Capitel I. EINFACHE INTEGRATIONEN. § 1. Einleitung. Für die nachfolgenden Anwendungen der einfachen Integration wird Dasjenige als bekannt vorausgesetzt, was die am meisten verbreiteten Lehrbücher der Infinitesimalrechnung bezüglich der Natur des Integrals und hinsichtlich der Ermittelung von Integralwerthen enthalten. Man sehe hierüber: Schlömilch, Compendium der höheren Analysis, Bd. 1, § 64-79 und § 89-91 der fünften Auflage; oder Stegemann, Grundriss der Differential- und Integralrechnung, § 1-40, 42-43, 45-51, 53, 60, 61 und 68 der vierten, von Kiepert herausgegebenen, Auflage des 2. Bandes; oder die entsprechenden Abschnitte anderer Lehrbücher derselben Art. Um zunächst die für die Herleitung von Integralwerthen geltenden Sätze an einigen Beispielen einzuüben, möge (unter den im Nachfolgenden genannten Voraussetzungen) berechnet werden Nr. I wird beispielsweise bei der Ableitung des zweiten Hauptsatzes der mechanischen Wärmetheorie gebraucht (man sehe etwa: Wüllner, Experimentalphysik, Bd. 3, S. 375 der 3. Auflage) und soll ermittelt werden unter der Voraussetzung, dass k grösser als 1 ist. Auf die Integrale II und III führt die Untersuchung chemischer Vorgänge zweiter und dritter Ordnung (§ 46, A, II, und § 47, A, III). Nr. IV kommt vor bei der Berechnung der Anziehung, welche eine Kugelfläche aufeinen Punkt ausübt*); dabei bedeutet a den Kugelhalbmesser und c, welches grösser als a vorausgesetzt wird, den Abstand des angezogenen Punktes vom Centrum, was bei der Behandelung von IV gehörig zu beachten ist. (Man vergleiche § 34, B.) Auf das fünfte Integral führt die Untersuchung des freien Falles, wenn sie mit Rücksicht auf die Veränderlichkeit der Schwere durchgeführt wird. Es soll J berechnet werden unter Erfüllung der Bedingung, dass für x=0 auch J0 ist. (§ 54.) Nr. VI kommt in der dynamischen Theorie der Gase bei der Bestimmung der mittleren Wegelänge der Gas moleküle vor; dabei sind N, e und a positive, constante Grössen. (Wüllner, Experimentalphysik, Bd. 1, S. 451 der 4. Auflage.) Berechnung der Integrale Nr. VII und VIII verlangt die *) Das „Vorkommen" (in den Naturwissenschaften) und die Literaturangaben sind hier, im Vorhergehenden und im Folgenden (bis VIII) immer beispielsweise gemeint. mechanische Theorie der Wärme. (Wüllner, Experimentalphysik, Bd. 3, S. 323, bezüglich 332 der 3. Auflage.) Lösung. I. Der für die Integration der Potenz geltende Satz liefert 4) al (A-x)+ẞl (B − x) + y l (C − x) αβγ α=B-C, BCA, y = A ~ B ist. (Vergl. § 47, A, III.) + Const., liefert, unter Beachtung ihrer aus dem Wortlaute der Aufgabe hervorgehenden geometrischen Bedeutung (§ 34, B): führt also einen Hilfswinkel ein, so ergiebt sich leicht: VI. Anwendung des für die Integration des Produktes geltenden Satzes liefert : *) Das Zeichen 7 bedeutet immer den natürlichen Logarithmus. Form VII. Das zu berechnende Integral hat im Wesentlichen die Anmerkung zu § 1. Weitere Beispiele für die Berechnung von Integralwerthen können dem Folgenden in grosser Anzahl entnommen werden, wenn die vorstehenden nicht ausreichend erscheinen. Zunächst bietet der 2 derartiges Material und ist in diesem Sinne aufzufassen. § 2. Bestimmte Integrale bei chemischen Vorgängen. A. *) Bei der Auflösung von Calcium carbonat in Salzsäure hängt (unter gewissen Voraussetzungen) die in der unendlich kleinen Zeit dt erzeugte Menge dy des entstehenden Chlorcalciums von der seit dem Beginne des Vorganges verflossenen Zeit t ab nach der Gleichung in welcher c, e, P und V constante, positive Grössen bedeuten **) Man leite aus Nr. 1 t1 I. durch bestimmte Integration her, wie viele Moleküle Chlorcalcium sich in dem von t0 bis t reichenden Zeitraume bilden. Sodann berechne man II. welche (vom Beginne des Vorganges an gezählte) Zeiten erforderlich sind zur Erzeugung von *) Man vergleiche § 45. (Chemische Vorgänge I. Ordnung.) **) Näheres: van't Hoff, Ansichten über die organ. Chemie, Th. I, S. 180. |