COS A — cos (H+ 0) = 2 cos (A+H+0) cos (H+ 0 −▲),

Cette dernière formule est de Bordu; elle est analogue à celle qui sert à calculer l'azimuth du soleil, au moyen de la hauteur. Les quantités que l'on cherche pour en conclure le relèvement astronomique d'un objet quelconque, pourront donc être obtenues, la plupart du tems, par deux calculs à-peu-près semblables.

NOTE VII.

Principes de la construction des tables destinées à trouver la correction de la plus petite des deux hauteurs prises hors du méridien, pour obtenir la latitude.

SOIT A l'azimuth, L la latitude et H la hauteur du soleil. Si JH est le changement en hauteur correspondant à une petite différence L dans la latitude, on a, par les règles connues,

♪H = Ţ♪L.cos A; le signe moins quand le soleil passe au méridien du côté du pôle abaissé, et le signe plus quand il y passe du côté du pôle élevé. En effet, dans le premier cas, fig. 1, l'angle A est plus grand que 90°, et son cosinus est négatif; dans le second cas, fig. 2, l'angle A est plus petit que 90°, et son cosinus est positif. A présent, si l'on considère l'effet que le changement en latitude doit produire sur la hauteur méridienne, on verra que l'erreur des hauteurs, lorsque le soleil est hors du méridien, a lieu dans le même sens que celle de la hauteur méridienne; dès lors, si l'on compte l'azimuth ▲ à partir du côté où le soleil passe au méridien, on aura toujours ♪H = diff. haut. mérid. x cos A. Lorsque le changement en latitude tend à augmenter la hauteur méridienne, il faut ajouter ♪H à la hauteur observée, et le retrancher dans le cas contraire. Si A est plus grand que 90°, cos A devient négatif; alors ♪H doit être employé avec un signe différent de celui de la variation de la hauteur méridienne. On peut faire disparaître cette dernière distinction de cas, en employant au lieu de cos A sa valeur 1- sin ver. A, et l'on aura H = diff. haut. mérid. — diff. haut. mérid. X sin ver. A. Toutes les fois que A sera plus petit que 90°, sin ver. A sera plus petit que l'unité, et la correction sera positive. Lorsque A sera plus grand que 90°, sin ver. A sera aussi plus grand que l'unité, et la correction sera négative. Les tables XII et XIII sont destinées à calculer le sinus verse de A, en supposant que cet angle, comme on vient de le dire, est compté à partir du côté où le soleil passe au méridien.

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Au lieu de la distance polaire dont nous avons fait usage jusqu'à présent, employons la déclinaison du soleil, et nommons d cet élément. Le triangle PZS, fig. 1

nous donne

Lorsque la déclinaison est de différente dénomination que la latitude, sin d change de signe; on aura donc généralement

Le signe supérieur quand la déclinaison est de même dénomination que la latitude, et le signe inférieur quand elle est de dénomination différente.

La page de la table XII, qui est à gauche, contient le premier cos (LH)

terme

; il faut le chercher avec la latitude Let

cos L.cos H la hauteur H. La seconde page de la droite contient, sous le nom d'argument, la valeur du dénominateur cos L.cos H; et c'est avec dans la table XIII, cet argument et la déclinaison que l'on trouve,

le second terme

sin d

cos L.cos II

L'angle A que l'on obtiendrait par le calcul de la formule précédente, serait compté à partir du pôle élevé; mais d'après ce • qui vient d'être dit, il est nécessaire d'obtenir l'azimuth compté, dans tous les cas, à partir du côté où le soleil passe au méridien, qui est tantôt celui du pôle élevé et tantôt celui du pôle abaissé ; on y est parvenu de la manière suivante :

Si la déclinaison et la latitude sont de même dénomination, et que la déclinaison soit plus grande que la latitude, le soleil passe au méridien du côté du pôle élevé; alors on a

sin ver. A P — S.

Lorsqu'on aura trouvé P et S par les règles de l'art. 40, il faudra retrancher le second terme du premier.

Dans le cas où la latitude est plus grande que la déclinaison, le soleil passe au méridien du côté du pôle abaissé, et le sinus verse de l'azimuth, compté à partir de ce pôle, est 2 aura donc

sin ver.

.A; on

Il faudra retrancher le premier terme du second, augmenté de deux unités, ainsi que nous l'avons recommandé.

Lorsque la déclinaison est de différente dénomination que la latitude, le soleil passe au méridien du côté du pôle abaissé, et l'on a

Dans la seconde partie de la table XIII, où la déclinaison doit être de différente espèce que la latitude, on a écrit 2 S au lieu de S; par ce moyen, il faut retrancher le premier terme du second, mais il n'est pas nécessaire d'augmenter le second terme de deux unités.

Ce que nous avons appelé le multiplicateur du chemin fait en latitude, est donc le sinus verse de l'azimuth du soleil compté à partir du côté du passage du méridien on trouvera dans la table XIV, l'arc qui lui correspond.

Les tables XII et XIII peuvent aussi servir à corriger les hauteurs observées en même tems que la distance apparente de la lune au soleil ou à une étoile, dans le cas où l'on voudrait obtenir la distance reduite de ces deux astres, dans l'hypothèse que la terre est un sphéro de applati vers les pôles. En effet, d'après ce qui a été dit art. 122, il suffit de calculer les hauteurs avec la latitude du lieu de l'observation de distance, diminuéc de l'angle à la verticale. Dès lors, si les hauteurs ont été obtenues directement par l'observation,

il faut y ajouter ou en retrancher les quantités dont elles auraient dû être plus grandes ou plus petites, en vertu d'une diminution dans la latitude, qui serait égale à l'angle à la verticale. Afin de rendre uniforme l'usage des tables XII et XIII, il sera nécessaire de considérer si une diminution dans la latitude du lieu des observations de distances, tend à augmenter ou à rendre plus petite la hauteur méridienne de l'astre dont on veut corriger la hauteur. Ensuite, on opérera, relativement à l'anglè à la verticale, absolument de la même manière que nous avons recommandé de le faire à l'égard du changement en latitude qui a eu lieu entre les observations de hauteurs prises hors du méridien pour obtenir la latitude. On obtiendra, dans ce cas, des hauteurs corrigées, qui procureront la distance vraie des deux astres, dans l'hypothèse que la terre est un sphéroïde applati vers les pôles.

NOTE VIII.

Moyens de calculer l'inclinaison du rayon visuel qui va aboutir au pied d'une côte par laquelle l'horison se trouve borné.

SOIT AO une portion de la surface du globe, et le point du rivage qui borne l'horison dans le vertical d'un astre quelconque. Si du point B, qui est élevé d'une quantité égale à BO, on observe la hauteur de cet astre, et qu'on fasse coïncider son image réfléchie avec le point A, l'inclinaison du rayon visuel BA, qu'il s'agit de trouver, sera égale à l'angle LBA, que ce rayou visuel fait avec La ligne horisontale LB. Lorsque la distance AB, ou l'arc 40, sont inconnus, il faut se procurer l'angle LBA de la manière suivante. Tandis qu'un observateur mesure la hauteur de l'astre étant au point B, un autre observateur observera la même hauteur d'un autre point b, beaucoup plus élevé que le point B ; la différence des deux hauteurs b0 et BO, ainsi que celle des deux angles observés, serviront à trouver l'angle LBA.