En exposant la théorie des courbes, nous considérerons d'autres surfaces développables, par exemple, celle qui est engendrée par un plan mobile constamment perpendiculaire à une courbe dont la forme et la position sont données. Théorie des Courbes. §. IV. Des Centres de courbure et des Rayons de courbure d'une courbe plane. 71. Deux points infiniment voisins d'une courbe plane déterminent (art. 5) la tangente à cette courbe; trois points consécutifs d'une courbe déterminent un cercle, qu'on nomme cercle osculateur de la courbe. La distance de ces points étant inappréciable, on les suppose réunis en un seul, qui est le point de contact de la courbe et du cercle osculateur. (Huygens est le premier géomètre qui a considéré ce cercle). Le centre et le rayon du cercle osculateur sont respectivement le centre de courbure, et le rayon de courbure de la courbe plane pour le point de contact du cercle et de la courbe. La courbe qui est le lieu des centres de courbure d'une courbe donnée dans un plan, se nomme la développée de celle-ci. Deux normales consécutives d'un cercle se coupent en un point qui est le centre du cercle; de même deux normales consécutives d'une courbe plane se coupent, et le point d'intersection est le centre du cercle osculateur pour le point de la courbe par lequel on a mené l'une des deux normales (art. 5. ). Les normales d'une courbe plane sont tangentes à la développée de cette courbe, car chaque normale est coupée par les deux normales adjacentes en deux points, et la droite infiniment petite, comprise entre ces deux points, est un élément de la développée. Des Plans osculateurs des courbes à double courbure; des Angles de contingence et de flexion de ces courbes; des Droites polaires de leurs élémens; de leur Courbure plane et sphérique. 72. Les tangentes d'une courbe à double courbure prolongées indéfiniment, forment une surface développable qui a deux nappes égales, opposées et séparées par la courbe même (art. 21). Un plan tangent à cette surface passe par deux tangentes consécutives de la courbe c'est ce plan qu'on nomme plan osculateur de la courbe. On appelle angle de flexion l'angle de deux plans osculateurs consécutifs, et angle de contingence l'angle de deux tangentes consécutives situées dans le même plan osculateur. L'angle de contingence est égal à l'angle de deux plans consécutifs normaux à la courbe, ou de deux plans perpendiculaires à deux tangentes consécutives de la courbe. La droite intersection de deux plans normaux consécutifs d'une courbe se nomme droite polaire (art. 63) de l'élément de cette courbe qu'ils comprennent entr'eux. Il n'y a aucun point de cette droite qui ne puisse être considéré comme le centre de l'élément de la courbe, ou comme le centre d'une circonférence dont cet élément serait un arc. La perpendiculaire abaissée d'un point de la courbe sur la droite polaire correspondante à ce point est égal au rayon du cercle osculateur au même point. Le pied de la perpendiculaire est le centre de ce cercle, et la longueur de la perpendiculaire est le rayon de courbure. Ce rayon mesure la courbure dans le plan osculateur. Si, à partir d'un point quelconque d'une courbe à double courbure, on prend trois autres points dont les distances au premier sont inappréciables, on aura quatre points consécutifs qui déterminent une sphère qu'on nomme sphère osculatrice de la courbe; le centre et le rayon de cette sphère sont respectivement le centre et le rayon de courbure sphérique pour un point déterminé de la courbe à double courbure. Soit MAN (fig. 7) une courbe quelconque; A, A', A" trois points consécutifs de cette courbe. AT, A' T' sont deux tangentes consécutives qui comprennent entr'elles l'angle de contingence TAT'. Deux plans normaux consécutifs A CD, ACD se coupent suivant la droite polaire CD de l'élément de courbe A A' A". Le plan osculateur A A' C du même élément passe par les deux tangentes consécutives AT, A T". La perpendiculaire AC, ou A' Cabaissée du point A ou A' sur la droite polaire CD, est le rayon de courbure de l'élément de courbe dans le plan osculateur A A' A", et le pied Cde la perpendiculaire en est le centre de courbure. Les deux perpendiculaires A C, A' C au même point de la droite polaire, et les deux tangentes consécutives AT, A'T" sont situées dans le même plan osculateur, et comprennent entr'elles des angles égaux; de ces angles, l'un TATACA' est l'angle de contingence. Lorsque la courbe MA Nest plane, tous ses rayons de courbure, ou les rayons de ses cercles osculateurs (art. 71), sont dans le plan de la courbe, et deux rayons de courbure consécutifs, tels que AC, A' C déterminent le centre de courbure C de l'élément A' A' A". Du Centre de courbure et du Rayon de courbure d'une courbe plane. 73. Quelle que soit la courbe plane proposée, il faut admettre qu'elle appartient à une surface dont la normale ou le plan tangent en un point donné de cette surface est connu. Si cette surface n'est pas donnée, on placera la courbe proposée sur une surface réglée (art. 56), telle que les normales à cette surface, menées par tous les points de la courbe, soient déterminées. Dans les deux cas, on pourra considérer la courbe proposée comme la section faite par le plan de cette courbe sur une surface à laquelle on sait mener des normales, ou des plans tangens par des points pris sur cette surface. par 74. Une courbe plane étant rapportée sur une surface, les normales à cette surface menées tous les points de la courbe forment une autre surface qui est réglée. L'une quelconque de ces normales projetées orthogonalement sur le plan de la courbe, devient une tangente à la développée de cette courbe (art. 43); d'où il suit |