In jedem dieser sechs Fälle giebt es also neun Puncte, welche, statt gesetzt, das betreffende Product gleich Null machen.

S. 4.

Die besonderen Beziehungen in der Lage der neun in (§. 3.) gefundenen Puncte für jeden der 6 Fälle zu finden.

Die in (S. 3.) gefundenen neun Puncte haben in jedem der sechs Fälle die Beschaffenheit, dafs sich um sie eine bewegliche Curve dritter Ordnung schlingen läfst. In der That haben jene Producte entweder die Form QF [im 2ten bis 6ten Falle], oder die Form qfi [im ersten Falle], wo oder q den Factor dreimal enthält. Fügt man nun zu QF eine constante Gerade G als Factor hinzu, die nicht mit F zusammenfällt, so drückt die Gleichung

(nach der Formel 6.) aus, dafs x einer Curve dritter Ordnung angehört. Diese Curve enthält offenbar die neun Puncte, welche das Product QF gleich Null machen. Alle übrigen Puncte jener Curve geben, in Q statt x eingeführt, eine Gerade, welche die Gerade F in dem Punct FG schneidet. Läfst man nun die Gerade G in eine beliebige andere Gerade G' übergehen, welche F in einem von FG verschiedenen Puncte trifft, so drückt die Gleichung QFG' eine Curve dritter Ordnung aus, welche sich um dieselben neun Puncte schlingt. Alle übrigen Puncte dieser Curve geben, statt in Q eingeführt, eine Gerade, welche die Gerade F in dem Puncte FG' schneidet, also in einem andern Puncte, als wenn man in die Puncte der ersten Curve einführt. Beide Curven haben also aufser jenen neun Puncten keine Puncte gemein, und man erhält also eine bewegliche Curve dritter Ordnung, die sich um jene festen neun Puncte schlingt. Dasselbe ergiebt sich in dem andern Falle, wenn man qf, mit einem

Puncte g, combinirt, und dann entsprechend verfährt.

Also haben in allen

sechs Fällen die gefundenen neun Puncte die angegebene Beschaffenheit.

Ferner liegen in jedem der einzelnen sechs Fälle mindestens drei von 'den neun Puncten in gerader Linie. So z. B. liegen in dem ersten Falle, wie sich unmittelbar aus den Formeln in (§. 3, 1.) ergiebt, e, f, g in der Geraden ed, und e, h, i in der Geraden ef. Es wird genügen, Dies für die einzelnen Fälle übersichtlich zusammenzustellen.

„In gerader Linie liegen:

In 1. die Puncte e, f, g und ebenso e, h, i.

Es ist bekannt, dafs wenn von neun Puncten, um welche sich eine bewegliche Curve dritter Ordnung schlingen läfst, drei in gerader Linie liegen, die sechs übrigen in einem Kegelschnitt liegen müssen. Also giebt es in den ersten fünf Fällen jedesmal zwei Kegelschnitte, in welchen sechs der neun Puncte liegen müssen, in dem letzten giebt es einen solchen. Diese Beziehung mufs also durch die obigen Formeln gleichfalls ausgedrückt sein. Doch ist es nöthig, zu bemerken, dafs dieselbe durch die oben dargestellten Beziehungen schon mitbedingt ist.

S. 5.

Wenn beliebige neun Puncle gegeben sind, welche die in (§. 4.) bezeichnete Lage haben, die Producte der in (§. 3.) dargestellten Formen zu finden, welche für

...

diese neun Puncte verschwinden.

Es seien a, b, ¿ die neun gegebenen Puncte, welche der Bedingung unterworfen sind, dafs sich um sie eine bewegliche Curve dritter Ordnung schlingen läfst. Hierzu tritt im ersten Falle die Bedingung hinzu, dafs e sowohl mit f und g, als auch mit h und i, in gerader Linie liege. Dann kommt es im ersten Falle nur darauf an, B, b1, d1, fi so zu wählen, dafs den Gleichungen in (§. 3, 1.) genügt wird. Ja, da durch acht jener neun Puncte bekanntlich schon immer der neunte bestimmt ist, so kommt es nur darauf an, die Gleichungen für acht Puncte zu erfüllen, indem dann die Gleichung, durch welche der neunte Punct bestimmt ist, schon immer von selbst erfüllt werden

mufs. Man wähle zu dem Puncte, der unberücksichtigt bleiben soll, den Punct g. Dann sagt die Gleichung, durch welche der Punct c in (§. 3, 1.) bestimmt ist, nämlich c=bb1B, aus, dass c sowohl in bb, als in B liegt; oder, anders ausgedrückt, dafs beb, und cB Null sind. Die Gleichung dd,b, Ba (bd) sagt aus, dafs d in der Geraden db, Ba und in bd, liegt, d. h., dafs d1b1 Bad =bd1d=0 sei, oder, anders geschrieben (nach Fall 12.), dafs da Bd,b, und bdd, Null sind. Die Gleichung fed, B drückt aus, dafs efd, und fB Null sind. Diese Ausdrücke, welche hiernach Null sind, in angemessener Ordnung zusammengestellt, sind:

bdd, cB, bcb1,

efd, fB, daВd,b1.

Aus dem Verschwinden der senkrecht unter einander stehenden Ausdrücke folgt sogleich

d1 = bd(ef), B = cf, b1 =da Bd, (bc).

Ferner drückt die Gleichung (, i) = ef. [a, b, c, d, r] aus, dafs / und i in der Geraden ef, und in dem durch die Puncte a, b, c, d, r gelegten Kegelschnitte liegen, oder, anders ausgedrückt, dafs der Punct fi in der durch die drei Puncte e, h, i gehenden Geraden und der Punct in dem durch die sechs Puncte a, b, c, d, h, i gehenden Kegelschnitte liegt. Dafs nämlich diese 6 Puncte in einem Kegelschnitte liegen müssen, ist nach (§. 4.) schon in der Bedingung eingeschlossen, dafs die andern drei Puncte e, f, g in gerader Linie liegen. Endlich, die Gleichung r=d1f1B drückt aus, dafs r in der Geraden dif und in der Geraden B liegt. Dar sowohl in B als in dem Kegelschnitt [a, b, c, d, h] liegt, so wird es in einem der Durchschnitte beider liegen müssen. Der eine dieser Durchschnitte ist, da B=cf ist, c, also ist r der andere, d. h. es ist

(c, r) = B. [a, b, c, d, h].

Dann geben also die beiden noch übrigen Bestimmungen, dafs f, in d ̧r und und in ek liegt,

f1 = d1r (eh).

Es ist daher jetzt B, b1, di, fi so bestimmt, dafs alle Gleichungen in (§. 3, 1.), vorläufig mit Auschlufs der Gleichung g= ed,(ab,), erfüllt werden. Setzt man demnach diese gefundenen Werthe in das Product xaBb1 (xb)d1(xc)f1, so wird dasselbe für die acht Puncte xa...f, h, i gleich Null gemacht, also auch durch den 9ten Punct g; und die Aufgabe ist für den ersten Fall gelöset. Es reicht daher die Anzahl der Gleichungen in (S. 3, 1.) gerade

zur Bestimmung der sieben constanten Factoren des Products hin. Man erwäge, dafs jede Bestimmung eines Puncts (oder einer geraden Linie) durch zwei Zahlengleichungen in (§. 3, 1.), durch welche die neun Puncte bestimmt wurden, achtzehn Zahlengleichungen einschliefsen. Da jedoch durch acht Puncte schon der neunte bestimmt war, so braucht man nur sechzehn dieser Gleichungen zu berücksichtigen. Unter diesen Gleichungen sind aber zwei, nämlich die, welche ausdrücken, dafs e, f, g, und eben so e, h, i, in gerader Linie liegen, in den Bedingungen der Aufgabe eingeschlossen; es bleiben daher noch vierzehn Zahlengleichungen zu berücksichtigen. Dasselbe gilt in allen übrigen Fällen, mit Ausnahme des sechsten, wo nur die Puncte e, f, g in gerader Linie liegen sollen, also funfzehn Gleichungen übrig bleiben. Jene 14 Zahlengleichungen reichen nun in unserem Falle zur Bestimmung der sieben constanten Factoren des Products gerade hin. Dasselbe gilt für den dritten und vierten Fall, da hier auch nur sieben constante Factoren in dem Producte sich zeigen. Hingegen in dem zweiten und fünften Falle erscheinen acht constante Factoren, und es bleiben also hier noch zwei Bestimmungen willkürlich. Im sechsten Fall endlich kommen gleichfalls acht constante Factoren vor, aber funfzehn Zahlengleichungen; also bleibt hier nur eine Bestimmung willkürlich. Diese Bemerkung möge zum Leitfaden bei der Lösung der folgenden Aufgaben dienen. Im zweiten Falle bleiben zwei Bestimmungen willkürlich. Aus den Gleichungen für c und d in (§. 3, 2.) erhält man dann folgende vier Ausdrücke gleich Null: cB, cC, daBD, dbDC. Ferner sagt die Gleichung (f, g)= DEe. [a, b, c, d, r] aus, dafs DE in der durch e, f, g gehenden Geraden liegt, und dafs r in dem durch die sechs Puncte a, b, c, d, f, g gehenden Kegelschnitt liegt. Die zugehörige Gleichung_r=DEbB drückt aus, dafs r in B liegt, und DE in br. Nimmt man nun die Gerade B, für welche nur die Bestimmung da war, dafs sie durch e gehen soll, willkürlich durch can, so ist der Punct, als zweiter Durchschnittspunct der Geraden B und des durch a, b, c, d, f, g gehenden Kegelschnittes bestimmt, d. h. es ist (c, r) = B.[a, b, c, d, f].

Dann ist DE bestimmt, nämlich =rb(ef). Da nun D durch diesen Punct und den Punct daB geht, so ist auch D bestimmt, und dadurch wieder C, nämlich

D = rb(ef)(daB), C dbDc.

Nimmt man noch die Gerade E willkürlich durch den Punct rb (ef) an, so sind durch diese Annahme die bisher betrachteten Gleichungen aus (S. 3, 2.)

erfüllt. Ferner die Gleichung (h, i)=FEe.[a, b, c, d, s] sagt aus, dafs FE in der durch e, h, i gehenden Geraden, und s in dem durch die sechs Puncte a, b, c, d, h, i gehenden Kegelschnitt liegt. Endlich sagt die Gleichung s=DFbB aus, dafs s in B und in DFb liegt; das letztere läfst sich so ausdrücken: dafs Fin sbD liegt. Mithin erhalten wir

(c, s) = B.[a, b, c, d, h], FehE(bs D);

wodurch nun alle Gleichungen in (§. 3, 2.) erfüllt sind und die Aufgabe für den zweiten Fall gelöset ist.

Im dritten Falle liegt (nach §. 4.) der Punct e sowohl mit b und g in gerader Linie, als auch mit h und i. Daraus folgt (nach §. 4.) dafs die vier Puncte a, c, d,' f sowohl mit bund g in einem und demselben Kegelschnitt liegen, als auch mit h und i, wenn, wie vorausgesetzt wurde, a... i neun solche Puncte sind, um die sich eine bewegliche Curve dritter Ordnung schlingen läfst.

Ich werde nun von den Gleichungen in (§. 3, 3.) die Gleichung für g ganz unberücksichtigt lassen und aus der Gleichung für f nur die Bestimmung aufnehmen, dafs f in B liegen soll. Dann geben die Gleichungen für e und d: c = cB =

0

bcb,

woraus man, da auch f in B liegt,

adb1

=

dE;

B = cf, b1 = bc(ad), dE=0

erhält. Die Gleichung (h, i) = EFe. [a, b, c, r, s] drückt aus, dass EF in der durch e, h und gehenden Geraden, und dafs die Puncter und s in dem durch die fünf Puncte a, b, c, h, i gelegten Kegelschnitt liegen. Die hiezugehörigen Gleichungen r=BF, s=ab1F' sagen aus, dass r in B, s in ab, liegt, und F durch die Puncter und s geht. Man erhält also:

(c, r) = B.[a, b, c, h, i], (a, s) = ab1.[a, b, c, h, i], _F = rs. Endlich bestimmt sich E dadurch, dafs es durch den Punct d geht und EF in eh liegt, d. h. E in eh F; also ist

E eh Fd.

Hierdurch sind alle Constanten des Products xaBb1(xb) (xe E) F bestimmt; und zwar so, dafs dies Product für die Puncte a, b, c, d, e, h, i gleich Null wird. Bezeichnet man die beiden übrigen Puncte, für die jenes Product Null wird, für den Augenblick mit f' und g', so mufs nach den Formeln (§. 3, 3.) einer derselben, z. B. f', in B= cf liegen, der andere g', in eb; und dann mufs nach (S. 4.) f' mit a, c, d, h, i und mit a, c, d, b, g' in einem Kegelschnitte liegen. Es wird also f' dadurch bestimmt, und zwar auf gleiche Weise 3

Crelle's Journal f. d. M. Bd. XLIV. Heft 1.