Auch hier geben auf der Oberfläche die letztern Formeln dieselben Werthe wie die erstern, daher auch X, Y, Z im ganzen Raume nach der Stetigkeit sich ändern. Anders verhält es sich aber mit den Differentialquotienten dieser Grössen. Im innern Raume haben wir Auf der Oberfläche fallen diese Werthe nicht mit jenen zusammen, sondern sind beziehungsweise 305 grösser. Es ändern sich daher jene Differentialquotienten nach der Stetigkeit zwar im ganzen innern und im ganzen äussern Raume, aber sprungweise beim Uebergange aus dem einen in den andern, und in der Scheidungsfläche selbst muss man ihnen doppelte Werthe beilegen, je nachdem dx, dy, dz als positiv oder als negativ betrachtet werden. Aehnliches findet bei den sechs übrigen Differential quotienten statt, die im Innern der Kugel sämmtlich = 0 werden, und beim Durchgange durch die Kugelfläche sprungweise die Aenderungen Das Aggregat + + = 2Ꮴ d21 d217 oder + + dx2 dyz dz2 = 0. wird im Innern der Kugel 4πk, im äussern Raume Auf der Oberfläche selbst verliert es aber seine einfache Bedeutung: präcis zu reden, kann man nur sagen, dass es ein Aggregat von drei Theilen ist, deren jeder zwei verschiedene Werthe hat, und so giebt es eigentlich acht Combinationen, unter denen eine mit dem auf der innern Seite, eine andere mit dem auf der äussern Seite geltenden Werthe übereinstimmt, während die sechs übrigen ohne alle Bedeutung bleiben. Der Analyse, durch welche einige Geometer auf der Oberfläche der Kugel den Werth 2πή, oder den Mittelwerth zwischen den innen und aussen geltenden, herausgebracht haben, kann ich, insofern der Begriff von Differentialquotienten in seiner mathematischen Reinheit aufgefasst wird, eine Zulässigkeit nicht einräumen. 9. Das im vorhergehenden Beispiel gefundene Resultat ist nur ein einzelner Fall des allgemeinen Theorems, nach welchem, wenn der Punkt O sich im Innern der wirkenden Masse [11] bed21 d217 d217 findet, der Werth von + + äqual wird dem Producte aus 4 π in die in O stattfindende Dichtigkeit. Die befriedigendste Art, diesen wichtigen Lehrsatz zu begründen, scheint folgende zu sein. Wir nehmen an, dass die Dichtigkeit k sich innerhalb t nirgends sprungweise ändere, oder dass sie eine mit f (a, b, c) zu bezeichnende Function von a, b, c sei, deren Werth sich innerhalb t tiberall nach der Stetigkeit ändert, ausserhalb t hingegen = O wird. Es sei t' der Raum, in welchen t übergeht, wenn die erste Coordinate jedes Punktes der Grenzfläche um die Grösse e vermindert, oder, was dasselbe ist, wenn die Grenzfläche parallel mit der ersten Coordinatenaxe um e rückwärts bewegt wird; es bestehe t aus den Räumen to und 0, t' aus t° und ', so dass to der ganze Raum ist, welcher t und t' gemeinschaftlich bleibt. Wir betrachten die drei Integrale wo das Integral (1), über den ganzen Raum t ausgedehnt, der Ꮴ дх Werth von oder X in dem Punkte O sein wird. Das Integral (2), gleichfalls über ganz t ausgedehnt, wird der Werth von dv бх in demjenigen Punkte sein, dessen Coordinaten xe, y, z sind, welchen Werth wir mit X + 'bezeichnen wollen. Offenbar ist mit diesem Integrale ganz identisch das Integral (3), über den ganzen Raum t' ausgedehnt. Ist also das Integral (1), ausgedehnt über to, über 0,. das Integral (3), ausgedehnt über to, über ', so wird X=1+2, X+ §=l' + λ'. in [12] Setzen wir f(a+e,b,c) -f(a, b, c) = 4k, so ist das Integral Die bisherigen Resultate gelten allgemein für jede Lage von 0: bei der weitern Entwickelung soll der Fall, wo O in der Oberfläche selbst liegt, ausgeschlossen sein, oder angenommen werden, dass O in messbarer Entfernung von der Oberfläche, innerhalb oder ausserhalb t liege. Lassen wir nun e unendlich klein werden, so sind die Räume 0, 0' zwei unendlich schmale an der Oberfläche von t anliegende Raumschichten; zerlegen wir diese Oberfläche in Elemente ds, und bezeichnen mit a den Winkel, welchen eine in ds nach aussen errichtete Normale mit der ersten Coordinatenaxe macht, so wird a offenbar spitz sein überall, wo die Oberfläche von tan grenzt, stumpf hingegen da, wo sie an O' grenzt. Die Elemente von werden also ausgedrückt werden durch e cos a ds, die Elemente von hingegen durch e cos a ds, woraus man leicht schliesst, dass übergeht in das Integral -x)cos α.ds [(a — x) 2 + (b — y) 2.+ (c—z)2] § durch die ganze Oberfläche ausgedehnt, wo unter / die an dem Elemente ds stattfindende Dichtigkeit zu verstehen ist. Unter Voraussetzung eines unendlich kleinen Werthes von e wird ferner übergehen in den Werth des partiellen Diffe e wo die erste Integration über den ganzen Raum t, die zweite über die ganze Oberfläche desselben auszudehnen ist. k(a-x) ds 183 Dieses Resultat ist gültig, wie nahe auch O der Oberfläche auf der innern oder äussern Seite liegen mag, nur nicht in der dX дх Oberfläche selbst, wo vielmehr zwei verschiedene Werthe haben wird. Das erste Integral ändert sich zwar beim Durchgange durch die Oberfläche nach der Stetigkeit, hingegen ändert x) cos a ds nach einem weiter unten zu bewei- .24 2.3 sich - Ska senden Theorem beim Uebergange von einem innern der Oberfläche unendlich nahen Punkte nach einem äussern um die endliche Grösse 4 πk cosa, wo k und a sich auf die Durchgangsstelle beziehen, und eben so gross wird der Unterschied der beiden daselbst stattfindenden Werthe von sein. dX 10. Auf ähnliche Weise wird, wenn ẞund y in Beziehung auf die zweite und dritte Coordinatenaxe dieselbe Bedeutung haben, wie a in Beziehung auf die erste, und für die Lage von O dieselbe Beschränkung gilt, wie vorhin, insofern in dieser Differentiation nur die Länge von r als Veränderlich, die Richtung aber als constant betrachtet wird; ferner, dass |