quantitét, et l'on déterminerait par la condition que la distance des centres, calculée d'après ces nouveaux élémens, fût exactement égale, à la somme des demi-diamètres de la planète et du soleil, si l'on voulait considérer les contacts extérieurs; ou à leur différence, si l'on voulait considérer les contacts intérieurs. L'instant du premier contact est toujours extrêmement incertain, et l'on peut même dire qu'il est impossible de l'observer avec précision. Il faut que le soleil soit déjà sensiblement échancré avant que nous apercevions l'existence de l'éclipse.

Je ferai l'application de cette méthode au passage de Vénus observé le 3 juin 1769 dans le nœud descendant; et comme il ne s'agit ici que de donner un exemple de la méthode, j'adopterai les élémens déduits des tables, tels que Duséjour les a employés. Nous aurons ainsi, en mesures sexagésimales,

mouy, hor. géoc. de Vénus sur le ✪ en longit. mm'—237'',94 mouv. hor. géoc. de Vénus en latitude..........

'latitude géoc. de Vénus en conjonction....

demi-diamètre de Vénus....

n = 35,69
λ=+623',50

demi-diamètre du ...

Les mouvemens horaires ct la latitude sont affectés de l'aberration du soleil et de la planète, parce que ce sont les valeurs apparentes de ces élémens, tels qu'on les observe. Avec ces données, on trouve

More 8°. 31′. 47"

ou bien

a = 188°. 31'. 47".

La dernière valeur est seule admissible, puisque la planète descend vers son noeud. Maintenant, si l'on suppose

premier contact. extér. 1 =+ob,38437 — 3h,143404 —— 2b,45′, 32′′, 52 milieu de l'éclipse..... tob,38437

=+ oh,23′, 3′′, 73

dernier cont. extér.......... t=+ob,38437 + 3h,143404=+3h,31', 39'', 98 premier cont. intér.... t+oh,38.4372h,830036-ah, 26', 44, 40 dernier coat. intér.....+ob,38437+2,830036+3,12', 51,8G

en prenant les différences de ces résultats on en tire

cont. extér... demi - durée.. 3h,143404=3h, 8′, 36′′, 25 durée totale... 6h,286808 — CH, 17′, 12", 50

cont. intér... demi-durée... 2h,83c036—2h, 49′, 48′′, 13 durée totale... 5h,6600725, 39', 36", 26'

Différ, des cont. extér. et intér.... 3b, 143 404 — 2h,830036=18′,48′′,12, c'est le tems que le disque entier de Vénus emploie pour entrer sur le disque du soleil ou pour en sortir.

Ces résultats sont obtenus en supposant les mouvemens horaires. uniformes. Si l'on veut atteindre une plus grande précision, il faudra calculer directement, par les tables, les élémens géocentriques des deux astres pour les diverses époques que nous venons de déterminer; puis on procédera à une seconde approximation, comme nous l'avons dit tout-à-l'heure, et comme nous l'avons expliqué avec plus de détail encore, pag. 499 et 500 du troisième livre. Les nouvelles valeurs que l'on obtiendra de cette manière auront toute l'exactitude qu'il sera possible d'atteindre en se servant des tables astronomiques.

De quelque manière que l'on ait opéré, on connaîtra chacun des instans des contacts que l'on considère; et puisque l'on connaît aussi les mouvemens horaires, on pourra calculer pour ces mêmes instans la longitude l' du soleil, son mouvement horaire m', la longitude géocentrique 7 de la planète, sa latitude géocentrique λ, et ses mouvemens horaires géocentriques m et n en longitude et en latitude. Dans ce second calcul, nous employons les mêmes lettres que tout-à-l'heure ; mais leurs valeurs seront différentes. Maintenant si, pour le centre de la terre, le contact que nous con> sidérons arrive à l'instant T', ce même contact, pour un point quelconque de la surface terrestre, arrivera à un instant T'+' très-peu différent du premier, car la différence' sera de l'ordre des parallaxes. A cet instant, d'après les tables astronomiques, les coordonnées des deux astres vus du centre de la terre seront

l'+m't' pour le soleil, et l+mt''; λ+ni' pour la planète. Si l'on représente par x', x, y, les effets des erreurs des tables sur ces diverses coordonnées, les valeurs corrigées seront

Pour transporter ces valeurs à la surface terrestre, il suffit d'en retrancher les valeurs des parallaxes de longitude et de latitude calculées par les formules que nous avons rapportées pag. 6a du sccond livre, et 530 du troisième. Nous représenterons ces parallaxes par «', ♪', relativement au soleil, et par a ♪ relativement à la planète, de sorte que les coordonnées apparentes seront

Il semble qu'il faudrait encore substituer ces parallaxes dans les mouvemens horaires m', m, n. En effet, cela devrait être ainsi à la rigueur, car les mouvemens horaires ne peuvent pas être les mêmes pour le centre et pour la surface de la terre. La différence doit être de l'ordre des parallaxes. Mais on remarquera que ces mouvemens horaires ne servent que pendant le très-petit espace de tems ', qui est aussi de l'ordre des parallaxes. Or, à cause de l'extrême petitesse des quantités de cet ordre, on peut, sans craindre aucune erreur sensible, se borner à leur première puissance. Ainsi, dans les termes déjà multipliés par l', il suffira d'employer les mouvemens horaires calculés pour le centre de la terre. Alors les coordonnées apparentes des deux astres, vus d'un point quelconque de la surface, se réduisent aux expressions que nous venons de rapporter. Dans ces expressions, les parallaxes ■, ♪, a', d', varient avec le tems et avec la position de l'observateur sur la surface de la terre; mais les erreurs des tables x', x, y, peuvent être supposées constantes pendant toute la durée du passage.

Il faut également prévoir que l'on pourra se tromper de quelque chose en employant les demi - diamètres apparens tirés des tables. Supposons donc qu'il en résulte une erreur d sur la distance apparente des centres, à l'instant du contact que l'on observe, en sorte que la véritable distance soit ▲+ dau lieu de ▲ que nous avions d'abord adopté dans notre premier calcul.

Alors cette distance ▲+d pourra encore être regardée comme

l'hypothénuse d'un triangle rectiligne rectangle dont les côtés

seront

1-1'+(m-m') l'—( a—a') + x-x' et x+n'-(♪♪')+5,
ce qui donnera

{{ l—l'+(m—m') l'—a—a')+x—x'} 2+{a+nı'—(♪—♪')+y} '= (A+d)».
Cette équation déterminerait t', si les erreurs des tables et celles
des diamètres apparens étaient connues. Généralement elle exprime
une relation qui doit subsister entre ces diverses quantités. Il n'est
point nécessaire de résoudre cette équation rigoureusement ; il suffit
de se borner aux premières puissances des quantités qui dépendent
des parallaxes ou de l'erreur des tables et des diamètres. De plus,
il faut remarquer que l'on a

(2 — 2' )2 + x2 = A2,

puisque, par supposition, les quantités 1, l' et a, ont été détermi-
nées par les tables, de manière à ce que cette condition eût lieu. A
la vérité, cela suppose que les demi-diamètres apparens qui en-
trent dans ▲ sont sensiblement les mêmes à la surface de la terre
et à son centre; c'est en effet ce qui a lieu pour Vénus, Mercure et
le soleil, à cause de leur grand éloignement; et l'on s'en convain-
cra facilement, si l'on veut recourir à la formule par laquelle nous
avons calculé, dans le troisième livre, l'accroissement du diamètre
apparent de la lune à diverses hauteurs sur l'horizon. Cette for-
mule, appliquée à Vénus et au Soleil, ne donne que des corrections
tout-à-fait insensibles aux observations les plus exactes. Avec ces
restrictions, si l'on développe les carrés des polynomes que l'équa-
tion précédente reuferme, en se bornant aux premières puissances
des petites corrections, l'on aura

(l—l') { (m—m')ı'—(a—a′)+(x—x!)} +a {nl'—(♪—♪')+'y} = A. d,

d'où l'on tire

(2—1') {a—a'—(x—x') } +a {d—d'—y} +Ad

(l—l') (m—m') +an

Cette valeur doit être ajoutée à T'; ainsi T'+'est l'instant
du contact apparent vu de la surface.

Jusqu'ici nous avons compté le tems à partir de la conjonetion. Pour comparer les résultats du calcul à ceux de l'observation, il est plus commode et plus simple d'introduire dans nos formules le tems absolu. Pour cela, nommons T le tems absolu que l'on comptait sous le premier méridien, à Paris, par exemple, au moment où la conjonction apparente, calculée par les tables, avait lieu pour le centre de la terre. Supposons que M soit l'angle horaire du méridien de Paris avec celui où l'observation s'est faite, cet angle horaire étant exprimé en tems de même nature que T', et compté à partir du méridien supérieur d'occident en orient, comme nous l'avons toujours fait dans nos calculs. Alors, dans le lieu de l'observation, le tems absolu sera T-M à l'instant de la conjonction vue du centre de la terre, et par conséquent le tems absolu du contact apparent dans ce même lieu sera

T-M+T'+i.

Cette quantité est connue par les observations. En la nommant H', et mettant pour sa valeur, nous aurons

HT-M+T'+

(1—1') { «—x' —(x—x')} +a {♪—d'—y}+2nd

(l—l') (m—m') + a n

C'est une équation de condition entre les quantités observées et inconnues du problême.

Cette équation peut être mise sous une forme encore plus simple. Pour cela, il faut se reporter aux formules approchées des parallaxes de longitude et de latitude, que nous avons données dans le second Livre, pag. 62. Elles suffisent pour le cas actuel, puisque nous nous bornons à la première puissance des parallaxes. Or, en nommant L et A la longitude et la latitude du zénith, l'eta' la longitude et la latitude de l'astre, II sa parallaxe horizontale, nous avons trouvé alors

sin Aˆcos ¿1 —cos A sin a' cos (L-l'}

Pour appliquer ces corrections au soleil, il faut y faire a' nul; en général, leurs valenrs ne seront pas les mêmes pour le soleil et pour la planète. Elles différerout par la valeur numérique de la