z. B. ein Gasvolumen von einem Drucke und einer Temperatur nach dem Mariotte-Gay-Lussac'schen Gesetze. (Theil I, § 43.)

Man kann dann die Gleichung Nr. 1 als diejenige einer Fläche auffassen, indem man die Veränderlichen x, y und z als rechtwinklige Coordinaten ansieht. Es möge jene Fläche in der Figur 53 durch FF veranschaulicht sein (wobei x durch O L, y durch L M, z durch MP dargestellt und FF durchsichtig gedacht wurde).

Wenn dann den beiden unabhängigen Veränderlichen x und y ein bestimmter Spielraum vorgeschrieben ist etwa der in

der Figur mit Ao Bo B1 A1 bezeichnete

1

so darf man sich denselben (durch Parallelen zu den Coordinatenachsen) schachbretartig in n kleine Rechtecke von den Seitenlängen 4x und 4y zerlegt denken. Man kann sich ferner vorstellen, dass für sämmtliche Ecken jener Rechtecke die zugehörigen z construirt worden seien und man für ein unendlich grosses n deren arithmetisches Mittel u abgeleitet habe. Letzteres heisst dann (entsprechend § 7, A) der ,,Mittelwerth" von z in Bezug auf den genannten Spielraum.

Es soll nun dieser Werth u durch ein bestimmtes Doppelintegral ausgedrückt werden, indem man sich den Spielraum gegeben denkt durch die Gleichungen

der Linien A。 Bo, bezüglich A1 B1, und durch die Abscissen

4)

Der Inhalt der Fläche Ao Bo B1 A1 möge hierbei S heissen. Anmerkung. Dass bezüglich der Eindeutigkeit, Endlichkeit und Stetigkeit der betreffenden Functionen hier und im Folgenden naheliegende Voraussetzungen gemacht sind, (vergleiche § 7, A) braucht nicht besonders ausgesprochen zu werden, weil es, unter gehöriger Berücksichtigung der Figuren, für selbstverständlich gelten darf. Lösung. Für S gilt die Gleichung

S n.4x4y.

Lässt man n ins Unendliche wachsen, womit 4 x 4 y in dx dy übergeht, so ist das arithmetische Mittel μ der sämmtlichen 2-Werthe, welche zu den unendlich vielen Flächenelementen (von dem Inhalte dx dy) gehören, ausgedrückt durch

wobei f(x, y) 4x4y so viel bedeutet, wie,,Summe aller Grössen von der Form f(x, y) ≤ x ≤ y“ und diese Summe innerhalb des bezeichneten Spielraumes gemeint ist. Es steht also im Zähler eine zwischen den Grenzen yo und Yi, xo und x1 zu nehmende Doppelsumme von unendlich vielen unendlich kleinen Grössen, welche die allgemeine Form f (x, y) d x d y haben. Aus Nr. 6 folgt daher, gemäss der Definition *) des bestimmten Doppelintegrals :

*) Schlömilch, Compendium der höheren Analysis, § 95 der

5. Aufl.

Geometrisch aufgefasst lautet das: Der durch die Gleichung Nr. 7 bestimmte Mittelwerthu einer Function zweier Veränderlichen ist gleich der Höhe eines Cylinders, welcher den Spielraum Ao Bo B1 A1 zur Grundfläche und mit dem über letzterem stehenden Körper A。 B。 B1 A1 Co Do D1 C1 (Fig. 53) gleiches Volumen hat.

0

Es kommt also die Berechnung eines derartigen Mittelwerthes zurück auf eine Cubatur; ferner, da auch S bestimmt werden muss (weil es, im Allgemeinen, unbekannt ist) auf eine Quadratur, nämlich auf eine Anwendung der Gleichung

Mittelwerth eines Gasvolumens.

Als erstes Beispiel für die Anwendung des Satzes Nr. 7 möge die Lösung folgender Aufgabe dienen:

Es soll unter Zugrundelegung des Mariotte-Gay-Lussac' schen Gesetzes (Th. I, § 43) der durch die Gleichung Nr. 7 definirte Mittelwerthu eines Gasvolumens berechnet werden für den Fall, dass die auf die Flächeneinheit bezogenen Drücke zwischen den Werthen a1 und a2 liegen (wobei 0 < a <a2 vorausgesetzt ist), die Temperaturen zwischen O und dem positiven Werthe b. Lösung. Man hat, gemäss der Gleichung 7, und wenn die im § 43 des I. Theiles benutzten Bezeichnungen wieder Verwendung finden:

Mittlere Abstände der Erdoberfläche von der Ebene des

Aequators und eines Meridians.

Ein zweites Beispiel für die Anwendung der Gleichung 7 auf Seite 131 sei folgendes:

Man soll berechnen, wieviel für alle Oberflächenpunkte einer Hälfte der ellipsoidischen Erde der durch Nr. 7 definirte,,mittlere Abstand von der halbirenden Ebene beträgt

I. für den Fall, dass diese Ebene die des Aequators,

II. für den, dass sie die eines Meridians ist.

Lösung. Im ersten der beiden Fälle ergiebt sich (unter Benutzung der Gleichung 59 des § 28)

Dabei bezeichnet a die grosse, c die kleine Halbachse des Erdellipsoids; es haben also a und c die im § 28 unter Nr. 60 genannten Werthe."

D.

Anregungen und Anmerkungen.

I. Die Gleichung 7 kann auch zur Ableitung von Mittelwerthen, welche zu den geometrischen Wahrscheinlichkeiten in naher Beziehung stehen, Anwendung finden. So z. B. zur Berechnung der mittleren Entfernung zweier in einer (geradlinigen) Strecke A Ba beliebig angenommenen Punkte P und Q, die man sich um x, bezüglich y, von A abstehend denkt.*) Es ergiebt sich für jene mittlere Entfernung der Werth

II. In Bezug auf die Mehrdeutigkeit von Mittelwerthen möge 7, B, gehörige Beachtung finden.

III. Ueber die Berechnung mittlerer Meerestiefen

sehe man Günther, Geophysik, Bd. II, S. 339.

§ 30. Massen und Gewichte ungleichförmig dichter Körper.**)

A.

Ein gerader cylindrischer Körper OABCDE (Fig. 54) hat einen Viertelkreis OAB als Basis, welcher mit dem

*) Czuber, geometrische Wahrscheinlichkeiten, S. 193, Nr. 154. **) Vergl. § 17.

Halbmesser beschrieben ist. Der Körper wird oben durch eine Ebene CDE begrenzt. Seine drei senkrecht stehenden Kanten . AD, BE und OC haben, der Reihe nach, die Längen a, b und c.

Die Dichtigkeit des Körpers ist proportional dem Quadrate des Abstandes von der Kante O C, ändert sich also nach Schalen. Im Abstande 1 von OC wiegt die Volumeneinheit n Kilogramm.

1)

Man soll (unter Benutzung stabförmiger Elemente)

I. das Gewicht G des Körpers berechnen;

II. das mittlere Gewicht 7m der Volumeneinheit (nach der
Gleichung

in welcher V das Volumen bedeutet); endlich sollen III. die unter I und II gewonnenen Ergebnisse auf den be

Lösung. I. Benutzt man ein Coordinatensystem, für welches die Richtungen OA, OB und OC diejenigen der positiven x, y und sind, so ergiebt sich: