Noch besondre Modificationen treten ein, wenn in O eine Unterbrechung der Stetigkeit entweder in Beziehung auf die Dichtigkeit oder die Krümmung stattfindet. Für unsern Hauptzweck ist jedoch nicht nothwendig, solche Ausnahmsfälle, die nur in einzelnen Linien oder Punkten eintreten können, ausführlich abzuhandeln, und wir werden daher bei der nähern Erörterung des Gegenstandes annehmen, dass in dem fraglichen Punkte eine bestimmte endliche Dichtigkeit und eine bestimmte Berührungsebene stattfindet.

14.

Ehe wir die Untersuchung in ihrer Allgemeinheit vornehmen, wird es nützlich sein, einen einfachen besondern Fall zu betrachten. Es sei die Fläche das Stück A einer [20] Kugelfläche, und die Dichtigkeit darin gleichförmig oder k constant. Es sind also V, X die Werthe der Integrale

Shds, fk (a — x) ds

=

r

V',

r3

durch A ausgedehnt; bezeichnen wir mit V, X' dieselben Integrale, wenn sie durch den übrigen Theil B der Kugelfläche, und mit Vo, Xo, wenn sie durch die ganze Kugelfläche erstreckt werden, so wird V Ꮴ . X: = X°-X'. Wir wollen noch den Halbmesser der Kugel mit R bezeichnen, den Anfangspunkt der Coordinaten in den Mittelpunkt der Kugel legen und √x2+y2+z2 oder den Abstand des Punktes O vom Mittelpunkte der Kugel setzen.

Es ist nun bekannt, dass Vo = 4πk R wird, wenn O inner

halb der Kugel, hingegen Vo

liegt; in der Kugelfläche Der Differential quotient

=

4 лk R2
୧

wenn ausserhalb

selbst fallen beide Werthe zusammen. dvo

wird daher innerhalb der Kugel дх 4 πk R2x 03

; auf der Kugelfläche selbst

0, ausserhalb = aber werden beide Werthe zugleich gelten je nach dem Zeichen von da: gleich sind diese beiden Werthe nur dann, wenn x=0 ist, was dem Falle II des vorhergehenden Artikels entspricht.

Der Ausdruck für X°, innerhalb und ausserhalb der Kugel dvo

mit gleichbedeutend, wird auf der Oberfläche ein leeres дх

Zeichen, insofern eine wahre Integration unstatthaft ist, den einzigen Fall ausgenommen, wenn für die unendlich nahe liegenden Elemente der Fläche a-x ein unendlich Kleines von einer höhern Ordnung wird als r, nämlich wenn y=0, z=0, x= R, für welchen Fall die Integration X 2лk giebt, übereinstimmend, sondern

also mit keinem der Werthe von

dvo дх

vielmehr mit dem Mittel von beiden: offenbar gehört übrigens dieser Fall zu I im vorhergehenden Artikel.

Erwägt man nun, dass, wenn O ein auf der Oberfläche [21] d v' der Kugel innerhalb A liegender Punkt ist, X' und gleichдх bedeutend sind und bestimmte nach der Stetigkeit sich ändernde Werthe haben, so erhellet, dass das gegenseitige Verhalten d10 ᏧᏤ . дх

zwischen X° X' und

d. i. zwischen X und

дх

Ꮴ

woraus also

дх

ganz dasselbe ist, wie zwischen X° und

дх die im vorhergehenden Artikel aufgestellten Sätze von selbst folgen.

15.

Für die allgemeinere Untersuchung ist es vortheilhaft, den Anfangspunkt der Coordinaten in einen in der Fläche selbst liegenden Punkt P zu setzen und die erste Coordinatenaxe senkrecht gegen die Berührungsebene in P zu legen. Bezeichnen wir mit den Winkel zwischen der Normale des unbestimmten Flächenelements ds und der ersten Coordinatenaxe, so ist cos. ds die Projection von ds auf die Ebene der b und c; und setzen wir b2+c2: q, b Q cos 0, c = Q sin 0, so wird odo. d ein unbestimmtes Element dieser Ebene vorstellen, und das entsprechende Flächenelement ds = sein; das darin enthaltene Massenelement wird also hodo.do sein, wenn wir zur Abkürzung h für

k

cos

schreiben.

odo.do

cos

Wir wollen nun untersuchen, inwiefern der Werth von X sich sprungweise ändert, indem der Punkt O in der ersten Coordinatenaxe von der einen Seite der Fläche auf die andere, oder x aus einem negativen Werthe in einen positiven übergeht. Für

diese Frage ist es offenbar einerlei, ob wir die ganze Fläche in Betracht ziehen oder nur einen beliebig kleinen, den Punkt P einschliessenden Theil, da der Beitrag des übrigen Theils der Fläche zu dem Werthe von X sich nach der Stetigkeit ändert. Es ist daher erlaubt, o nur von 0 bis zu einem beliebig kleinen Grenzwerthe o' auszudehnen, und vorauszusetzen, dass in der

a

so begrenzten Fläche h und – sich [22] überall nach der Stetig

keit ändern.

е ୧

Setzen wir, für jeden bestimmten Werth von (),

ausgedehnt, = Q, so wird X =ƒQα0, wo die Integration von

=

0

Es kommt nun darauf an, die Werthe von X für x = 0, für ein unendlich kleines positives x und für ein unendlich kleines negatives (die beiden andern Coordinaten y, z allemal angenommen) unter einander zu vergleichen; wir bezeichnen diese drei Werthe von X mit Xo, X', X", und die entsprechenden Werthe von Q mit Q°, Q', Q".

Da r · √ (a — x)2+q2, so erhält man, indem man ✪ als constant betrachtet,

ah (u-x)

r

und folglich

dh ha-x)ode

a

da ho2

+

.do +

do

r3

до r3

wo die beiden Integrationen von o und die Werthe von h, a, r für g

୧ g' auszudehnen

o' mit h', a', r' bezeichnet

୧ O anzunehmen, welcher, wenn man die Dichtigkeit in P mit ko bezeichnet, ko wird für ein positives x, und +ko für ein negatives, indem für 90 offenbar a= 0, y = 0, h=ko, wird. Für den Fall x 0 hingegen hat man als

einen unendlich kleinen Unterschied derselbe, man möge x = 0 & setzen. Zerlegt man nämlich jenes

oder unendlich klein

Integral in

[23]

8 dh о до

so ist klar, dass das Behauptete für den ersten Theil gilt, wenn

8 unendlich klein, und für den zweiten, wenn

δ

Ε

unendlich gross

ist, also für das Ganze, wenn d ein Unendlichkleines von einer niedrigern Ordnung als ɛ.

gral f'da

Ein ähnlicher Schluss gilt auch in Beziehung auf das Inteda ho2 do, wenn die Punkte der Fläche, welche dem de 23 bestimmten Werthe von entsprechen, eine Curve bilden, die in P eine messbare Krümmung hat, so dass in dem hier be

a

02

trachteten Raume einen endlichen, nach der Stetigkeit sich ändernden Werth erhält. Bezeichnet man nämlich diesen Werth mit A, so wird

bei welchen beiden die Gültigkeit obiger Schlussweise von selbst klar ist.

h' (a' - x)

r

Endlich sind auch offenbar die Werthe von für alle drei Werthe von x bis auf unendlich kleine Unterschiede gleich. Hieraus folgt also, dass Q' + ko, Q°, Q′′ — ko bis auf unendlich kleine Unterschiede gleich sind, und dasselbe wird demnach auch von s(Q'+ko) do, ƒ Q°ão, ƒ (Q” — ko) d0 gelten, oder von den Grössen X'+27ko, Xo, X"-2πko.

Man kann diesen wichtigen Satz auch so ausdrücken der Grenzwerth von X bei unendlich abnehmendem positiven x ist X-27ko, bei unendlich abnehmendem negativen x hingegen X° + 2лk, oder X ändert sich zweimal sprungweise um -2πk, indem x aus einem negativen Werthe in einen positiven übergeht, das erstemal, indem x den Werth 0 erreicht, und das zweitemal, indem es ihn überschreitet.

In der Beweisführung des vorhergehenden Artikels ist zwar vorausgesetzt, dass die Schnitte der Fläche mit den durch die erste Coordinatenaxe gelegten Ebenen in P eine messbare Krümmung haben allein unser Resultat bleibt auch noch gültig, wenn die Krümmung in P unendlich gross ist, einen einzigen.

a

୧

Fall ausgenommen. Dass für ein unendlich kleines ୧ selbst unendlich klein werden müsse, bringt schon die Voraussetzung des Vorhandenseins einer bestimmten Berührungsebene an der Fläche in P mit sich; allein von einerlei Ordnung sind beide Grössen nur dann, wenn ein endlicher Krümmungshalbmesser stattfindet; bei einem unendlich kleinen Krümmungshalbmesser hingegen wird von einer niedrigern Ordnung sein als g. Wir

a

୧

werden nun zeigen, dass unsre Resultate auch im letztern Falle ihre Gültigkeit behalten, wenn nur die Ordnungen beider Grössen vergleichbar sind.

a

୧

Nehmen wir also an, sei von derselben Ordnung wie o", wo einen endlichen positiven Exponenten bedeutet, also a eine endliche, in dem in Rede stehenden Raume nach der 01 +μ Stetigkeit sich ändernde Grösse, die wir mit B bezeichnen. wollen. Es zerfällt also das Integral

d da ho2

do in die

do r3

Auf das zweite Integral lassen sich die Schlüsse des vorhergehenden Artikels unmittelbar anwenden, auf das erste hingegen

nach einer leichten Umformung. Setzt man nämlich

1

m,

μ

[25] Auch dieses Integral hat nun offenbar so lange nur einen unendlich kleinen Werth, als die Integration nur von 0 bis zu