée de plusieurs traités nouveaux que le titre fait connaître. Elle est rare et je n'en connais pas d'exemplaire dans les dépôts belges.

HIERONYMI CARDANI... Opus magnum de Proportionibus numerorum, motuum, ponderum, sonorum aliarumque rerum mensurandarum... Practerea Artis Magnae sive de mensuris algebraicis liber unus.... ab Autore recens multis in locis recognitus et auctus. Item de Regula Aliza Liber... Basileae in Officina Henricpetrina. 1576. La Regula Aliza a été rééditée au tome IV des CARDANI Opera, pp. 377-434. (2) Tome II, Della reale tipografia Parmense. MDCCXCIX, pp. 441-492,

raison est, que ce qui ne se peut trouver par certaine reigle, semble indigne d'avoir lieu entre les propositions legitimes. D'autre part que de ce qui se solve en telle maniere, la Fortune en merite autant d'honneur comme l'efficient. Au tiers qu'il y a assez de matiere legitime, voire en infini, pour s'en exercer, sans s'occuper et perdre le temps en les incertaines pourtant nous les passerons oultre. Ceux ausquels plairont tels exemples, ils en pourront faire à leur plaisir.»

Dans cette boutade, contre CARDAN, STEVIN vise aussi BOMBELLI. Le Bolonais démontre, par un procédé géométrique, que dans le cas irréducdible, l'équation a certainement une solution réelle. D'où il conclut a priori que les radicaux des formules de CARDAN doivent pouvoir se décomposer de manière à ce que les parties imaginaires se détruisent, comme cela a lieu, dit-il, dans l'exemple suivant (1). Soit à résoudre

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BOMBELLI dit qu'il a extrait les deux racines cubiques, mais omet de nous apprendre d'après quelle règle. Si nous posons.

2+11 i=(y + zij3 et

211i (y - zij3

=

nous trouvons de part et d'autres les mêmes équations de condition

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qui admettent la solution simple y 2, 3 = 1. Voilà pourquoi Bombelli a réussi. Mais c'est là un cas exceptionnel. Un siècle plus tard, néanmoins WALLIS, dans dans son Algèbre (2), regardait encore la règle de BOMBELLI, comme la vraie méthode à suivre, et donnait quelques nouveaux exemples de décomposition. C'est DE MOIVRE, on le sait, qui résolut définitivement le problème par l'emploi des fonctions circulaires (3).

(1) BOMBELLI Algera, pp. 193-194.

(2) JOANNIS WALLISII S. T. D. Geometria e Professoris Savilliani in celeberrima Academia Oxoniensi, De Algebra Tractatus historicus et practicus Anno 1685 Anglice Editus; nunc autem latine. Cum variis Appendicibus; partim prius editis Anglice, partim nunc primum editis. Operum mathematicarum Volumen alterum. Oxoniae, ex Theatro Scheldenia niano, MDCXCIII. Cap. XLVII, pp 190-192.

(3) Ce point d'histoire a été traité avec sa maitrise habituelle par vON BRAUNMÜHL. Zur Geschichte der Entstehung des sogenannste Moivreschen Satze, publié dans la Bibliotheca Mathematica, 3° serie, t. II, Leipzig, Teubner, 1901; pp, 97-102.

PROBLEME LXX.

Dans ce problème, STEVIN résout les équations de la forme

x3 = nx2 + q.

Comme dans le problème LXIX, il y considère trois differences de second terme ». Sa méthode, en notations modernes, consiste à faire

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Mais les calculs de STEVIN, qui ne manquent pas d'élégance, le conduisent à mettre cette dernière équation sous une forme, en apparence, beaucoup plus compliquée, qu'il est d'ailleurs indispensable de connaître. pour le comprendre. (On y pose, dans le térme tout connu, le coefficient

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Voici maintenant la « Construction » du problème. Par ce mot, il faut simplement entendre la solution.

« Explication du donné. Soient donnez trois termes selon le probleme tels le premier 1 (3), (3), le second 6 (2) + 400, (6x2 +400), le troisiesme 1 (1), (x).

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