les cereles de la surface en parties égales. Donc, si l'on donne deux cercles de cette surface et si l'on divise leurs circonférences en arcs égaux, à partir des points où elles sont rencontrées par la droite donnée, les droites qui joindront les points de division, correspondront aux diverses positions de la droite génératrice de l'hyperboloïde à une nappe. Ce mode de génération fait voir que la droite qui passe par les centres des cercles d'un hyperboloïde à une nappe, est un diamètre qui ne coupe pas cette surface. Éliminant, au moyen des cinq dernières équations, les quantités L, M, L', M', et ordonnant par rapport à x, y, z on aura: xy(h' — g)+yz(g' — ƒ )+zx(f' — h )) +x (gh−f'h')+3 (ƒg—g'h')+z (fh−f'8') }=o. (e) +ƒ'g'h' —fgh En substituant aux trois directrices (F), (G), (H) trois autres droites (F"), (G'), (H'), telle que l'une quelconque, (F) par exemple, soit parallèle à la directrice (F), et rencontre les deux autres directrices (G) et (H), les équations de ces droites seront : En exprimant que la droite mobile est dirigée par ces trois droites, on parvient à la même équation (a), qui est du second degré entre les trois coordonnées obliques x, y, z, et qui serait encore du second degré, après les avoir transformées en coordonnées rectangulaires, au moyen des formules (art. 80). 136. THÉORÊME. Des deux surfaces du second degré qui n'ont pas de centre, le Paraboloïde Hyperbolique, et le Paraboloïde Elliptique, le premier peut être engendré de deux manières par une droite mobile assujettie à s'appuyer sur trois droites fixes parallèles à un même plan? Démonstration. Le paraboloïde hyperbolique ayant (art. 112) pour équation: pz2 — p'y2 = 4pp'x, (f') on le suppose engendré par une droite dont la projection sur le plan des xy a pour équa tion: x=ay + B. (8) Substituant cette valeur de x dans l'équation (f), celle-ci devient : z' = 1/2 (y2 + 4pwy + 4pm). p' p Si cette équation appartient à la projectio de la génératrice sur le plan des yz, il fau le second membre soit un carré parfait que ou qu'on ait : 4p2a2 = 4PB, ou B=P, d'où il suit que le paraboloïde hyperbolique peut être engendré par une droite de deux manières. La génératrice a pour équations: x=ay+pa2, z=(y+2pa) VE; ou (la projection de cette génératrice, sur le plan des xy, ne variant pas): x=ay+pa2, ===(y+2pa) VE Le coefficient de y, dans l'équation : ne contenant pas la variable a, toutes les droites du premier mode de génération, sont boloïde le distingue de l'hyperboloïde à une nappe, sur lequel on peut aussi tracer deux systèmes de lignes droites; mais pour cette dernière surface, il n'y a que deux droites qu'on puisse mener parallèlement à un plan donué, et on déterminerait la direction de ces droites, en menant par le sommet du cône asymptotique (art. 132 et 135) un plan parallèle au plan donné. 137. Pour s'assurer que les équations x = ay + pa2, ==± (y + 2p«) ▼ E, (*) Si on divise deux côtés opposés (fig. a, Pl. 3), AB, CD d'un quadrilatère gauche ABCD en des points I et K, tels qu'on ait : ΑΙ DK a étant un nombre donné, la droite IK engendre l'hyperboloïde à une nappe, et lorsque a=1, elle engendre le paraboloïde hyperbolique. (Voyez la Correspondance sur l'Ecole polytechnique, tom. 2, pag. 446. Article de M. Chasles.) appartiennent à la droite génératrice du paraboloïde, on éliminera la variable a, α qui correspond à une position déterminée de la génératrice. Le résultat de l'élimination sera léquation du paraboloïde : Changeant le signe de p', le coefficient V P de y est imaginaire; ce qui prouve que le paraboloïde elliptique ne peut pas être engendré par la ligne droite; et en effet, on a prouvé (art. 121) que la ligne d'intersection. de cette surface et d'un plan ne peut être ni une hyperbole, ni le système de deux lignes droites, qui est un cas particulier de l'hyperbole. 138. On On remarquera que l'équation. . x = ay + pa2 appartient à la tangente de la parabole y2 = 4pp'x. D'où il suit que les droites du paraboloïde hyperbolique se projettent 1°. sur le plan des xy, suivant les tangentes ST, fg, hk, lm..... de la parabole Sss'... (fig. 5, Pl. 2); 2o. sur le plau des yz, suivant les parallèles Olt, f"g", h'k'... suivant les parallèles à la droite O't', qui fait ou |