Dabei ist x=OL, y = LM, z= MP; ferner bezeichnet u die Strecke, welche die Ebene CDE auf der X-Achse, v diejenige, welche sie auf der Y-Achse abschneidet.

Man hat also

benutzt man also cylindrische Coordinaten an Stelle der rechtwinkligen (vergl. § 28, E, I), so geht Nr. 2 über in:

und zwar in Kilogrammen, wenn a, b, c und k in derjenigen Einheit ausgedrückt werden, auf welche n sich bezieht.

II. Für V hat man, bei Anwendung rechtwinkliger Coordinaten,

*) Fuhrmann, Aufgaben aus der analytischen Mechanik, Th. I,

S. 5 der 2. Auflage.

III. Für den in der Aufgabe genannten besonderen Fall

also die Hälfte desjenigen Gewichtes der Volumeneinheit, welches den im Mantel des cylindrischen Körpers befindlichen Stellen zukommt.

C

B.

Die Pyramide OABC (Fig. 55) hat die Kantenlängen

B

Ihre Grundfläche OAB ist ein bei A rechtwinkliges Dreieck. OC steht senkrecht zur Basis. Die Dichtigkeit & des Körpers ist proportional dem Quadrate des Abstandes von der Ecke O und für die

AEinheit desselben gleich k. Es soll die

Masse M berechnet werden.

Lösung. Wir benutzen rechtwinklige Coordinaten, nehmen OA als die Richtung

der positiven x, OC als die der positiven z und haben dann

15)

M=

1

C-2x

ss Ski (x2 + y2 + z2) dx dy dz.
!!

Durchführung der drei Integrationen liefert

Die Masse M eines geraden Kreiscylinders, dessen Dichtigkeit & proportional ist dem Quadrate des Abstandes vom Grundflächenmittelpunkte, sei zu berechnen. Es möge der Körper die Höhe c und den Basisradius a haben. In der Entfernung 1 vom Grundflächencentrum soll & gleich k sein.

Lösung. Unter Verwendung eines rechtwinkligen Coordinatensystems, dessen Z-Achse mit der Cylinderachse und dessen XY-Ebene mit der Körperbasis zusammenfällt, hat man:

Dies geht, wenn neue Veränderliche mittelst der Gleichungen Nr. 5 und 6 eingeführt, also cylindrische Coordinaten benutzt werden, über in

§ 31. Mittelwerthe einer Function von drei Veränderlichen. *)

A.
Allgemeines.

Es sei eine Veränderliche u von drei willkürlichen Veränderlichen x, y und z abhängig nach der Gleichung:

Dabei mögen für die Werthe von x, y und z bestimmte Spielräume vorgeschrieben sein, nämlich für x der Spielraum von xo bis x1, für y der von yo bis y1, für z der von zo bis 21, wobei die Gleichungen

Im Sinne der Geometrie aufgefasst, heisst das (unter Benutzung rechtwinkliger Coordinaten): Der für die drei unabhängigen

*) Man vergleiche § 29.

Veränderlichen x, y und z vorgeschriebene Spielraum ist ein allseitig begrenzter Körper, nämlich Co Do D1 C1 Go Ho H1 G1 der Fig. 56, wobei

ist und der Inhalt des Körpers mit V bezeichnet werden soll.

Es möge der für diesen Spielraum geltende Mittelwerth u der Grösse u, nämlich das arithmetische Mittel der unendlich vielen u-Werthe, welche zu allen innerhalb des Spielraumes liegenden Werthen von x, y und z gehören, durch ein bestimmtes dreifaches Integral ausgedrückt werden und zwar im Sinne Desjenigen, was im § 29 unter A behandelt wurde, also geometrisch auf

gefasst

unter Zerlegung in Parallelepipede (die den Rechtecken des 29 entsprechen). *)

Lösung. Wir denken uns (entsprechend § 29, A) den Spielraum Co Do Di C1 Go Ho H1 G1 durch Ebenen, welche den

*) Siehe die Anmerkung" auf Seite 131,

Coordinatenebenen parallel sind, in n gerade und rechtwinklige Parallelepipede von den Kantenlängen 4x, 4y und 4z derartig zerlegt, dass

6)

ist.

Nun lassen wir n ins Unendliche wachsen. Damit geht das Produkt 4x4y4z in dx dy dz über.

Zu jedem der unendlich vielen unendlich kleinen derartigen Produkte (Parallelepipede) gehört ein Werth von u. Das arithmetische Mittel aller u-Werthe ist bestimmt durch die Gleichung Σf (x, y, z)

7)

oder, wegen Nr. 6,

8)

μ

= Lim

μπ : Lim

wobei das Summenzeichen () selbstverständliche Bedeutung hat und die Summirung innerhalb der oben angegebenen Grenzen gemeint ist.

Nr. 8 giebt, zufolge des Begriffes des bestimmten dreifachen Integrals,

Beachtet man, dass das in Nr. 9 stehende dreifache Integral

1 V

ohne den Factor die Masse des Körpers Co Do Di C1 Go Ho H1 G1

bedeutet, wenn u, also f(x, y, z), als die (in dem allgemeinen Punkte xyz herrschende) Dichtigkeit aufgefasst wird, so ergiebt sich der Satz: Der durch die Gleichung 9 definirte Mittelwerth einer Function von drei Veränderlichen ist der mittleren Dichtigkeit des durch die vorliegenden Grenzen bestimmten Körpers Co Do Di C1 Go Ho H1 G1 gleich.

1

Es bedarf also zur Herleitung eines derartigen Mittelwerthes stets einer Massenberechnung (vergleiche § 30) und, wegen V, einer Cubatur.

B.
Beispiele.

Für die Anwendung der Gleichung 9 möge die Behand

lung folgender Aufgabe ein Beispiel sein: