Da der allgemeine, an die Spitze gestellte Satz seinerseits wieder nur ein besonderer Fall eines allgemeinen Satzes ist, den ich in meiner Ausdehnungslehre (S. 244 ff.) und im 31. Bande dieses Journals ausführlich bewiesen habe, so darf ich mich hier des Beweises entheben, zumal derselbe nicht die mindesten Schwierigkeiten hat.

Ungleich schwieriger ist der Nachweis, dafs sich, umgekehrt, jede beliebige Curve vierter Ordnung, auf jede der sechs Arten, welche in den vorhergehenden Specialsätzen dargestellt sind, erzeugen läfst. Ich werde hier die einfachsten Erzeugungs-Arten, durch welche jede beliebige Curve vierter Ordnung hervorgebracht werden kann, in einem Satze zusammenstellen und dann die Beweise ihrer Allgemeinheit liefern:

„Jede Curve vierter Ordnung läfst sich erzeugen, als Ort:

1) Einer Ecke (x) eines Sechsecks (Fig. 1), in welchem von dieser Ecke (a) zwei Diagonalen nach zwei einander benachbarten Ecken gezogen sind, und in welchem diese Diagonalen und alle Seiten durch feste Puncte gehen, während alle von den Diagonalen nicht getroffenen Ecken in festen Geraden liegen.

2) Einer Ecke (x) eines Fünfecks (Fig. 2), in welchem von dieser Ecke (x) nach zwei Puncten (p, und p2), die in zwei aneinanderstehenden Seiten liegen, zwei Gerade gezogen sind, und in welchem alle übrigen Seiten, so wie diese beiden Geraden (xp, und xp), durch feste Puncte gehen, während die Puncte (P1 und p2) und alle Ecken aufser x, in festen Geraden liegen.

3) Der Spitze (x) eines Fünfecks (Fig. 3), in welchem von der Spitze nach einem Puncte (p) der Grundseite und nach einer daran liegenden Ecke zwei Gerade gezogen sind, und in welchem diese Geraden und alle Seiten, aufser der Grundseite, durch feste Puncte gehen, während jener Punct (P) und alle von der Diagonale nicht getroffenen Ecken in festen Geraden liegen.

4) Der gemeinschaftlichen Ecke (x) eines Vierecks und eines stetig daran liegenden Dreiecks (Fig. 4), wenn die von dieser Ecke gezogene Diagonale des Vierecks und alle Seiten beider Figuren, mit Ausnahme der aufeinander fallenden, durch feste Puncte gehen und alle von der Diagonale nicht getroffenen Ecken in festen Geraden liegen.

5) Der gemeinschaftlichen Ecke (a) eines Dreiecks und eines stetig daran liegenden Vierecks (Fig. 5), in welchem von dieser Ecke x nach

einem Puncte (p.) der an die gemeinschaftliche Seite sich anschliefsenden Seite eine Gerade gezogen wird, während diese Gerade und alle Seiten, aufser der gemeinschaftlichen, durch feste Puncte gehen und jener Punct (p1), so wie alle Ecken aufser x, in festen Geraden liegen.

6) Der gemeinschaftlichen Spitze z dreier stetig an einander liegender Dreiecke (Fig. 6), deren übrige Ecken in festen Geraden liegen und deren Grundseiten und äussersten Schenkel durch feste Puncte gehen."

Ehe ich zu den Beweisen dieser Sätze übergehe, will ich der Übersicht wegen diejenigen Formeln voranstellen, auf welche ich dabei zurückgehen werde. Überall werde ich unter den kleinen Buchstaben Puncte, unter den grofsen gerade Linien verstehen. Wie in den frühern Aufsätzen soll:

x

wenn Axx und by Producte in dem Sinne der Formeln (6. und 2.) sind, welche den Punct x zusammen u mal als Factor enthalten, die Gleichung einer von beschriebenen Curve uter Ordnung ist. Diesen Satz habe ich den erweiterten Pascalschen genannt. Der Pascalsche Satz über das mystische Sechseck läfst sich, wenn xabcde dieses Sechseck ist, durch die Formel (7.) (xa.cd) (ab.de) (bc.ex)

0

ausdrücken, da dieselbe nur aussagt, dafs die drei Durchschnittspuncte der gegenüberliegenden Seiten jenes Sechsecks in gerader Linie liegen. Setzt man hier cd B, ab. de c1, bc D, so erhält man folgenden Satz:

=

=

ist die Gleichung eines Kegelschnitts, der durch die 5 Puncte a, e, BD, ac, D, ec, B geht."

Noch füge ich folgende einfache Umgestaltungsformeln hinzu:
Die Gleichung

ist. Denn die Gleichung drückt aus, dafs der Punct ax B mit c und x in gerader Linie liegt. Dies ist aber erstens der Fall, wenn x in B liegt, indem ax B x wird. Liegt hingegen nicht in B, so ist ax B von x verschieden, und die Gleichung sagt dann aus, dafs c in der durch die Puncte ax B und x gelegten Geraden, d. h. in der Geraden ax liegen mufs. Es mufs also nothwendig entweder xB, oder acx, Null sein.

(10.)

ist, wenn ab nicht Null ist, gleichbedeutend mit dem Gleichungspaare aC0 und bC 0.

Denn abC=0 drückt dann aus, dafs die Gerade ab mit C zusammenfällt, d. h., dafs a und bin C fallen.

Eben so ist die
Eben so ist die Gleichung

(11.) wenn AB nicht Null ist, gleichbedeutend mit dem Gleichungspaare

Wenn ein fortschreitendes planimetrisches Product (d. h. ein Product im Sinne der Formeln (1 bis 5.)), welches mit zwei Punct- oder LinearFactoren beginnt und schliefst, während sonst überall Punct und Linie wechseln, Null ist: so bleibt es auch Null, wenn man, von einem beliebigen Factor an, die ganze Factorenreihe umkehrt und in kleinere schliefst, z. B. wenn ab Cd Efg = 0 ist, so ist auch a(gfEdCb)

(12.)

0.

Denn die erste Gleichung drückt aus, dafs die drei Puncte abCdE, f, g in gerader Linie liegen. Dasselbe drückt die Gleichung abCdE(fg)=0 aus. Vermöge dieser Gleichung gehen wieder die drei Geraden abCd, E, fg durch einen und denselben Punct, und das Nemliche drückt die Gleichung abCd(fgE) aus, u. s. w.

Obgleich sich noch manche Formel aufstellen liefse, die für den gegenwärtigen Zweck von Nutzen sein würde, wird man doch mit den vorstehenden Formeln ausreichen.

Indem ich nun zum Beweise des oben aufgestellten sechsfachen Satzes übergehe, bemerke ich noch, dafs ich mich nicht damit begnügen werde, blofs im Allgemeinen die Erzeugbarkeit der Curven vierter Ordnung auf die dort angegebenen 6 Arten nachzuweisen, sondern dafs ich überall bis zur geometrischen Construction derjenigen Puncte und geraden Linien fortschreiten werde, in welchen sich die Geraden und Puncte der veränderlichen Figur bewegen müssen, damit der Punct x eine gegebene Curve vierter Ordnung erzeuge. Ich zerlege zu dem Ende den Beweis in eine Reihe von Aufgaben, die ich in den folgenden Paragraphen lösen werde und mit deren Lösung der Beweis des obigen Satzes, nebst der geometrischen Construction aller Constanten, vollendet ist.

S. 1.

Die sechs in dem Satze beschriebenen Arten der Bewegung in Formeln darzustellen. Aus den Formeln (1, 2 und 5.) ergiebt sich sogleich, dafs die in dem obigen Satze beschriebenen Bewegungen, wie sie in den Figuren (1 bis 6) bildlich ausgedrückt sind, beziehlich durch folgende 6 Gleichungen dargestellt werden:

Die sämmtlichen Puncte zu finden, welche, statt gesetzt, ein Product, in welchem nur die durch die Formel (1. und 2.) dargestellten Multiplications - Arten vorkommen,

gleich Null machen.

1. Wenn ein Product nur die durch die Formel (1. und 2.) dargestellten Multiplications-Arten enthält, so wird es als Product, entweder zweier gerader Linien, oder zweier Puncte sich zeigen. Es wird nur nöthig sein, einen dieser Fälle, etwa den zweiten, zu betrachten, da der andere durch Reciprocität aus ihm hervorgeht. Man hat dann das Product zweier Puncte. Der eine derselben, den wir als ersten Factor setzen wollen, sei wieder aus zwei Factoren

zusammengesetzt, so werden diese Factoren Linien sein und man erhält also die Form ABc. Man nehme an, dafs A, B, e den Punct x beziehlich amal, ẞmal, ymal als Factor enthalte. Es seien bereits die Puncte gefunden, welche, statt gesetzt, ABc gleich Null machen. Dann sind nur noch die Puncte zu suchen, welche ABC gleich Null machen, ohne AB gleich Null zu machen. Ist nun aber AB nicht Null, so ist nach Formel (11.) die Gleichung

ABc = 0

gleichbedeutend mit dem Gleichungspaare

Ac = 0 und Bc = 0,

von welchen die erstere eine Curve (a+y)ter Ordnung, die letztere eine Curve (B7)ter Ordnung darstellt. Ihre Durchschnittspuncte sind die gesuchten Puncte. Also:

„Wenn A, B, c Productfunctionen des Punctes a sind (die ersteren beiden gerade Linien, die letzte ein Punct), so findet man diejenigen Puncte x, für welche

ist, als die Durchschnitte der beiden Curven, deren Gleichungen

sind, und von denen sich die erstere um alle Puncte schlingt, welche A gleich Null machen, die letztere um die, welche B gleich Null machen.” Auf diese Weise findet man also, indem man schrittweise die Zusammensetzung des Products verfolgt, und bedenkt, dafs zuerst ca nur für x=a, Null ist, alle die Puncte, welche das Product gleich Null machen, und die Aufgabe ist gelöset (Vergl. Band 42. S. 201). Doch läfst die Methode in einigen Fällen eine Vereinfachung zu.

=

Nämlich erstens, wenn c und B constant sind, so enthält die Gleichung Bc 0 O den Punct a gar nicht. Wird also diese Wird also diese Gleichung nicht erfüllt, d. h. liegt nicht in B, so giebt es keinen Punct, welcher, statt æ gesetzt, ABC gleich Null macht, ohne AB gleich Null zu machen. Liegt hingegen c in B, so folgt, dafs jeder Punct x, welcher der Gleichung Ac=0 genügt, d. h. jeder Punct der durch diese Gleichung dargestellten Curve, auch ABc gleich Null mache. Wir wollen in diesem Falle der Kürze wegen sagen, es sei dies Product ABC durch jene Curve theilbar. Also:

Erstlich. „Wenn das Product zwei aufeinanderfolgende constante Factoren enthält, von denen der Punctfactor in dem Linienfactor liegt, so ist das Product durch eine Curve theilbar. Folgen hingegen zwei constante