2o. Het zwaartepunt der lading valt zamen met het zwaartepunt van M.

3o. In ieder punt hebben de traagheidsellipsoïden van de lading en van M dezelfde hoofdassen.

4o. Zoo de traagheidsmomenten van de massa M ten opzichte van drie willekeurige rechthoekige assen A', B', C' en van de lading ten opzichte der zelfde assen A, B, C zijn, dan is

A-AB-B'-C-C'.

De eerste eigenschap is bekend, evenals de eigenschappen in § 4, welke laatste voor THOMSON) gevonden werden. De tweede eigenschap werd door LIOUVILLE ontdekt en de 2o en 3° door THOMSON †), nl. voor het bijzonder geval, dat S een evenwichtsoppervlak is der massa M en over S eene evenwichtslading uitgebreid wordt.

Voor een willekeurig oppervlak zijn zij hier, naar ik meen, voor het eerst afgeleid. Bij de afleiding is ondersteld, dat de massa M continu verdeeld is binnen de geheele ruimte door S' ingesloten. Volledigheidshalve wordt in de volgende paragraaf aangetoond, dat geheel hetzelfde geldt, zoo de massa M opgehoopt mocht zijn in materieele punten of over het oppervlak S′ verdeeld is.

u

§ 7. In de beide gevallen, hierboven genoemd, komt het er slechts op aan de vergelijking 6) of 7) af te leiden, waaruit de eigenschappen 1 tot 4 onmiddellijk volgen. Zij de potentiaal van de massa, over S' verdeeld, in punten buiten S' V' en in punten binnen S' V';, dan moet de potentiaal der lading over S in punten buiten S V' zijn, en stellen wij die potentiaal binnen S V1, dan kunnen wij de stelling van GREEN 3) toepassen voor de ruimte tusschen S en S' en heeft men, zoo U een P, functie is voor het oppervlak S en VV', genomen wordt,

u

*) Proceedings of the Royal Society of Edinburgh 1863/64 pag. 190 of in THOMSON und TAIT. Handbuch etc. No. 534-535.

†) Cambridge and Dublin Mathematical Journal 1846.

THOMSON. Reprint of papers on Electrostatics and Magnetism. 1872. pag. 108.

Neemt men verder weer UP, en VV, dan geldt voor S

Daar aan het oppervlak S de functiën V.' en V, dezelfde waarde hebben, vindt men uit 8) en 9)

Eindelijk volgt uit 3) zoo nog eens UP; en V=V¦ geno

men wordt voor het oppervlak S'

Is in do de dichtheid en in do' evenzoo g', dan geldt dus

waardoor dus ook voor dit geval de vergelijking bewezen is. Zijn in punten P, massa's u, opgehoopt, dan is de potentiaal

van die lading in een punt buiten of op S=

E

Zoo E den af

stand voorstelt van dat punt tot P. De potentiaal van de lading

Zoo P, de waarde voorstelt der functie P, in het punt P. Hier

Zij verder de potentiaal van de lading over S in punten binnen

Dat deze vergelijking ook onmiddellijk uit de bekende vergelijking 12) van het vorige hoofdstuk kon opgeschreven worden, valt in het oog.

§ 8. Zoo over het oppervlak S eene lading uitgebreid is, die in alle punten binnen en op S equipotentiaal is met eene massa M buiten S gelegen, dan zal men door de stelling van GREEN toe te passen voor de ruimte buiten S, vergelijkingen vinden, overeenkomstig met die in 6) en 7) afgeleid, en wel

Neemt men hierin P, gelijk C (constante), dan is P1 =CII en

en overeenkomstige betrekkingen uit 12) en 13). Hieruit blijkt,

dat de eigenschap aan het slot van § 5 gevonden voor de grootte der massa eener centrobarische lading ook een bijzonder geval is van eene algemeene eigenschap.

De betrekkingen 6), 12), 13) en de overeenkomstige, hierboven genoemde, zijn geheel algemeene vergelijkingen, die men verkrijgt, ZOO eene willekeurige massa over eene oppervlakte S op de bekende wijze verdeeld wordt; de vergelijkingen

√' =

en V.=[Vede

zijn te beschouwen als bijzondere gevallen daarvan, die verkregen worden bij de verdeeling over S van eene massa 1 in één punt gedacht.

DERDE HOOFDSTUK.

DE FUNCTIE VAN GREEN VOOR HET OPPERVLAK VAN EEN BOL

EN VAN EEN PARALLELOPIPEDUM.

TOEPASSINGEN.

=

§ 1. Is een oppervlak S een evenwichts-oppervlak voor twee massa's M, en M, en wel M, binnen S gelegen en M, buiten S, dan kan men zoo M, +1 is, op de wijze, zooals in het vorige hoofdstuk is aangegeven, onmiddellijk de functie G1 voor dat oppervlak berekenen bij het punt, waarin de massa + 1 ligt als vast punt of attractie-centrum.

Ten einde echter de functie G te kennen bij een willekeurig punt als attractie-centrum, is het noodig, dat S kan beschouwd worden als een oppervlak van constante potentiaal voor eene massa +1, waar ook binnen dat oppervlak geplaatst, en eene bekende massa M2 buiten dat oppervlak. Slechts twee oppervlakken zijn bekend, die aan deze voorwaarde voldoen, en wel het oppervlak van een bol en dat van een rechthoekig parallelopipedum.

2

u

Zoo van de beide massa's M, en M2, waarvan S een evenwichtsoppervlak gedacht wordt, M2+1 is, dan is de functie G1 voor S onmiddellijk te berekenen, behoorende bij het punt, waarin M, ligt als vast punt. Slechts is het in dit geval nog noodig, om G. geheel te kennen, dat S een evenwichts-oppervlak van potentiaal nul is, of dat de potentiaal van de evenwichtslading van S eene bekende grootheid is. Ook hierbij geldt hetzelfde als zooeven is opgemerkt; ten einde G, algemeen te kunnen berekenen, dat wil