Chlorcalciummolekülen und wie jene Zeiten sich zu einander verhalten. Lösung. Die Anzahl der in dem genannten Zeitraume sich bildenden Chlorcalciummoleküle ist mithin 2) 2 ct dt, Wenn in der Raumeinheit q Moleküle Chlor auf q Moleküle eines substituirbaren Körpers wirken, so ist die in der unendlich kleinen Zeit dt gebildete Menge dy des Reactionsproductes von der seit Beginn der Einwirkung verflossenen Zeit t abhängig nach der Gleichung *) Siehe § 46. (Chemische Vorgänge II. Ordnung.) **) van't Hoff, Ansichten über die organ. Chemie, Th. II, S. 11. Es soll aus Nr. 7 abgeleitet werden I. wie viele Moleküle (y) in den ersten t1 Zeiteinheiten Molekülen des Reactions produktes bedarf und in welchem Während der ersten t1 Zeiteinheiten entstehen cq3 ti 1+ cqti Lösung. q erzeugt werden, so bedarf es hierzu 4 § 3. Flächeninhaltsberechnungen, welche sich auf das Bekanntlich ist das Mariotte'sche oder Boyle'sche Gesetz ausgedrückt durch die Gleichung in welcher v das Gasvolumen bei dem Drucke p, vo dasjenige bei dem Drucke Po (im Anfangszustande) bezeichnet. (Vergl. Th. I, § 25.) Es sollen die Flächeninhalte der Linien berechnet werden, welche jenes Gesetz geometrisch darstellen, wenn man die Veränderlichen entweder I. als Parallel coordinaten (p als x, v als y), oder II. als Polarcoordinaten (p als Anomalie, v als Leitstrahl,) auffasst. Im ersten Falle möge die Fläche begrenzt sein von derjenigen Ordinate, welche durch den Scheitel der betreffenden Curve geht, ferner von der allgemeinen Ordinate, von der Abscissenachse und von der Linie selbst; im zweiten Falle soll sie von dem Leitstrahle ab, der zu der Anomalie 0 1 gehört, bis zu dem allgemeinen Leitstrahle gemeint sein (und zwar als eine bis zum Pole reichende Sectorfläche). Für den letztgenannten Fall möge man angeben, wie sich der Inhalt als Dreieck construiren lässt. Lösung. I. Wird px, v=y und vo Poc2 gesetzt, so lautet das Mariotte'sche Gesetz: bedeutet mithin eine auf ihre Asymptoten bezogene Hyper bel. Für den gesuchten Flächeninhalt S hat man die wobei 2 α der von den Asymptoten eingeschlossene Winkel ist. Aus Nr. 3 folgt: 6) II. Fasst man die Gleichung Nr. 1 in der Form als die einer auf Polarcoordinaten bezogenen Linie auf, so stellt sie die bekannte hyperbolische Spirale dar. Letztere hat, was man sofort aus 6 entnehmen kann, eine asymptotische Gerade (welche im Abstande k der Polarachse parallel liegt) und einen asymptotischen Punkt (den Pol des Systems). Für die in der Aufgabe bezeichnete Sectorfläche gilt die. Gleichung *) Man unterlasse nicht, für I., wie auch für II., eine Figur in geeignetem Massstabe zu zeichnen. Ferner beachte man den Schluss satz des Abschnittes A im § 7. Der letzte Ausdruck ist sofort als Dreieck mit der Grundlinie k und der Höhe k r construirbar. § 4. Quadraturen, die Begriffe „Geschwindigkeit“ und „Beschleunigung betreffend. A. Die Geschwindigkeit v irgend einer geradlinigen Bewegung *) möge als Function der Zeit t gegeben sein, es möge also eine Gleichung von der Form Man soll (unter Benutzung des § 12 des I. Theiles dieses Buches) zeigen, auf welche Weise sich der zurückgelegte Weg s als Fläche einer Curve darstellen lässt, wenn die Veränderlichen t und v als rechtwinklige Coordinaten aufgefasst werden, und zwar t als Abscisse genommen wird, v als Ordinate Auch soll man angeben, wie das Ergebniss lautet, wenn die betreffende Bewegung der freie Fall ohne Anfangsgeschwindigkeit ist und wenn dabei der Zeitraum von t = to bis tt gemeint wird. 2) Lösung. Gemäss Theil I, S. 15, Gl. 3 ist *) Das hier Folgende gilt nicht nur für geradlinige Bewegungen, sondern auch (laut Th. I, S. 16 u. 17) für andere Vorgänge, z. B. chemische. Bei den Letzteren ist v vertreten durch die Reactionsgeschwindigkeit, s durch die Menge des bei dem Vorgange sich bildenden Stoffes. (Man vergleiche den § 2.) Es wird also der zurückgelegte Weg s geometrisch dargestellt durch den Flächeninhalt der in Fig. 1 zur Anschauung gebrachten Geschwindigkeitslinie, nämlich derjenigen Curve c, deren Ordinaten der Gleichung Nr. 1 genügen. Die Zeit und die Geschwindigkeit sind hierbei durch dieselbe Längeneinheit auszudrücken; dient als Zeiteinheit die Sekunde und wird die Geschwindigkeit in Metern gemeint, so hat man die Sekunde und das Meter durch eine und dieselbe Strecke darzustellen. Sind die Anfangszeit to und die Endzeit t1 der Bewegung vorgeschrieben, so ist der Flächeninhalt s ein bestimmter, nämlich (wenn OA'=to, OB't1) der von A'A bis B'B reichende, also A'ABB' (wobei durch A'A die Anfangsgeschwindigkeit vo, durch B'B die Endgeschwindigkeit v1 dargestellt wird). Sind jene Zeiten nicht vorgeschrieben, so ist der genannte Inhalt ein unbestimmter, reicht nämlich dann von der willkürlich wählbaren Anfangsordinate U'U bis zu der allgemeinen Ordinate PP. . Für den freien Fall (ohne Anfangsgeschwindigkeit) hat man bekanntlich |