In het algemeen zullen de coördinaten §, 7, 5 van een der beeldpunten voorgesteld worden door

massa in een punt P1 (xyz) binnen het parallelopipedum zal zijn

ZOO

1)m VN

N=(ma+(-1)" x' — x)2 + (y' — y)2 + (z' — z)2

is, en wordt dus nul voor m gelijk∞.

De beide vlakken A en A' zijn derhalve evenwichts-vlakken van potentiaal nul voor al de geconstrueerde massa's, of voor ieder punt P, (xyz) op A of A' heeft men

Construeert men thans op dezelfde wijze van al de verkregen punten de beeldpunten in de vlakken B en B' dan zullen de vlakken A en A' nog evenwichtsvlakken van potentiaal nul blijven en de vlakken B en B' eveneens dergelijke evenwichtsvlakken zijn voor de massa's thans door de ruimte verdeeld. De coördinaten van een der beeldpunten zijn nu

§ = ma + (− 1)"x' =nb+(-1)0y' = z'

દ

en de massa in dat punt is (-1)+". Voor ieder punt van A, A', B en B' geldt thans

·

m+n

0

VN

N(ma+(-1)m x' - x)2 + (nb + (-1)" y' — y)2 + (z' — z)2. Worden ten slotte de beeldpunten van al de materiëele punten in de vlakken C en C' geconstrueerd, dan vindt men dat de zes vlakken, die het parallelopipedum begrenzen, evenwichtsvlakken van potentiaal nul zijn voor alle thans verkregen massa's, in de geconstrueerde punten gelegen. Als coördinaten van een der punten heeft men § = ma + ( − 1 )" x' = nb + (— 1)" y' ¿ ŋ=nb+(−1)" y' = pc + (− 1)o z' en in dat punt bevindt

Alle waarden van

zich eene massa

tot kunnen aan m, n en p toege

kend worden. Voor ieder punt P, (xyz) op een der vlakken van S gelegen, weet men

0

waarin

N=(ma+(-1)TM x' — x)2 + (nb + (− 1)" y' — y)2 +
+(pc+(-1) 3 z' — z)3.

р

Volgens pag. 24 is de gevraagde functie G. de potentiaal der massa's buiten S gelegen in een punt P¡ (xyz) binnen S, met het omgekeerde teeken genomen, en zij E, weer de afstand van P, tot A1, dan is volgens § 11 van het 1 Hoofdstuk

Daar binnen S slechts de massa +1 in het punt A¡ ligt, is derhalve G. de potentiaal van al de massa's binnen en buiten S in P, of

De gevonden uitdrukking voor G, wordt gewoonlijk op de volgende wijze herleid. Volgens bekende eigenschap is

Neemt men nu s Nt en beschouwt t als nieuwe variabele, dan is

de termen met even waarden van m samen en eveneens die met oneven waarden, dan is

Deze oneindig voortloopende reeksen kan men door 9 functiën uitdrukken. Volgens definitie is

*) BERTRAND. Calcul intégral. § 301.

†) SCHLÖMILCH. Compendium der höheren Analysis. II Band. pag. 446.

Evenzoo vindt men voor de beide andere reeksen in 17.)
B = e− (y' − y) 1t 93(2bi (y — y') t)

met 3c t.
୧

Ten slotte heeft dus G, den volgenden, zeer samengestelden vorm e-('-x)11 (2ai (x — x') t)

t

2t

- e (a — x' — x) 1t 93 (2ai (x + x' — a) t) e--y)1t 93(2bi (y — y') t)

· e − (b − yı− y)2t 93(2bi (y + y' — b) t) e-(-1)1t 93(2ci (z — z') t)

е

(z3 —

t

-e-(--) 93(2ci (z + z' — b) t)

VIERDE HOOFDSTUK.

i

u

ALGEMEENE VORM VAN V1 EN V1 FUNCTIËN BIJ EEN BOL EN BIJ EENE ROTATIE-ELLIPSOÏDE. TOEPASSING OP DE

FUNCTIE VAN GREEN.

§ 1. Het bepalen der functie van GREEN is, zooals in het eerste hoofdstuk bleek, slechts een bijzonder geval van het algemeene probleem: eene massa zoodanig over een oppervlak te verdeelen, dat deze verdeeling in punten buiten dat oppervlak equipotentiaal is met eene massa binnen dat oppervlak, of in punten er binnen equipotentiaal met eene massa, die buiten het oppervlak ligt. Daarvan uitgaande zijn in het derde hoofdstuk, de functiën G, en G, bepaald volgens eene methode door GREEN aangegeven.

Evenzeer kan men het vraagstuk, dat ons bezighoudt, beschouwen als een onderdeel van het algemeene vraagstuk: voor een oppervlak S of eene V1 functie óf eene V1 functie te bepalen, die in de punten van dat oppervlak eene gegeven waarde V, aanneemt. Nu bestaat er eene methode, waardoor in sommige gevallen dat algemeene vraagstuk kan opgelost worden. Zoodra nl. voor zeker oppervlak alle functiën V, of V. onder een algemeenen vorm te brengen zijn, of van eene reeks van die functiën de algemeene vorm is aan te geven, bestaat dikwijls de mogelijkheid, door de algemeene uitdrukkingen te vergelijken met de gegeven waarden aan het oppervlak, deze uitdrukkingen zoo te specialiseeren, dat zij voor punten van het oppervlak werkelijk in de gegeven waarden overgaan. Zoo gelukte het LAMÉ het algemeene vraagstuk op

i