ist gleich a; das Gewicht der Flächeneinheit constant. Man soll die Coordinaten, und des Schwerpunktes der Fläche Mo No N1 M1 berechnen, auch das Ergebniss auf denjenigen besonderen Fall anwenden, in welchem ein ganzer Quadrant der Umdrehungsfläche vorliegt. 1 Lösung. Das längs MN liegende gürtelförmige Flächenelement, dessen Schwerpunkt Q heissen möge, hat den Inhalt Dabei ist u= x. Die Werthe von v und w ergeben sich, wenn man den für die Schwerpunktslage des Kreisbogens geltenden Satz (welcher als bekannt vorausgesetzt werden darf, oder aus den unter B entwickelten Formeln folgt) zur Anwendung bringt. Es liefert das die Gleichungen Liegt ein ganzer Quadrant der Umdrehungsfläche vor, so hat man die Werthe: Anmerkung zu D, E und F Sehr einfache Beispiele für die Anwendung der Gleichungen Nr. 25-27, 31-35 und 41-48 ergeben sich, wenn für die in den Figuren 23, 24 und 25 vorkommenden Curven Ao Bo, A1 B1, No N1, M。 M1 gerade Linien, Parabelbögen oder Kreisbögen genommen werden, was hiermit zur näheren Durchführung empfohlen sein möge. Wer minder einfache Fälle zu behandeln wünscht, der benutze Fuhrmann, Aufgaben aus der analytischen Mechanik, Theil I, Seite 48-64 der zweiten Auflage (wo bezüglich des Schwerpunktes ebener Flächen auch auf die Verwendung von Polarcoordinaten Rücksicht genommen ist.) G. Das unter A bis F Vorausgegangene möge zum Abschlusse kommen, indem die Aufgabe gestellt wird, für zwei ungleichförmig dichte Körper die Schwerpunktslage zu berechnen. Der erste dieser Körper sei ein gerades dreiseitiges Prisma, dessen Grundfläche ein rechtwinkliges Dreieck ist. Die Kathetenlängen sollen a unde heissen; die Höhe des Körpers sei b. Von der Dichtigkeit möge vorausgesetzt werden, dass sie proportional dem Abstande von derjenigen Seitenfläche wachse, welche durch die Kanten b und c gebildet wird; ferner, dass für die Einheit dieses Abstandes der Dichtigkeitswerth gleich k sei. Der zweite jener Körper soll ein gerader Kreis cylinder von der Achsenlänge a und dem Grundflächenhalbmesser b sein. Die Dichtigkeit möge sich derartig ändern, dass das Gewicht der Volumeneinheit immer aus einem constanten (positiven) Theile k und aus einem veränderlichen besteht, welcher dem (senkrechten) Abstande von der Deckfläche des Cylinders proportional ist und für die Einheit dieses Abstandes den (positiven) Werth n hat. Lösung. Unter Benutzung von Schichten, deren Art wohl für beide Körper selbstverständlich ist, gelangt man zu folgenden Ergebnissen : Der Schwerpunkt des Prismas liegt in der Hälfte der Höhe, dabei von der bc-Seitenfläche uma, von der ab- Seitenfläche umc abstehend. Der Cylinderschwerpunkt, auf der Achse befindlich, hat von der Deckfläche die Entfernung 3 (na + 2k) Ist n, verglichen mit k, so klein, dass die den Faktor n führenden Glieder vernachlässigt werden dürfen, so hat den Näherungswertha; wenn hingegen n, verglichen mit k, so gross ist, dass man die k - Glieder unterdrücken darf, so gilt näherungsweise: [= {} a. § 19. Die Guldin'sche Regel. Der nach Guldin benannte Doppelsatz *) lautet bekanntlich: I. Falls die einfach gekrümmte (homogene) Linie AB (Fig. 21 auf Seite 68) sich um die in ihrer Ebene liegende Achse OX dreht, so beschreibt sie eine Rotationsfläche, deren Inhalt sich ergiebt, wenn man die Länge der Linie mit der Länge des von ihrem Schwerpunkte durchlaufenen Weges multiplicirt. *) Bezüglich der ersten Veröffentlichung desselben sehe man: Wolf, Handbuch der Mathematik, Physik, Geodäsie und Astronomie; Band 1 (vom Jahre 1870), Seite 241. II. Dreht sich die ebene (homogene) Fläche Ao A1 B1 Bo (Fig. 23 auf Seite 71) um die Achse OX, so ist das Volumen des hierdurch beschriebenen Rotationskörpers gleich dem Inhalte jener Fläche multiplicirt mit der Länge des Schwerpunktsweges derselben. Es soll dieser Doppelsatz unter Benutzung bestimmter einfacher Integrale für volle Umdrehungen abgeleitet werden; auch soll man angeben, ob er für beliebige Drehwinkel Giltigkeit hat. Lösung. I. Die Curve AB (Fig. 21) beschreibt bei einer vollen Umdrehung eine Rotationsfläche, deren Inhalt ist (wobei hier und im Folgenden diejenigen Bezeichnungen benutzt sind, welche im § 18 unter B Verwendung fanden). Andererseits ergiebt sich die Strecken, um welche der Curvenschwerpunkt von der Drehachse absteht, aus der Gleichung (welche mit Nr. 10 des § 18 übereinstimmt). also der in der Aufgabe unter I genannte Satz. II. Der von der Fläche Ao A, B1 Bo (Fig. 23) bei voller Umdrehung erzeugte Rotationskörper hat das Volumen wenn die im § 18 unter D benutzten Bezeichnungen Verwendung finden. Andererseits ist die Entfernung des Schwerpunktes von der Drehachse durch die Gleichung 26 des § 18 bestimmt. Letztere giebt mit Nr. 4: das ist der unter II in der Aufgabe ausgesprochene Satz. Die beiden für volle Umdrehungen gefundenen Sätze gelten offenbar auch für theilweise, da bei den letzteren die beschriebenen Flächen oder Volumina dem Drehwinkel proportional sind. (An die Stelle des in der vorausgegangenen Ableitung vor 1 kommenden Factors T würde л treten, wenn Drehungen vor n lägen, die nur den nten Theil von 360° betrügen.) Anmerkung. Es kann der Guldin'sche Doppelsatz auch ohne Integralrechnung abgeleitet werden. Darüber sehe man etwa : 1) Weisbach, Lehrbuch der theoretischen Mechanik; § 20. Anziehungen, verursacht durch Linien. (Vergl. § 34.) A. Ziehen sich zwei Punkte, welche die Massen m und m1 haben, nach dem Newton'schen Gesetze an, so ist die Wirkung, welche sie auf einander ausüben. Dabei bezeichnet u den Abstand der Punkte und k den Anziehungscoefficienten, nämlich diejenige Kraft, mit welcher die Masse 1 auf die Masse 1 in der Entfernung 1 anziehend wirkt. *) Die Gleichung Nr. 1 ist ein besonderer Fall der allgemeineren letztere sagt aus, dass die Anziehung proportional den Massen und irgend einer Function der Entfernung erfolgt. Geht von Linien, Flächen oder Körpern die betreffende Anziehung aus, so sind die Wirkungen von unendlich *) Man kann k als die Einheit der Anziehung auffassen, also k1 setzen, was aber hier und im Folgenden unterbleiben soll. |