que la valeur de r aura peu d'influence sur celle de N, lorsqua N-P sera fort petit, c'est-à-dire quand l'observation sera faite près du naud. De pareilles observations seront donc propres à déterminer le noud, et non pas la distance de la planète au soleil. Les plus favorables à cette dernière détermination sont celles où N-P diffère peu de l'angle droit. Donnons aussi la formule pour le cas où l'on voudrait combiner deux passages par les nœuds opposés ; ce qui, comine nous l'avons remarqué, ne pourrait être admis qu'en supposant l'orbite circulaire, ou au moins en la supposant telle que les distances de la planète au soleil soient égales dans ses deux noeuds. Nommant donc ces noeuds Net N', on aura pour le premier pour le second Rsin (PS) = r sin (N-P) Mais puisque ces noeuds sont opposés, N'N+ 200°. En élimi- R sin (P -S)=r sin (N−P) (1) et en opérant comme nous l'avons fait tout à l'heure, on en tire tang N = R sin P. sin (P'S') + R sin P' sin (P S) Rcos P sin (P1 — S' ) + R cos P' sin (PS) Comme les orbites planétaires ne sont pas très différentes d'un cercle, cette formule pourra encore être employée sans occasionner une grande erreur. Appliquons-la aux observations suivantes faites par Lacaille sur les passages de Mars dans ses deux nœuds, et rapportées dans son bel ouvrage intitulé Astronomia Fundamenta. Je les transcris en mesures sexagésimales. s. 6°. 15. 2000. o. 25,5 B.descend. 1747 14 mai 1o. 50. 43 1753 0. 27, 5 A. ascend. On voit que la latitude de Mars n'était pas tout-à-fait nulle. S nous avions la suite des observations de Lacaille, nous pourrions aisément trouver par interpolation l'instant où ce phénomène a dû arriver. Mais, faute de ce secours, nous remarquerons que ces latitudes, extrêmement petites, doivent répondre à des points trèspeu éloignés du nœud, et par conséquent auront peu d'influence sur le résultat. Maintenant si l'on calcule, par les tables astronomiques, les longitudes du soleil et les logarithmes de son rayon vecteur, qui correspondent à ces deux observations, on trouve pour 1747 pour 1753 Is. 230. 38. 20 log R 10,0050864 log R 9,9961542 Je retranche de cette dernière 6'. 16" pour ramener l'équinoxe au mois de mai 1747, à raison de 50",1 par année. Je retranche aussi cette même quantité de la seconde longitude observée de la planète, et j'ai ainsi les élémens suivans: En substituant ces nombres dans la formule, on trouve N 180° 47°. 47'. 45′′ ou bien N 47° 47′ 45′′ Car une même tangente peut répondre à deux arcs Net 1800+ N. La première valeur est celle qu'il faut adopter dans le cas actuel, parce que c'est la seule qui, substituée dans les équations (1), donner positive, comme nous l'avons supposé. La longitude du Hơnd où se trouvait la planète dans la première observation, était donc égale à cette valeur de NV, c'est-à-dire à 78, 179, 47′ 45′′. La direction du mouvement de la planète prouvait que c'était son nœud descendant, car elle allait alors en s'éloignant du pôle boréal de l'écliptique ; par conséquent l'autre racine, opposće à la précédente, est la longitude du noeud ascendant, qui se trouve ainsi de 47°. 47. 45" ou 18. 170. 47'. 45", à l'époque de ces observations. Lacaille trouvait 18. 170.374, 11, c'est-à-dire 10'. 34" de moins, en tenant compte, par le calcul, des petites latitudes de la planète dans ses deux passages; d'où il concluait sa distance au noeud. Mais nous aurions évité cette correction qui suppose déjà la connaissance approchée du mouvement de la planète, si nous avions la série des observations faites par Lacaille; car nous en aurions déduit la longitude géocentrique exacte de la planète à l'instant de son passage par le nœud. Au reste, la petite différence qui existe entre nos deux résultats n'est de nulle importance pour l'objet qui nous occupe, et l'on doit toujours conclure de cet exemple, que la position des nœuds des orbites peut se déterminer très-exactement par des observations géocentriques, sans le secours d'aucune supposition anticipée, Di } Si de la valeur de N 78. 170. 47′ 45" on retranche celle de P, on aura N-P110.32′. 25"; et en substituant cette valeur dans la première des équations (1), elle fera connoître, c'est-à-dire la distance de Mars au soleil à l'époque de son passage au nœud. Cette distance sera exprimée dans la même espèce d'unités que R ct R', c'est-à-dire en parties du demi - grand axe de l'orhe solaire. En faisant le calcul, on trouve Ce résultat n'est pas en erreur de 0,02. Nous ne pouvons toutefois le considérer que comme une approximation, parce que nous avons supposé les deux valeurs de régales dans les deux nœuds de Mars, et cette supposition n'est point exacte. Nous n'aurions pas eu cet inconvénient, si nous eussions pu employer deux passages de Mars par un même poud. Mais cet exemple suffira du moias pour montrer l'emploi de la méthode. CHAPITRE III. De la Nature des Orbites Planétaires. Lois de Képler. 20. La position du plan de l'orbite étant déterminée, iļ reste à trouver la loidu mouvement de la planète, et la figure de la courbe qu'elle décrit. Toutes ces choses seraient connues si l'on parvenait à assigner pour chaque instant la longueur du rayon vecteur mené de la planète au soleil, et l'angle formé par ce rayon avec une droite fixe menée dans le plan de l'orbite, et passant par le centre du soleil. C'est ainsi, par exemple, que dans la page 141 du second livre nous avons tracé d'après les observations, la figure de l'orbe solaire. 2 Le premier élément à déterminer, est la durée d'une révolution complète et sidérale de la planète autour du soleil. Pour y parvenir, le moyen le plus simple, le plus direct, est d'observer l'intervalle de tems qui s'écoule entre deux passages consécutifs de la planète par un même nœud. Comme le plan de l'écliptique se déplace peu-à-peu dans le ciel, suivant les lois que nous avons expliquées dans le second livre, il faudra tenir compte de ce déplacement dans l'intervalle des observations que l'on compare, c'est-à-dire qu'il faudra les réduire à une écliptique fixe; ce qui se fera par une simple interpolation, d'après la marche de la planète observée près de ses nœuds. Mais comme on doit s'attendre à rencontrer, dans le mouvement des planètes, des perturbations analogues à celles que nous avons déjà trouvées dans les mouvemens du soleil et de la lune, il faudra, pour en atténuer l'effet autant que possible, conclure leur mouvement moyen par des observations qui comprennent un grand nombre de révolutions, afin que les inégalités périodiques s'étant compensées plusieurs fois dans l'intervalle, ce qui en reste, dans le résultat définitif, devienne insensible, étant réparti sur un long intervalle de tems. C'est ainsi que nous avons opéré pour trouver, avec une grande approximation, la durée de l'année moyenne, indépen damment des inégalités périodiques du mouvement du soleil, Le mouvement moyen étant connu, il faut maintenant déduire des observations le mouvement angulaire de la planète autour du soleil, et les variations de sa distance à cet astre. Les conjonctions et les oppositions sont très-favorables pour cet objet. En effet, dans ces circonstances, le rayon vecteur mené de la terre à la planète, et celui qui lui est mené du centre du soleil, se projettent sur le plan de l'écliptique dans la même ligne droite TSM, fig. 3. Ainsi le point de l'écliptique auquel nous rapportons la planète, est le même que celui auquel on la rapporterait du centre du soleil, ou bien il lui est directement opposé. Dans ces deux cas, la longitude de la planète, vue du soleil ou héliocentrique, est donnée par l'observation de sa longitude vue de la terre ou geocentrique; car, dans les conjonctions, ces deux longitudes sont égales entr'elles; dans les oppositions elles different de deux angles droits; et comme la position de l'orbite sur le plan de l'écliptique est connue, ainsi que son nœud, par des opérations précédentes, un simple calcul trigonométrique détermine l'angle NSP, ou la distance de la planète au nœud, et le rapport de SP à TS, c'est-à-dire la distance de la planète au soleil exprimée en partie de la distance du soleil à la terre. Celle-ci est connue par ce qui précéde en parties du grand axe de l'orbe solaire; la |