1. que la développée de la courbe proposée est la section droite d'un cylindre auquel les droites qui forment la surface réglée, lieu des normales, sont tangentes. (Cette proposition est évidente.) 2o. Qu'un plan quelconque normal à la courbe (art. 5.) touche la surface réglée en un point, dont la projection orthogonale, sur le plan de la courbe proposée, est le centre de courbure pour le point de cette courbe par lequel on lui a élevé un plan normal. En effet, considérant la développée de la courbe proposée comme la section droite d'un cylindre auquel (art. 24) les normales qui forment la surface réglée sont tangentes, un plan normal à la courbe contient (art. 46) quatre droites; 1o. la normale à la courbe; 2°. la normale à la surface réglée, dont la normale à la courbe est la projection orthogonale; 3°. une droite du cylindre; 4°. la tangente à la courbe de contact du cylindre et de la surface réglée. De ces quatre droites, les trois dernières se coupent en un point pour lequel le plan normal à la courbe est tangent à la surface réglée, puisqu'il passe (art. 40 et 46) par une droite de la surface, et par une tangente à la même surface.

Mais la troisième droite appartenant au cylindre, est perpendiculaire au plan de la courbe

proposée: donc elle projette sur ce plan le point de contact de la surface réglée et du plan normal à la courbe: d'où il suit que la projection de ce point est sur la développée de la courbe, et enfin que cette projection est un des centres de courbure de la courbe proposée.

75. Une courbe plane étant tracée sur une surface S, une tangente T à cette courbe, et la normale N à la surface menée par le point de contact, déterminent le plan (NT) d'une section normale, et les normales à la surface menées par les points de la section normale, forment une surface réglée à laquelle le plan (N,T) est tangent, puisque ce plan passe par la droite N de cette surface réglée. Si par la même droite N on conçoit un plan perpendiculaire à la tangente T, ce plan sera par la même raison tangent à la surface réglée, et le point de contact sera le centre de courbure de la section normale (NT). En effet, la tangente Tà la surface S ayant (art. 36) deux points communs avec cette surface, soient N et N' les normales à la surface S menées par ces deux points. Ces deux normales consécutives N, N' comprennent entr'elles un élément de surface réglée (N, N'); or, quel que soit le plan mené par la tangente T, ce plan coupe la surface Ssuivant une ligne ;

et les normales menées par les points de cette ligne forment une surface réglée qui a aussi. un élément (N, N') compris entre les deux normales consécutives N, N': donc, quelle que soit la section de la surface S, dont le plan passe par la tangente T, les surfaces réglées lieux des normales menées par cette section, ont un élément commun (N, N'): donc elles se touchent toutes, suivant cet élément. D'où il suit que le plan mené par la normale N, perpendiculairement à la tangente T, touche toutes ces surfaces réglées au même point de la normale N. Nommons C ce point de contact. On a vu (art. précédent) que la projection orthogonale de ce point C sur le plan d'une section de la surface S passant par la tangente T, est le centre de courbure de cette section au point de contact de la section et de la tangente T: donc, lorsque le plan de la section passe par la normale Net la tangente T(auquel cas la section est normale), le centre de cour→ bure de cette section est le point C même.

Construction géométrique des rayons de courbure d'une courbe plane.

76. Quelle que soit la courbe proposée, 1° placez-la sur une surface à laquelle on sache

mener des normales par des points pris sur cette surface; 2° construisez les normales à cette surface, qui passent par la courbe donnée, et le lieu de ces normales sera une surface réglée. 3o par le point donné sur la courbe, menez un plan normal à cette courbe, qui touchera la surface réglée en un point; construisez ce point, et projetez-le sur le plan de la courbe par une perpendiculaire à ce plan; le pied de la perpendiculaire sera le centre de courbure demandé.

Démonstration du Théorême de Meusnier.

(Académie de Paris; Savans étrangers, t. x, année 1785.

77. Théorême. Les cercles osculateurs de toutes les sections d'une surface dont les plans passent par une tangente à cette surface, sont sur une sphère ; le centre de cette sphère est le centre de courbure de la section normale dont le plan passe par la même tangente, et son rayon est égal au rayon de courbure de cette section.

Démonstration. Une surface étant coupée par une suite de plans qui passent par une tangente à cette surface, chaque section détermine une surface réglée, lieu des normales menées par les points de cette section. Toutes les surfaces réglées, ainsi déterminées, ayant

un élément commun (article 75), le plan perpendiculaire à la tangente des sections planes, mené par le point de contact de ces sections, est tangent à la surface réglée, qui correspond à la section normale, et qui est le lieu des normales à la surface donnée, menées par les points de cette section; or, ce plan touche cette surface réglée en un point, qui est le centre de courbure de la section normale, et la projection de ce centre sur un plan quelconque mené par la tangente, est le centre de courbure de la section de la surface contenue dans ce plan: donc les centres de courbure de toutes ces sections sont situés sur un cercle qui a pour diamètre le rayon de courbure de la section normale, et dont le plan est normal à l'une quelconque des sections, au point où elles se touchent. D'où il suit que les cercles osculateurs de ces sections sont sur une sphère qui a pour centre le centre de courbure de la section normale, passant par la tangente commune, et pour rayon, le rayon de courbure de cette section.