§ 25. Arbeit beim Zusammendrücken der Luft. A. In einem Cylinder ABCD (Fig. 37) möge ein dicht schliessender Kolben EFGH beweglich sein. Der Inhalt der Bodenfläche sei f. Es soll der Kolben ein Luftvolumen v, von der Höhe h, absperren, welches die Spannung p hat. Durch irgend eine Kraft möge Ersterer derartig herabgedrückt worden sein, dass die untere Fläche aus der Lage HG in die Lage H1 G1 kam, welcher die Höhe h1 und das Luftvolumen v1, von der Spannung P1, entspricht. Ferner möge die Annahme gemacht werden, dass bei der Zusammendrückung die Temperatur sich nicht veränderte, also das Mariotte'sche Gesetz 1) Giltigkeit hatte. Diese Annahme ist zulässig, wenn die Volumenveränderung so langsam erfolgt, und die Cylinderwände für die Wärme so durchlässig sind, dass ein Ausgleich der inneren und der äusseren Temperatur stattfindet. (Vergleiche B auf S. 107.) Man soll nun, unter der genannten Annahme, diejenige Arbeit, L, berechnen, welche nöthig war, um die Verdichtung auszuführen, um also die Luftmenge von dem Volumen v und der Spannung p auf das Volumen v1 und die Spannung P1 zu bringen. Es ist mithin herzuleiten, nach welcher Gleichung L von den Grössen v, p und v1, oder v, p und p1, abhängt. Lösung. Um das Arbeitselement d L zu ermitteln, denken wir uns, dass HG in die allgemeine Lage JK (der die Höhe x entspricht) gekommen sei und dann um das unendlich kleine Wegstück de weiter rücke. Das unter JK abgesperrte Volumen möge v heissen; seine Spannung Px. Es besteht dann (laut Nr. 1) die Gleichung gedrückt. Mithin bedarf es der Arbeit fpx dx, wenn JK um das Wegelement dx weiter herabrücken soll. Daher ist Hieraus folgt, durch Integration, für die zu berechnende Arbeit der Werth: I. Die Gleichungen 5-7 lassen sich auf verschiedene Weisen leicht in Worte fassen, was nicht unterbleiben möge. (Dabei ist zu beachten, dass die vorkommenden Logarithmen gemeine Zahlen sind und das Produkt vp eine Arbeit ausdrückt.) II. Eben so leicht sind jene Gleichungen auf besondere Fälle anwendbar. Man berechne etwa diejenigen Arbeiten, welche nöthig sind, um das anfänglich vorhandene Luftvolumen auf 2/3 seines Betrages zusammenzupressen, oder um die anfängliche Spannung zu verdoppeln. III. Für das Ausdehnen der Luft gilt Dasselbe, wie für das Zusammendrücken. IV. Wirkt auf die Rückfläche des Kolbens die atmosphärische Luft, so ist die durch letztere verrichtete Arbeit gehörig zu berücksichtigen. wenn po die Grösse des äusseren Luftdruck es bezeichnet. V. Man kann die Gleichungen 5-7 auch durch Anwendung der im § 74 des I. Theiles unter Nr. 16 stehenden (für sehr kleine d giltigen) Näherungsformel 9) 8 = 7(1+8) herleiten (ohne Integralrechnung). Hierüber: Weisbach-Herrmann, theoretische Mechanik, S. 926 und 927 der 5. Auflage. B. Es möge nun vorausgesetzt werden, dass die unter A gemachte Annahme von der Unveränderlichkeit der Temperatur nicht erfüllt sei, die Luft vielmehr in einer für Wärme undurchdringlichen Hülle (von schlechten Wärmeleitern) die Zusammenpressung erfahre, oder was auf Dasselbe hinauskommt dass während der (sehr schnell erfolgenden) Volumenänderung keine merkliche Zuführung oder Abführung von Wärme stattfinde. Dann besteht, was aus der Physik als bekannt vorausgesetzt werden möge, an Stelle der Gleichung Nr. 1 die Beziehung in welcher keine bekannte Constante bedeutet, nämlich (auf zwei Decimalstellen abgerundet) die Zahl 1,41 *). Man soll nun, wie unter A, (doch jetzt mit Zugrundelegung der Gleichung 10) die Arbeit L berechnen, welche nöthig ist, um die Luftmenge von dem Volumen v und der Spannung p durch Zusammendrücken auf das Volumen v1 und die Spannung P1 zu bringen; es soll also L erstens durch v, p, v1 und k und zweitens durch v, p, p1 und k ausgedrückt werden. *) Näheres: Clausius, mechanische Wärmetheorie, Bd. 1, S. 65 der 3. Auflage. Weisbach-Herrmann, theoretische Mechanik, S. 1086 der 5. Auflage. Zeuner, technische Thermodynamik (3. Aufl. der mechanischen Wärmetheorie), Bd. 1, S. 113 und 134. Lösung. Auf dem unter A genannten Wege findet man für das Arbeitselement den Werth I. Man unterlasse nicht, die Gleichungen 13 und 14 so auszunutzen, wie es in Bezug auf Nr. 5-7 durch die dort stehenden Anmerkungen I und II angeregt worden ist. Ferner beachte man, dass III und IV auch hier wieder Giltigkeit haben. II. Für k=1 geben die Gleichungen Nr. 12-14 zunächst Unbestimmtes (nämlich 0.∞); bei genauerer Untersuchung (gemäss Th. I, Cap. III) aber Nr. 5—7. § 26. Druck tropf barer Flüssigkeiten. A. Allgemeines über derartigen Druck. Bei Untersuchungen, welche den von tropfbaren Flüssigkeiten ausgeübten Druck betreffen, ist gehörig zu beachten, dass nur die Schwere wirkt, und wird der Druck, welcher in der Tiefe (unter dem Spiegel EF) für die Flächeneinheit vorliegt, mit p bezeichnet, so ist der in der Tiefe z+dz vorhandene gleich p-dp. Es soll p berechnet werden als Function der „Druckhöhe" z und des Gewichtes y der Volumeneinheit der Flüssigkeit. Auch soll man das Ergebniss in Worte fassen. Lösung. Die Druckzunahme dp kann nur herrühren von dem Gewichte der Flüssigkeitssäule, welche die Höhe dz hat und über der Flächeneinheit steht. Es ist also Das heisst: Der Druck, welchen eine tropfbare Flüssigkeit auf die Flächeneinheit ausübt, ist gleich dem Gewichte derjenigen Flüssigkeitssäule, welche jene Einheit als Basis und die (unveränderliche) Druckhöhe derselben zur Höhe hat. (Er wächst also proportional der Tiefe.) Hieraus folgt z. B., dass der Druck auf den horizontalen Boden bei jeder Form des Gefässes gleich ist dem Gewichte fhy, wenn f den Inhalt des Bodens bezeichnet. Bei Flächen, welche nicht wagerecht sind, muss dem Umstande Rechnung getragen werden, dass die Druckhöhe veränderlich ist. Es sind also dann Flächenelemente (unendlich kleine Flächen) in Betracht zu ziehen. (Man sehe hierüber das unter B Nachfolgende.) B. Wasserdruck auf schiefliegende ebene Gefässwände Ein vollständig mit Wasser gefülltes Gefäss möge die durch Fig. 39 angedeutete Gestalt haben. Dabei soll DCF eine ebene Seitenwand von irgend welcher Form sein, geneigt unter dem Winkel a gegen den Flüssigkeitsspiegel AB CD. Man denke sich die Begrenzungslinien der Wand auf ein rechtwinkliges Coordinatensystem von der Art, wie Fig. 40 es darstellt, bezogen |