(II)...;= 37. Pour achever de la ramener à la forme polaire, il faut substituer aux angles H, au centre du cadran horisontal, leur valeur en fonction des angles au centre du vertical déclinant; angles que nous avons déja nommés U. Or cela est très-facile, car nous avons trouvé tout-à-l'heure, page 81, en développant le dénominateur du second membre, on tang H= tang U COS a sin cos atang Usina sin a Au moyen de cette valeur, on peut chasser l'angle H de l'expression de p; la quantité qui est sous le radical au numérateur devient un carré parfait, et toutes réductions faites, on arrive ainsi à z' cosU [sinλ+ cos › sin & tang Utang ♪ sin2 (cotλ — tang Usin a)2 + tang1 U cos1×] α Les formules (1) et (II) sont générales, à l'égard des 38. Dans le tems des équinoxes, est nul, et la ligne décrite sur le cadran déclinant, par l'extrémité de l'ombre, a pour équation et en nom ce même jour à midi, on aura U≤0, mant la première équation se simplifie en introduisant un angle auxiliaire c, tel qu'on ait sin λ= sin cos à tang c, car en faisant usage de cette transformation, on trouve p' cos c sin a P cos a sin a sin (c + U) p' sin c C'est l'équation polaire d'une ligne droite, qui coupe. la méridienne du cadran à une distance g de l'origine, et qui fait avec elle un angle c. En effet, soit Ee cette ligne, fig. 15, et AM la ligne de midi, menons une ligne horaire quelconque AN=g, et faisons AM=p'; l'angle MAN sera U, et si l'angle AMN e la proportion des sinus aux côtés opposés dans ce triangle MAN, donnera sin c = sin (c+U) c'est l'équation proposée elle-même. 39. En employant ici la transformation du n°. 27, on serait parvenu à la connaissance de l'angle e d'une manière plus naturelle, mais le calcul eût été un peu plus long. à cause 40. La complication que l'on ne peut éviter dans l'expres sion générale de g, rend les courbes diurnes assez difficiles à décrire sur le cadran déclinant; mais la seule partie de leur cours, à laquelle on s'intéresse, a peu d'étendue et contient le point de midi qu'on trouve aisément. La principale utilité de ces courbes est en effet de déterminer le point où l'ombre doit se trouver chaque jour à midi moyen, et pour cela il suffit de connaître le point où la ligne horaire les coupe à cet instant. Mais, du peu d'irrégularité de la marche du soleil, ces intersections, qui forment la méridienne du tems moyen, ne peuvent avoir lieu qu'à 16′16′′ au plus de distance du midi solaire; en sorte que deux lignes marquant 12h-16′ et 12h+16 sur le cadran, comprennent entre elles tout ce qu'il est nécessaire de connaître des courbes diurnes, la construction de la méridienne du tems moyen. pour Supposons que, pour une déclinaison donnée, on ait déterminé la position et la longueur de ces lignes représentées par All', Ah' (fig. 16), on aura alors deux points de la courbe diurne. Or, on peut encore, presque sans calcul, déterminer un autre point de ces courbes; c'est celui qui répond à la ligne de midi vrai; car alors on a U—o, et en représentant par la valeur particulière de g pour cet instant, il vient z' cos d sin (a) on aura donc ainsi trois points appartenant à la courbe de ce. jour; et les lignes droites qui les joindront représenteront à-peu-près l'arc cherché. Tout se réduit ainsi à déterminer la longueur d'ombre qui convient à chaque déclinaison différente, 16' avant et 16' après midi solaire. Le jour de l'équinoxe où le soleil est en S dans l'équateur, on sait déja que la longueur de l'ombre AD pour alors l'angle AAD (fig. 16) est droit. Il devient donc facile de calculer l'angle A'AD, que j'appellerai Q: car dans le triangle A'AD on aura Quand on connaîtra ainsi l'angle Q, formé par l'axe du cadran avec la ligne horaire pour laquelle on calcule, cela servira pour trouver la longueur de cette ligne à toute autre époque de l'année ; car selon que le soleil se trouvera en S' ou en S", au nord ou au sud de l'équateur, on aura AA'II' = 90° ±d, et par conséquent la longueur de l'ombre sera z' cos d cos (+) En supposant que l'on donne à toutes les valeurs positives et négatives dont la déclinaison est susceptible. 41. La construction d'une méridienne du tems moyen, exige une suite de calculs qui paraît assez longue pour qu'il ne soit pas inutile d'en placer ici la récapitulation. Pour trouver le point de la méridienne du tems moyen, qui répond à une déclinaison donnée ♪ : 1o. On commencera par chercher les deux lignes horaires 'AD et Ad qui répondent à 12—16′ et à 121+16′, et qui serviront à la détermination de tous les autres points: pour cela, on réduira 16' en degrés sexagésimaux, en multi pliant par 15, ce qui donne 4 degrés à mettre pour E dans trouvée n°. 33, donnera les deux angles formés par les lignes horaires cherchées à droite et à gauche de la ligne de midi. Il faut prendre H positif avant midi et négatif après. Pour a, il conserve toujours son même signe, et il exprime l'angle que la moitié orientale du cadran forme avec le premier vertical; cet angle étant compté de l'est vers le sud et de o à 360°. 2". Ces deux lignes étant tracées indéfinies sur le cadran, on cherchera l'angle Q qu'elles forment avec l'axe. Cet angle sera donné par la formule 3o. On marquera, sur chacune de ces mêmes lignes, la longueur d'ombre Aq' ou Aq" qui convient à la déclinaison donnée. Cela se fera par le moyen de la formule trouvée n°. 40. z' cos d cos (+) 4°. On cherchera ensuite la longueur de l'ombre, à midi solaire, au moyen de la formule z' cos d sin (d)' |