w2+4p'x, y=w) qui engendre le paraboloïde. L'axe de la parabole mobile prend successivement les positions st, s'', etc. (fig. 5), parallèles à la droite SS' prolongement de l'axe SG de la parabole fixe Ss's".... 121. Le paraboloïde hyperbolique ne peut pas être coupé par un plan suivant une ellipse, car, quelle que soit l'équation de ce plan, la valeur de x tirée de cette équation, étant substituée dans l'équation l'équation en z et y qu'on obtiendra, et qui appartiendra à la projection de la section plane sur le plan des zy, ne contiendra pas de terma en zy; or, le produit de quatre fois le coefficiens de z par le coefficient de y2 sera nécessairement négatif ou zéro : donc, d'après la théorie des courbes du second degré, une section plane quelconque du paraboloïde hyperbolique et sa projection sur le plan des zy sont des courbes qui ne peuvent pas être fermées. Dans le paraboloïde elliptique, le produit de quatre fois le coefficient de z par le coef ficient de y est positif ou nul; donc ce paraboloïde ne peut pas être coupé par un plan suivant une hyperbole. 122. THEOREME. Les surfaces du second dégré étant coupées par des plans parallèles, deux sections quelconques sont des courbes semblables et semblablement placées, c'est-àdire qu'elles peuvent être considérées comme les sections parallèles d'une surface conique? Démonstration. Soit ƒ(x, y) = o l'équation d'une courbe rapportée aux axes rectangulaires des x et des y. Nommant a, & les coordonnées d'un point situé par rapport à une seconde courbe, comme l'origine des coordonnées par rapport à la première, l'équation de cette seconde courbe sera : m étant un nombre qui exprime le rapport des lignes homologues des deux courbes. Soient les équations de deux courbes semblables du second degré (1) Dx2 + Ey2 +2Fxy + 2Gx + 2Hy —1=0, (2) D'x2+E'y' + 2 F'xy+2G'x+2H'y-10, l'équation (2) sera nécessairement de la forme: La comparaison, terme à terme, des équations (2) et (3) donne cinq équations, dont trois déterminent les quantités m, a, B; les deux autres qui expriment que les courbes représentées par les équations (2) et (3), sont semblables et semblablement placées, nc contiennent que les coefficiens des termes de deux dimensions, et se réduisent aux suivantes : De ces trois équations (4), l'une quelconque résulte nécessairement des deux autres. Soit l'équation de la surface du second degré, rapportée à trois plans rectangulaires : (5) Ax2 + A'y2 + All z? +2Byz +2 B'xz + 2B"xy +2Cx +2C'y +2 Cz - K En coupant cette surface par un plan dont la projection de la ligne d'intersection sur le plan des xy a pour équation: (7) x2(A +A"L2 +2B'L) + y2(A'+A"M2+2BM) +2xy(B"+ BL +B'M+A"LM) =0 Or, quelle que soit N, les coefficiens de x', yet xy ne varient pas; donc les équations (7) qui correspondent aux diverses valeurs de N, appartiennent à des courbes pour lesquelles les équations de condition (4) sont satisfaites; d'où il suit que toutes ces courbes sont semblables et semblablement placées. Nommant X, Y, Z les coordonnées du centre de la courbe représentées par les équations (6) et (7), on a, pour ce point (art. 101), les trois équations suivantes : X(A+A"L'+2B'L)+Y(B"+BL+B'M+A"LM)\ +C+C"L+N (B' + A′′L)}' Y(A'+A"M2+2BM)+X(B"+BL+B'M+A"LM){ +C'+CM+N(B+A"M){ =0, Éliminant N, on a en X, Y, Z, deux équations linéaires, qui représentent deux plans diamétraux dont l'intersection est un diamètre qui passe par les centres de toutes les sections parallèles au plan dont l'équation (6) est: z = Lx + My + Nz. Il suit de là, 1°. que les courbes d'une surface du second degré situées dans des plans parallèles, sont semblables et semblablement placées; 2°. que le lieu des centres de ces courbes est un diamètre de la surface, quelle que soit la direction du plan auquel elles sont parallèles. 123. THEOREME. Les surfaces du second dégré peuvent être engendrées de deux manières différentes, par un cercle variable de rayon, dont le centre décrit un diamètre de la surface, et dont le plan reste constamment parallèle à lui-même ? Démonstration. Soit (art. 108): Px2 + P'y2 + P" z2 = 1, |