EERSTE HOOFDSTUK.

OVER DE POTENTIAAL IN HET ALGEMEEN EN DE FUNCTIE VAN GREEN IN HET BIJZONDER.

§ 1. Twee materiëele punten u en m, waarvan de rechthoekige coördinaten a, ẞ, y en x, y, z zijn, trekken elkander aan, volgens NEWTON's wet, met eene kracht

zoo E den afstand van μ en m voorstelt. De componenten van de kracht door μ op m uitgeoefend zijn

Hetzelfde geldt van een systeem materiëele punten μmet coör

dinaten a, i, 7; alsdan worden de componenten van de kracht

op m uitgeoefend voorgesteld door

με

De componenten X, Y, Z zijn derhalve de partiëele afgeleiden van V naar x, y en z, vermenigvuldigd met de massa m. De uitdrukking mV heet de potentiaal van de massa's μ, ten opzichte van de massa m in het punt x, y, z; de grootheid V zelve de potentiaal van het systeem μ in het punt x, y, z; in het laatste punt wordt dus hierbij de eenheid van massa gedacht. De grootheid V is, zoolang het punt x, y, z niet in een der punten «¡, ẞi, y1 valt, even als hare afgeleiden eindig en continu. Hare tweede afgeleiden voldoen aan de vergelijking van LAPLACE

Op oneindigen afstand wordt V nul of liever, zoo

steeds eindig, hoe groot x, y en z ook mogen genomen worden. Vullen de massa's μ continu een lichaam, of zijn zij verbreid over een oppervlak, dan wordt de potentiaal in het punt x, y, z.

waarbij de integratie moet uitgestrekt worden over het gebied, waarbinnen de massa's liggen.

Volgens bekende definitie is bij een lichaam

waarin dr het volume-element en do het oppervlakte-element in a, B, 7 voorstelt, terwijl de dichtheid is in dat punt, die in

het algemeen eene eindige en continue functie van a, ẞ en gerekend wordt.

Men heeft dus voor een lichaam en voor een vlak respectievelijk

Noemen wij het oppervlak, dat het lichaam begrenst, waarbinnen in het eerste geval de massa verdeeld is, S, en het oppervlak, waarover in het tweede geval de massa uitgebreid is, evenzoo, dan zullen in het algemeen de eigenschappen der functiën V verschillend zijn, naar gelang het punt x, y, z buiten S, op S of binnen dat oppervlak gelegen is. In het eerste geval vertoonen de beide functiën V, of de potentiaal van een lichaam en van een oppervlak, volkomen dezelfde eigenschappen, en wel juist die, welke zooeven voor het systeem u opgenoemd zijn.

1o. Zij zijn, even als hare afgeleiden, eindig en continu. 2o. Zij voldoen aan de vergelijking ▲ V=0.

3o. Op oneindigen afstand blijven de uitdrukkingen

steeds eindig.

dV dV

RV, R2 Ꭱ en R2
dx dy

dV

dz

Functiën, die voor alle punten buiten zeker oppervlak S aan deze drie voorwaarden voldoen, noemen wij in het vervolg P. of Va functiën van het oppervlak S.

u

Wordt het punt x, y, z binnen S gedacht, dan zijn de eigenschappen van de potentiaal eener vlaktelading en van een lichaam verschillend. Wel blijft bij beide in alle punten binnen S de potentiaal, evenals hare eerste afgeleiden, eindig en continu, maar de tweede afgeleiden voldoen bij een oppervlak nog steeds aan ▲ V=0, terwijl bij een lichaam de vergelijking van LAPLACE in die van POISSON Overgaat, nl.

4 πρ οι Δ ν =-4 πρ
of AV

de dichtheid voorstelt in het punt x, y, z.

De potentiaal van een oppervlak in een binnenpunt voldoet dus nog aan de voorwaarden 1 en 2, zooeven genoemd; eene functie, die, voor alle punten binnen een oppervlak S, deze twee eigenschappen vertoont, wordt in het vervolg dikwijls voorgesteld door P1 of V1.

Zij ten slotte het punt x, y, z in het oppervlak S gelegen. Nu is het de potentiaal van eene massa over S uitgebreid, waarop vooral de aandacht moet gevestigd worden. Nemen wij drie punten aan, één binnen S, één daarbuiten en één op het oppervlak gelegen, en wel

zoo dan P, en P1 samenvallen in P., heeft men

Lim. V, Lim. V,

V,

1)

zoowel bij een lichaam als bij een oppervlak. Tevens is hetzelfde te zeggen bij een lichaam van de eerste afgeleiden. Dit is niet zoo bij eene oppervlakte-lading. Zij in P, eene normaal opgericht en zijn de punten P, en P, op die normaal gelegen, zoo men dan P. langs de normaal naar binnen het element dn, en P. naar buiten het element dN laat doorloopen, dan zal de functie V, aan

i

waarin weer voorstelt de dichtheid in P.. Bij een oppervlak is

୧

dus de eerste afgeleide van de potentiaal bij doorgang door het vlak

dV

discontinu; met de waarde van voor een punt op S, wordt

πρ

dn

dan ook steeds bedoeld een der beide limieten, waarvan het verschil - 4 bedraagt. Wij laten in het vervolg, daar, waar zonder verklaring duidelijk is dat een der genoemde limietwaarden bedoeld wordt, meestal het woord limiet weg. De vergelijking 2) vindt dikwijls geschreven

§ 2. In de potentiaal-leer, vooral waar sprake is van de potentiaal eener vlakte-lading over een oppervlak S, vervullen de functiën P1 en P. van S eene belangrijke rol. Verschillende eigenschappen van deze functiën vindt men onmiddellijk uit het bekende theorema van GREEN, dat hier in herinnering wordt gebracht.

u

Laten U en V twee functiën zijn van de coördinaten x, y, z, die met hare eerste afgeleiden eindig en continu blijven voor alle punten binnen een oppervlak S, dan geldt de betrekking

Zijn U en V beide P, functiën van S, dan is zoowel U als AV 0, dus:

Eene belangrijke betrekking verkrijgt men, indien voor U geno

1
E'

men wordt waarin E voorstelt den afstand van een punt P

(x, y, z), binnen of op S, tot een vast punt P' (x', y', z') binnen S.

1

De uitdrukking is niet eindig evenmin als hare afgeleiden zoo

E1

x, y, z in x', y', z' valt. De gelijkheid 4) kan dan ook slechts toegepast worden voor de ruimte ingesloten door S en door het oppervlak van een bol, waarvan P¦' het middelpunt is en de straal genomen wordt. Door steeds kleiner te laten worden, vindt men

in dit geval, zoo weer VV, eene P1 functie is,

waarin V de waarde is van V1 in het punt x', y', z'.

6)

Ten einde voor de ruimte buiten S de stelling van GREEN toe te