autres. C'est ce problème que je me suis proposé de résoudre. Pour y parvenir, je suis obligé de traiter plusieurs autres questions préliminaires, et parmi ces questions, il en est qui sont trèsintéressantes par elles-mêmes: principalement celle d'exprimer en valeurs des seules arêtes d'une pyramide triangulaire, toutes les parties qui entrent dans la construction de cette pyramide; savoir, les angles que forment ces arêtes, soit entre elles, soit avec les faces; ceux qui sont compris entre ces mêmes faces; la perpendiculaire abaissée de chacun des sommets sur la base opposée, le solide de la pyramide, le rayon de la sphère circonscrite, celui de la sphère inscrite, etc.; d'où suit la solution de ce problème fondamental de la Géométrie aux trois dimensions, et qui répond au problème général de la Trigonométrie ordinaire dans la Géométrie plane.

Parmi toutes les quantités qui entrent dans la construction d'une pyramide triangulaire, six quelconques étant données suffisantes pour que le reste soit déterminé, trouver toutes les

autres.

Les applications les plus essentielles de ce problème suffiraient seules pour fournir la matière d'un grand ouvrage, et cet ouvrage serait infiniment utile: mais je ne m'y arrête ici, qu'autant que cela m'est nécessaire pour arriver au but que je me suis proposé. J'ai trouvé que plusieurs des problèmes réunis dans cet Opuscule, Euler avaient déjà été résolus par par d'autres, particulièrement dans divers Mémoires imprimés parmi ceux de l'Académie de Pétersbourg, par Lagrange dans ceux de l'Académie de Berlin pour F'an 1773, et par l'abbé de Gua dans ceux de Paris pour l'an 1783; mais je n'ai conservé de ces problèmes que le très-petit nombre de ceux qui m'étaient absolument indispensables pour ne pas rompre l'ensemble de mon travail, et je les ai traités conformément à mon but, qui était tout différent de celui de ces illustres géomètres. Le Mémoire de Lagrange renferme les recherches les plus étendues; mais il ne tend point, comme je le fais ici, à trouver l'expression explicite de toutes les parties de la pyramide en valeurs des seules arêtes, et son objet n'est pas de résoudre le problème général énoncé ci-dessus; mais de faire connaître, en appliquant à la pyramide

l'élégante méthode des projections ou des coordonnées, l'étendue des ressources d'une analyse habilement employée.

J'ai résolu tous mes problèmes par la méthode des triangles, c'est-à-dire, par la seule Trigonométrie, tant rectiligne que sphérique; cependant j'ai cru que, pour compléter mon travail, il convenait de montrer en peu de mots, comment cette méthode peut se lier avec celle des projections, ce qui me donne lieu de résoudre d'une manière nouvelle et qui m'a paru fort simple, le problème général de la transformation des coordonnées dans l'espace, c'est-à-dire, en supposant que les six coordonnées, tant anciennes que nouvelles, fassent entre elles des angles quelconques. Afin de ne pas obliger le lecteur de recourir à d'autres ouvrages, j'ai donné au commencement, sous forme de lemmes, quelques formules trigonométriques familières, dont j'avais besoin.

Je termine cet écrit par un Essai sur la Théorie des transversales, sujet que j'ai déjà traité ailleurs, mais avec moins de précision. J'ai profité des réflexions qu'ont ajoutées à ce que j'avais déjà dit sur cela, plusieurs savans, principalement Servois, professeur de mathématiques aux Écoles d'Artillerie à Metz, dans son intéressant petit ouvrage intitulé: Solutions peu connues de divers problèmes de Géométrie-pratique.

LEMME I.

1. Si dans un triangle rectiligne quelconque, on nomme A, B, C, les trois angles; a, b, c, les côtés respectivement opposés, on aura les formules suivantes :

1

2°.......... sin A = 2bc V (2a*b*+2a*c3+2b°C2 ——— @1 ——— B¢ —— (1); 3°. La perpendiculaire

abaissée de l'angle AV (2aaba+2aaca+2b°ca — a1 — b1 —c1 ) ; sur le côté opposé.

4°. L'aire du triang. = ÷ √(2a2ba+2aac2+2b3ca—aa— b4 — c1 ) ;

5°. Le rayon du cercle

circonscrit.

6°. Le rayon du cercle

inscrit

2. Si dans un triangle sphérique quelconque, on nomme A B, C, les trois angles; a, b, c, les côtés respectivement opposés, on aura les formules suivantes :

FIG. 1.

LEMME II I.

3. Si trois angles quelconques A, B, C, valent ensemble quatre droits ou la circonférence entière; et de même, si l'un d'eux, comme A, se trouve égal à la somme ou à la différence des deux autres; on aura toujours la formule suivante, symétrique entre les cosinus des trois angles

cos'A

cos B-cos C+2cos A.cos B.cos C = o.

Si les trois angles A, B, C, valent ensemble deux droits seulement, comme par exemple, les trois angles d'un triangle, ce sera la formule suivante qui aura lieu,

I cos Acos B-cos C-2cos A.cos B.cos Co.

Enfin si les trois angles A, B, C, ne valent ensemble qu'un seul angle droit, on aura

I- sin Asin B-sin'C-2sin A. sin B. sin C = o.

Remarque.

4. Il m'arrivera souvent de désigner l'angle compris entre deux droites partant d'un même point comme AB, AC, de la manière suivante, AB AC. Cette expression indique en même temps les

directions des lignes de A vers B et de A vers C; si au contraire
on voulait exprimer l'angle que fait la direction AB avec la di-
rection contraire à AC, on écrirait AB CA en mettant le C avant
l'A, et cet angle serait évidemment le supplément du premier. Si
l'on voulait exprimer l'angle formé par les deux directions contraires
à AB, AC, on écrirait BA CA, et cet angle redeviendrait ainsi
le même
AB^AC.

que

La même notation a lieu à l'égard des droites qui ne se coupent pas, même lorsqu'elles ne sont pas dans un même plan. Alors on FIG. 2. entend par l'angle qu'elles forment, celui qui serait compris entre deux autres droites respectivement parallèles aux premières et partant d'un même point. Ainsi AB, CD, étant les directions de deux droites quelconques menées dans l'espace, AB^CD sera l'angle compris entre ces deux directions, BA DC l'angle formé par les directions opposées, et AB DC ou BA^CD, l'angle formé par l'une de ces directions et la direction opposée à celle de l'autre droite.

Si l'on désigne l'une de ces droites par m, par exemple, et l'autre par n, l'angle compris entre elles sera exprimé par m n, mais cette expression ne distingue pas cet angle de son supplément.

Enfin si deux surfaces planes sont désignées l'une par M, par exemple, et l'autre par N, l'angle qu'elles formeront entre elles sera exprimé par M^N, ainsi des autres.

Cette notation est très-commode, parcequ'elle aide à retrouver facilement les parties de la figure auxquelles se rapportent les expressions qui entrent dans une formule.

FIG. 3.

5.

PROBLÈME I.

DES Es six droites qui joignent deux à deux quatre points pris dans un même plan; cinq quelconques étant données, trouver la sixième exprimée en valeurs des cinq autres.

Solution. Soient B, C, D, E, les quatre points proposés : supposant donc que cinq des six droites BC, CD, BD, BE, CE, DE, soient données, il s'agit de trouver la sixième exprimée en valeurs des cinq autres.

Je fais, pour abréger,

BC=m, CD=n, BD=p, BE=q, CE=r, DE=s.

Cela posé, puisque des trois angles CBD, CBE, DBE, il y en a un qui est la somme des deux autres, nous aurons par le lemme III,

1- cos2CBD-cos CBE-cos'DBE+2 cos CBD.cos CBE.cosDBE=o.....(Á)

Or par le lemme I nous avons les trois équations suivantes :

Substituant ces valeurs des cosinus dans l'équation (A) qu'on vient de trouver, exécutant les opérations indiquées et réduisant; on aura la formule suivante, qui satisfait à la question proposée