Czuber, geometrische Wahrscheinlichkeiten. ...; 1884. (Die Seiten 184-244 enthalten sehr viele Sätze und Aufgaben bezüglich geometrischer Mittelwerthe.)

§ 10. Mittlere Geschwindigkeiten.

A.

Ein Punkt möge eine im Allgemeinen krummlinige Bahn, von der (als eine Veränderliche aufzufassenden) Länge s, in der Zeit t durchlaufen. Seine Geschwindigkeit v soll hierbei veränderlich sein, nämlich entweder nach irgend einem bestimmten Gesetze abhängen von der verflossenen Zeit, oder nach einem anderen Gesetze von dem zurückgelegten Wege; es soll also v bekannt sein in der Form f(s), aber auch in der Form (t).

Denkt man sich dann die Bahnlänge s in n gleiche Theile, jeden von der Grösse 4s, getheilt und bezeichnet die an den Anfangspunkten dieser Theile mit V1, V2,.... Un, so ist die keit", welche welche μ, heissen möge, Gleichung

1)

herrschenden Geschwindigkeiten mittlere Geschwindignaturgemäss definirt durch die

nämlich als Grenzwerth des arithmetischen Mittels der sämmtlichen v.

Denkt man sich hingegen die zur Durchlaufung von s nöthig gewesene Zeit t in n gleiche Theile, jeden von der Grösse 4t, getheilt und nennt die an den Anfängen dieser Zeitabschnitte herrschenden Geschwindigkeiten v′1, v′2, . . . . V′n, so definirt die Gleichung v'1 + v2 +

2)

+vn

n

in natürlicher Weise die ,, mittlere Geschwindigkeit" (welche hier genannt worden ist).

Man leite nun

I. aus Nr. 1 und 2 Formeln ab, welche μs und μ durch

je ein bestimmtes Integral ausdrücken;

hierauf wende man

3)

II. diese Formeln an auf den freien Fall ohne Anfangsgeschwindigkeit; bestätige auch hierfür die Ergebnisse durch eine graphische Darstellung, zeichne nämlich die beiden Linien, welche die Fallgeschwindigkeit als Function der Zeit, bezüglich als Function des zurückgelegten Weges darstellen, beides für eine ganz bestimmte Zeit, etwa für t= 4 Sekunden.

wobei vorausgesetzt wird, dass v abhängig vom zurückgelegten Wege, mithin in der Form

Die Gleichungen 8 und 10 definiren die „, mittlere Geschwindigkeit", in derin der Mechanik allgemein

üblichen Weise *), nämlich als Höhe desjenigen Rechtecks, dessen Grundlinie die verflossene Zeit und dessen Inhalt gleich der Fläche derjenigen Geschwindigkeitscurve", deren Abscissen die Zeiten und deren Ordinaten die als Functionen der Zeit ausgedrückten Geschwindigkeiten sind.

Oder, was Dasselbe ist, es sagen die Gleichungen Nr. 8 und 10: die mittlere Geschwindigkeit ist diejenige Geschwindigkeit, welche vorhanden sein müsste, wenn der Weg s in der Laufzeit t gleichförmig (mit unveränderlicher Schnelle) zurückgelegt werden sollte. Die Fläche der vorgenannten Curve stellt nämlich bekanntlich den zurückgelegten Weg s dar. (Man vergleiche § 4, A.)

Hingegen geben die Gleichungen Nr. 4 und 6 die mittlere Geschwindigkeit u, als Höhe eines Rechtecks, dessen Grundlinie die Weglänge s und dessen Inhalt gleich der Fläche derjenigen Geschwindigkeitscurve, deren Abscissen die zurückgelegten Wege und deren Ordinaten die als Functionen des Weges ausgedrückten Geschwindigkeiten sind.

وو

Diese durch die Gleichungen Nr. 4 und 6 gegebene Begriffserklärung der mittleren Geschwindigkeit" hat vielleicht für die Mechanik keinen praktischen Werth, doch hat sie theoretisches Interesse.

II. Beim freien Falle (ohne Anfangsgeschwindigkeit) ist bekanntlich

Die eine „mittlere Geschwindigkeit" beträgt also zwei Drittel, die andere nur die Hälfte der Endgeschwindigkeit.

Graphische Darstellung (in der durch die Aufgabe

*) Man vergleiche: Schell, Theorie der Bewegung und der Kräfte; S. 107 der ersten, oder Bd. 1, S. 193 und 194 (§ 8) der zweiten Auflage.

verlangten Weise) giebt bei us als Geschwindigkeitslinie eine gemeine Parabel von der Gleichung Nr. 11; dabei

15)

wenn

16)

genommen wird, was bekanntlich für mittlere Breitengrade Europas Giltigkeit hat.

Für hingegen ist die Geschwindigkeitscurve eine durch den Coordinatenanfang gehende Gerade (Gleichung 12). Ferner ergiebt sich:

Diese Gleichung hat zur Anwendung zu kommen, wenn v als Function des Weges, also in der Form Nr. 5, gegeben ist, man aber nicht μs, sondern μt, haben will.

*) Es empfiehlt sich, die graphische Darstellung vollständig durchzuführen, indem man die beiden Geschwindigkeitslinien für den Zeitraum von 4 Sekunden in geeignetem Maassstabe aufzeichnet und alle Maasse einschreibt.

§ 11. Mittlere Reactionsgeschwindigkeiten chemischer Vorgänge.

A.

Es möge nun im Sinne des vorhergehenden Paragraphen die mittlere Geschwindigkeit eines chemischen Vorganges durch ein bestimmtes Integral ausgedrückt werden

1)

2)

I. unter der Voraussetzung, dass die dem betreffenden Vorgange eigenthümliche Geschwindigkeit v als Function der Zeit t, nämlich durch eine Gleichung von der Form

v = f (t)

bekannt sei, für die Zeit der Spielraum von to bis t1 vorliege und man das arithmetische Mittel aller derjenigen v-Werthe meint, welche zu den unendlich vielen von t = to bis t=t, liegenden Werthen der Zeit t gehören; II. unter der anderen Voraussetzung, dass man jene Geschwindigkeit als Function der bereits gebildeten Menge r des Reactionsproductes, also in der Form

v = 9 (r)

kenne, für den von ro bis r1 reichenden Spielraum den Mittelwerth von v meine und ihn definire als arithmetisches Mittel aller - Werthe, welche den unendlich vielen von r = ro bis r = r1 liegenden r- Werthen entsprechen. Die bei I sich ergebende mittlere Reactionsgeschwindigkeit möge μ heissen, während die bei II geltende μr genannt werden soll.

Man wende dann

III. die für μ und ur gefundenen Werthe auf denjenigen be

sonderen Fall an, welcher im § 14 des ersten Theiles dieses Werkes unter I behandelt worden ist, nämlich auf die Lösung von Calcium carbonat in Salzsäure.

Nachher benutze man die Ergebnisse, um für diesen besonderen Fall abzuleiten:

IV. die mittlere Reactionsgeschwindigkeit, m, bezüglich der ersten t Zeiteinheiten der Dauer des chemischen Vorganges, wie auch den entsprechenden Mittelwerth, mr,