Autre méthode pour déterminer la position du périhélie et l'excentricité de l'ellipse d'après les passages de la planète par ses nœuds.

Pour employer cette méthode, que j'ai annoncée dans la page 17, il faut d'abord faire abstraction du mouvement du périhélie sur l'orbite pendant une révolution et demie de la planète. Ce que cette Supposition peut avoir d'inexact, se corrige dans une seconde approximation.

Deux passages observés de la planète par un même nond font connaître sa révolution siderale, comme nous l'avons dit dans la page 26, et l'on en conclut le demi-grand axe de son orbite par la troisième loi de Képler, que les carrés des tems sont comme les cubes des moyennes distances au soleil.

Pendant une révolution et demie de la planète, elle passe deux fois par chacun de ses nœuds. D'après les observations de ces passages, on peut déterminer la distance de la planète au soleil pour chacune de ces deux positions qui sont opposées sur son orbite. On peut reconnaître aussi le mouvement du nœud, en supposant qu'il soit sensible, et en tenir compte pour réduire les observations à une même époque. Nous avons donné dans le premier chapitre une méthode très-simple pour cet objet.

On connaît alors sur l'ellipse de la planète deux rayons vecteurs qui sont opposés en ligne droite. On connaît, de plus, le grand axe de l'ellipse d'après la durée de la révolution sidérale ; ces données suffisent pour déterminer très-exactement la position du périhélie et l'excentricité.

En effet, soit a le demi-grand axe, ae l'excentricité, r le rayon vecteur de la planète, ou sa distance au soleil dans un instant quelconque, enfin v et la longitude de la planète et celle du périhélie, supposées l'une et l'autre réduites à l'orbite, l'équation générale de l'ellipse donnera pour un instant quelconque a (1 — e2)

r=

Si nous appliquens ces équation à l'un des noends, nous connaîtrons r et a,et i de restera d'inconnus que e et l'angle v−7.

Dans le passage de la planète par l'autre nœud, e et ≈ restent les mêmes; mais l'angle v augmente d'une demi-circonférence, parce que les deux nœuds sont opposes sur l'orbite : le cosinus de l'angle v—☛ ne fait donc que changer de signe. Ainsi, en nommant le rayon vecteur de la planète dans l'autre noeud, on au

aura

Ces deux équations suffisent pour déterminer e et cos (v). En effet, on en tire d'abord

En ajoutant ces équations, e cos(v) disparaît, et il reste

Voilà l'excentricité déterminée. On aura ensuite cos (v) par l'une ou l'autre des équations

J'appliquerai ces formules à Jupiter. Je suppose que l'on ait trouve par les observations

a=5,2027911

r5,1788884

rl5,202951

le demi-grand axe de l'orbe solaire étant pris pour unité. En substituant ces valeurs dans nos formules, on trouve

e=0,0481782; v-a870.1lol. on en grades, v-96-9812.

Ce sont précisément les valeurs assignées à ces quantités dans

1

A

notre tableau de la page 57. v- est l'angle formé par la distance périhélie avec le noeud ascendant de l'orbite, parce quer appartient au nœud ascendant. Pour avoir la longitude du périhélie sur l'écliptique, il faut encore calculer la projection de l'angle v— @ sur ce plan, d'après l'inclinaison de l'orbite qui doit être donnée par d'autres observations, mais dont les valeurs de e et de sont, comme on voit, indépendantes. Soit donc I cette inclinaison, et la projection de l'angle v sur l'écliptique, on aura

Quand sera connu on le retranchera de la longitude du noeud ascendant, que je suppose égale à N; et la différence N-sera la longitude du périhélie sur l'écliptique,

La méthode précédente suppose, à la vérité, que la position du périhélie est fixe dans l'orbite pendant une révolution et demie de la planète. Mais la lenteur des mouvemens de ces points est si grande dans notre systême planétaire, que l'erreur résultante de leur déplacement sera bieu peu sensible. Elle ne le serait même point du tout pour Mercure, Vénus et Mars. Mais elle le deviendrait davantage pour Jupiter et Saturne, qui ont des révolutions plus lente et un mouvement du périhélie plus considérable. L'erreur sur la longitude du périhélie ainsi calculée sera de 0°,0737 pour Jupiter, et de oo,3804 pour Saturne. On la corrigerait en déterminant de la même manière la position du périhélie à des époques éloignées. La différence de ces positious donnerait son mouvement séculaire; et, d'après ce mouvement, avec la valeur à-peu-près connue de l'excentricité, on calculerait les variations du rayon vecteur dans l'intervalle des observations Le calcul établi sur les données ainsi corrigées aurait toute l'exactitude possible.

On pourrait encore déterminer la position du périhélie, l'excentricité et même le grand axe, sans connaître autre chose qu'un passage de la planète dans chaque nœud. Mais la méthode en serait trop compliquée pour trouver place ici. On la déduit, comme la précédente, des équations du mouvement elliptique ; mais il faut faire usage de l'équation transcendante entre le rayon vecteur et le

Lems.

CHAPITRE IV.

Manière de prévoir les retours des Planètes à une même situation par rapport au Soleil.

30. QUAND on veut faire quelques observations sur le mouvement des planètes, on a souvent besoin de connaître le tems qu'elles emploieront à revenir à la même position, par rapport au soleil; c'est ce que l'on nomme la révolution synodique.

On peut aisément la déduire des résultats précédens : il suffit pour cela de s'appuyer sur le fait général, que toutes les planètes connues font leurs révolutions dans le même sens, et d'occident en orient, comme le soleil ; conformité qui est un des phénomènes les plus remarquables du systême du monde.

En effet, soit que la terre tourne autour du soleil, ou le soleil autour de la terre, si nous nous supposons transportés au centre de cet astre, nous nous croirons immobiles ; la terre et toutes les planètes sembleront tourner autour de dans le même sens, et la quantité dont elles s'éloigneront les unes des autres dans un tems donné, dépendra de la différence de leurs mouvemens.

nous,

Par conséquent, si, du mouvement diurne de la terre, on retranche le mouvement diurne d'une planète, la différence exprimera la quantité dont la terre et la planète, vues du soleil, s'écarteront l'une de l'autre après l'intervalle d'un jour; et, en supposant leur mouvement uniforme, on en déduira, par une simple proportion, le nombre de jours nécessaire pour qu'elles s'éloignent l'une de l'autre de 400°,

c'est-à-dire, pour qu'elles reviennent autour du soleil à la même position relative: c'est le tems de la révolution synodique de la planète.

Par exemple, le mouvement diurne de Mercure est de 45470", 85; celui de la terre ou du soleil est de 10951",6; la différence est 34519", 25; c'est la quantité dont Mercure et la terre, vus du soleil, s'éloignent l'un de l'autre dans l'intervalle d'un jour; ainsi, pour qu'ils s'écartent l'un de l'autre de 400°, il faudra un nombre de jours représenté 400°

par 34519′′,250u 1151,877373 : c'est le temps de la révo

lution synodique de mercure.

La supposition du mouvement de la terre, que nous venons d'employer, n'avait pour but que de simplifier les considérations, en les rendant uniformes. Il est visible qu'elle ne peut avoir aucune influence sur le résultat définitif déduit des observations, puisque ces observations ne peuvent pas nous apprendre si c'est réellement le soleil ou la terre qui tourne. A mesure que les faits s'accumulent, nous avons des occasions de plus en plus fréquentes, remarquer la simplicité que l'hypothèse du mouvement de la terre introduit dans toutes les recherches astronomiques.

de

31. En comparant le moyen mouvement des planètes au moyen mouvement du soleil, on peut calculer les périodes des tems après lesquelles ces astres doivent se retrouver dans le même point de leur orbite, et dans les mêmes situations, par rapport à la terre. Ces périodes different de la révolution synodique qui ramène seulement la planète à la même distance angulaire du soleil. Il est utila de les connaître, parce qu'aux époques qu'elles indiquent, l'heure du lever et du coucher du soleil et de la planète, celles de leurs passages au méridien, et toutes les inégalités qui affectent leur marche, se retrouvent à très-peu près les