ganges in geeigneten Zeitintervallen beobachtete und graphisch darstellte. Man gelangt zu dem betreffenden Näherungswerthe, indem man A'B' in eine hinreichend grosse gerade Anzahl gleicher 이 A' Fig.4. B B' Theile theilt, die zu den Theil punkten gehörigen Ordinaten zieht und dann die Linie AB so auffasst, als ob sie zwischen je drei im obigen Sinne neben einanderliegenden Punkten stets eine Gleichung von der Form Nr. 1 habe, also ein Parabelbogen sei. Reichen z. B. 8 gleiche Theile hin (was die Fig. 4 darstellt), so ist, näherungsweise, der Inhalt der Fläche A'AB B', wobei, wie vorher, h den Abstand der Ordinaten bedeutet und mit yo bis ys die Längen der letzteren bezeichnet sind. C. Lässt man an die Stelle der Curve Po P1 P2.... Pan (Fig. 3) eine gebrochene Gerade treten, setzt also die Fläche aus lauter Trapezen zusammen, so gilt für den Inhalt (näherungsweise) die Gleichung z. B. die Fläche A'AB B' der Fig. 4 anlangend: h 17) S2 = 2 Yo + Ys + 2 (yı + Y1⁄2 + ... +17)}. Die Gleichung Nr. 16 führt den Namen ,,Trapezformel". Sie wird in der angewandten Mathematik mindestens eben so oft benutzt, als die Simpson'sche Regel, ist aber meist ungenauer als letztere und dabei für das Zahlenrechnen nicht einfacher. D. Für die näherungsweise Berechnung des Inhaltes ebener Flächen und für die damit zusammenhängende Ableitung von Mittelwerthen sind ausser den unter A bis C behandelten Formeln noch andere in Gebrauch. Die Simpson'sche Regel ist jedoch (in Bezug auf Einfachheit und Genauigkeit) allen vorzuziehen, falls eine gerade Anzahl gleichbreiter Streifen benutzt werden kann. Ist Letzteres unzulässig, so verwendet man am besten die unter C besprochene Trapezformel. Näheres auch bezüglich der Fehlergrenzen der betreffenden Formeln findet man in der Abhandlung, welche Ax. Harnack diesen Gegenstand anlangend im 28. Bande des „Civilingenieurs" veröffentlicht hat, dadurch über eine grössere von P. Mansion herrührende Arbeit berichtend. - E. Das unter A bis C Vorausgehende möge zur Lösung folgender Aufgaben Benutzung finden: I. Um für eine anzugebende Geschwindigkeit v einen,,Mittelwerth" zu erhalten, mass man v in Abständen von je 3 Sekunden und erhielt, in Metern ausgedrückt, der Reihe nach die Werthe Es soll der Mittelwerth μ sowohl nach der II. Auf dieselbe Weise soll man den Inhalt V eines Ferner mögen die bei AD und so fort bis BC in gleichen Abständen vorhandenen inneren Durchmesser die in Metern ausgedrückten während das arithmetische Mittel der v den Betrag 1,818 hat. II. Bezüglich des zu berechnenden Volumens giebt der erste der genannten Sätze (indem man die Querschnittsinhalte als die y-Werthe ansieht): F. Zum Zwecke weiterer Ausnutzung des unter A bis D Stehenden, erwäge man: I. ob die entwickelten Gleichungen auch dann noch gelten, wenn die untere Begrenzung der betreffenden Fläche nicht mehr die X-Achse ist, sondern eine Curve, wie Po Pan in der Fig. 3, oder AB in Fig. 4; 2n II. in welcher Weise die Formeln 10-13 und 16 zur Berechnung von Näherungswerthen bestimmter Integrale dienen können; III. wie man sie für Schwerpunktsbestimmungen IV. ob und in welcher Art die wissenschaftliche Was Nr. II anlangt, so lassen sich mittelst der genannten Gleichungen sofort Näherungsformeln für angeben, weil das bestimmte Integral bekanntlich als Flächeninhalt aufgefasst werden kann (wobei die Stetigkeit der betreffenden Function gehörig zu berücksichtigen ist). Man sehe hierüber, wenn nöthig Weisbach, theoretische Mechanik, Seite 50 und 51 der 5. Auflage, wo auch ein Zahlenbeispiel, nämlich 2 dx X sich vorfindet. Der 127 desselben Werkes möge Verwendung finden, falls man bezüglich der unter Nr. III genannten Schwerpunktsermittelungen Belehrung braucht. Nr. IV anlangend empfiehlt sich die Benutzung von: Günther, Geophysik, Bd. 1, S. 293. § 6. Einschaltungsverfahren. (Interpolationen.) A. Bei Untersuchungen, welche den Naturwissenschaften, der Technik oder anderen Gebieten der angewandten Mathematik angehören, tritt oft der folgende Fall ein: Man kennt, von irgendwo her, etwa aus Beobachtungen, drei zusammengehörige Werthe xo und yo, x1 und 1, x2 und Y2 zweier veränderlichen Grössen x und y; man weiss ferner (oder man nimmt aus genügend guten Gründen an), dass in Bezug auf das unbekannte Gesetz nach welchem y von x abhängt, die allgemeine Form als geltend vorausgesetzt werden darf, wobei a, ẞ und unbekannte Coefficienten sind. (Vergleiche § 21 des I. Theiles dieses Werkes.) Im Sinne der analytischen Geometrie ausgedrückt, heisst Das (unter Benutzung eines rechtwinkligen Achsensystems): Die Lage dreier Punkte, Po, P1 und P2, siehe Fig. 6, ist gegeben, man kennt nämlich (bezogen auf irgend einen Ursprung A) die Coordinaten |