Indem wir also, für jeden Punkt im Raume, mit x, y, z dessen rechtwinklige Coordinaten, und mit V das Aggregat aller wirkenden Massentheilchen, jedes mit seiner Entfernung von jenem Punkte dividirt, bezeichnen, wobei nach den jedesmaligen Bedingungen der Untersuchung negative Massentheilchen entweder ausgeschlossen oder als zulässig betrachtet werden mögen, wird Veine Function von x, y, z, und die Erforschung der Eigenthümlichkeiten dieser Function der Schlüssel zur Theorie der Anziehungs- und Abstossungskräfte selbst sein. Zur bequemern Handhabung der dazu dienenden Untersuchungen werden wir uns erlauben, dieses V mit einer besondern Benennung zu belegen, und diese Grösse das Potential der Massen, worauf sie sich bezieht, nennen. Für unsre gegenwärtige Untersuchung reicht diese beschränktere Begriffsbestimmung hin: im weitern Sinne könnte man sowohl für Betrachtung anderer Anziehungsgesetze, als im umgekehrten Verhältniss des Quadrates der Entfernung, als auch für den vierten im Art. 1 erwähnten Fall unter Potential die Function von x, y, z verstehen, deren partielle Differentialquotienten die Componenten der erzeugten Kraft vorstellen.

Bezeichnen wir die ganze in dem Punkte x, y, z stattfindende Kraft mit p, und die Winkel, welche ihre Richtung mit den drei Coordinatenaxen macht, mit a, P, 7, so sind die drei Compo

Linie, so sind

dx dy dz
ds' ds' ds

die Cosinus der Winkel, welche jenes

Element mit den Coordinatenaxen macht; bezeichnet also den Winkel zwischen der Richtung des Elements und [5] der Richtung, welche die resultirende Kraft daselbst hat, so ist

Die auf die Richtung von ds projicirte Kraft wird folglich
V dx dr dy Ꮴ dz

p cos 0 = ε

+

+
дх ds dy ds dz ds

Ꮴ

= ε
ds

Legen wir durch alle Punkte, in welchen das Potential V einen constanten Werth hat, eine Fläche, so wird solche, allgemein zu reden, die Theile des Raumes, wo V kleiner ist, von denen scheiden, wo V grösser ist als jener Werth. Liegt die Linie s in dieser Fläche, oder tangirt sie wenigstens dieselbe

mit dem Element ds, so ist

Ꮴ

ds

=

0. Falls also nicht an die

sem Platze die Bestandtheile der ganzen Kraft einander destruiren, oder p = O wird, in welchem Falle von einer Richtung der Kraft nicht mehr die Rede sein kann, muss nothwendig cos 0 = 0 sein, woraus wir schliessen, dass die Richtung der resultirenden Kraft in jedem Punkte einer solchen Fläche gegen diese selbst normal ist, und zwar nach derjenigen Seite des Raumes zu, wo die grösseren Werthe von Vangrenzen, wenn ɛ = +1 ist: nach der entgegengesetzten, wenn & = 1 ist. Wir nennen eine solche Fläche eine Gleichgewichtsfläche. Da durch jeden Punkt eine solche Fläche gelegt werden kann, so wird die Linie s, falls sie nicht ganz in Einer Gleichgewichtsfläche liegt, in jedem ihrer Punkte eine andere treffen. Durchschneidet s alle Gleichgewichtsflächen unter rechten Winkeln, so stellt eine Tangente an jener Linie überall die Richtung der Kraft, und ihre Stärke dar.

Ꮴ

ds

Das Integral Sp cos 0. ds, durch ein beliebiges Stück der Linie s ausgedehnt, wird offenbar = ε (V'— Vo), wem Vo, V' die Werthe des Potentials für den Anfangs- und Endpunkt bedeuten. Ist also s eine geschlossene Linie, so wird jenes Integral, durch die ganze Linie erstreckt, O werden.

5.

Es ist von selbst klar, dass das Potential in jedem Punkte [6] des Raumes, der ausserhalb aller anziehenden oder abstossenden Theilchen liegt, einen assignabeln Werth erhalten muss; dasselbe gilt aber auch von dessen Differentialquotienten, sowohl erster als höherer Ordnung, da diese in jener Voraussetzung

gleichfalls die Form von Summen assignabler Theile oder von Integralen solcher Differentiale annehmen, in denen die Coefficienten durchaus assignable Werthe haben. So wird

gilt also für alle Punkte des Raumes, die ausserhalb der wirkenden Massen liegen.

6.

Unter den verschiedenen Fällen, wo der Werth des Potentials Voder seiner Differentialquotienten für einen nicht ausserhalb der wirkenden Massen liegenden Punkt in Frage kommt, wollen wir zuerst den Fall der Natur betrachten, wo die Massen einen bestimmten körperlichen Raum mit gleichförmiger oder ungleichförmiger, aber überall endlicher Dichtigkeit ausfüllen.

Es seit der ganze Raum, welcher Masse enthält; dt ein unendlich kleines Element desselben, welchem die Coordinaten a, b, c und das Massenelement kdt entsprechen; ferner sei V [7] das Potential in dem Punkte O, dessen Coordinaten x, y, z, also die Entfernung von jenem Element

√ (a—x)2 + (b—y)2 + (c— z)2 — r.

durch den ganzen Raum t ausgedehnt, was eine dreifache Integration implicirt. Man sieht leicht, dass eine wahre Integration

stattnehmig ist, auch wenn O innerhalb des Raumes sich befindet,

mente unendlich gross wird. Denn wenn man anstatt a, b, c Polarcoordinaten einführt, indem man

a=x+r cos u, b=y+r sin u cos 2, cz+r sin u sin λ setzt, so wird dt=r2sinu.du.dλ.dr, mithin

V=fff kr sin u.du.d2.dr,
=SS

=

= 2π,

wo die Integration in Beziehung auf r von r=0 bis zu dem an
der Grenze von t stattfindenden Werthe, von λ 0 bis 2
und von u= 0 bis uπ ausgedehnt werden muss. Es wird
also nothwendig V einen bestimmten endlichen Werth erhalten.
Man sieht ferner leicht ein, dass man auch hier

setzen darf. Die Befugniss dazu beruht darauf, dass auch dieser Ausdruck, welcher unter Anwendung von Polarcoordinaten in fk cos u. sin u. dù.d2.dr

übergeht, einer wahren Integration fähig ist, also X einen bestimmten endlichen Werth erhält, der sich nach der Stetigkeit ändert, weil alle in unendlicher Nähe bei O liegenden Elemente nur einen unendlich kleinen Beitrag dazu geben. Aus ähnlichen Gründen darf man auch

[8] setzen, und diese Grössen erhalten daher, ebenso wie V, innerhalb t bestimmte nach der Stetigkeit sich ändernde Werthe. Dasselbe wird auch noch auf der Grenze von t gelten.

7.

Was nun aber die Differentialquotienten höherer Ordnungen betrifft, so muss für Punkte innerhalb t ein anderes Verfahren

dX

eintreten, da es z. B. nicht verstattet ist,

in

дх

see 4.54

umzuformen, indem dieser Ausdruck, genau betrachtet, nur ein Zeichen ohne bestimmte klare Bedeutung sein würde. Denn in der That, da sich innerhalb jedes auch noch so kleinen Theils von t, welcher den Punkt einschliesst, Theile nachweisen lassen, über welche ausgedehnt dieses Integral jeden vorgegebenen Werth, er sei positiv oder negativ, überschreitet, so fehlt hier die wesentliche Bedingung, unter welcher allein dem ganzen Integrale eine klare Bedeutung beigelegt werden kann, nämlich die Anwendbarkeit der Exhaustionsmethode.

8.

Ehe wir diese Untersuchung in ihrer Allgemeinheit vornehmen, wird es zur Fixirung der Vorstellungen nützlich sein, einen sehr einfachen speciellen Fall zu betrachten.

=

Es sei t eine Kugel, deren Halbmesser Rist, und deren Mittelpunkt mit dem Anfangspunkte der Coordinaten zusammenfällt: die Dichtigkeit der die Kugel erfüllenden Masse sei constant = k, und den Abstand des Punktes O vom Mittelpunkte bezeichnen wir mit o̟ = √ x2 + y2+z2. Bekanntlich hat das Potential zwei verschiedene Ausdrücke, je nachdem O innerhalb der Kugel, oder ausserhalb liegt. Im erstern Fall ist nämlich V=2πkR2 — ‡лko̟2 — 2лkṚ2 — ‡ík (x2 + y2+22),

im zweiten hingegen

[9]

=

Auf der Oberfläche der Kugel geben beide Ausdrücke einerlei Werth kR2, und das Potential ändert sich daher im ganzen Raume nach der Stetigkeit.

Für die Differentialquotienten erhalten wir im innern Raume