De potentiaal van een oppervlak in een binnenpunt voldoet dus nog aan de voorwaarden 1 en 2, zooeven genoemd; eene functie, die, voor alle punten binnen een oppervlak S, deze twee eigenschappen vertoont, wordt in het vervolg dikwijls voorgesteld door

น

meant

Zij ten slotte het punt x, y, z in het oppervlak S gelegen. Nu is het de potentiaal van eene massa over S uitgebreid, waarop vooral de aandacht moet gevestigd worden. Nemen wij drie punten aan, één binnen S, één daarbuiten en één op het oppervlak gelegen, en wel

zoo dan P, en P samenvallen in P., heeft men

Lim. V, Lim. V1 = V,
= Va

zoowel bij een lichaam als bij een oppervlak.

time

at the sam

zelfde te zeggen bij een lichaam van de eerste afgeleiden. Dit
is niet zoo bij eene oppervlakte-lading. Zij in P, eene normaal op-
gericht en zijn de punten P; en P. op die normaal gelegen, zoo men
dan P. langs de normaal naar binnen het element dn, en P, naar
buiten het element dN laat doorloopen, dan zal de functie V1 aan-

น

i

Vallen nu P; en P in P.,

2)

waarin ୧ weer voorstelt de dichtheid in P. Bij een oppervlak is
dus de eerste afgeleide van de potentiaal bij doorgang door het vlak

dV

discontinu; met de waarde van voor een punt op S, wordt
dn

dan ook steeds bedoeld een der beide limieten, waarvan het verschil
-4πg bedraagt. Wij laten in het vervolg, daar, waar zonder ver-
klaring duidelijk is dat een der genoemde limietwaarden bedoeld
wordt, meestal het woord limiet weg. De vergelijking 2) vindt
dikwijls geschreven

§ 2. In de potentiaal-leer, vooral waar sprake is van de potentiaal eener vlakte-lading over een oppervlak S, vervullen de functiën P1 en P. van S eene belangrijke rol. Verschillende eigenschappen van deze functiën vindt men onmiddellijk uit het bekende theorema van GREEN, dat hier in herinnering wordt gebracht.

Laten U en V twee functiën zijn van de coördinaten x, y, z, die met hare eerste afgeleiden eindig en continu blijven voor alle punten binnen een oppervlak S, dan geldt de betrekking

Jvan de + fv
do+fvA

dn

U

waarin dn naar binnen gerekend wordt.

Zijn U en V beide P、 functiën van S, dan is zoowel U als AV 0, dus:

Eene belangrijke betrekking verkrijgt men, indien voor U geno

men wordt waarin E, voorstelt den afstand van een punt P

1
E1'

(x, y, z), binnen of op S, tot een vast punt P' (x', y', z') binnen S.

1

De uitdrukking is niet eindig evenmin als hare afgeleiden zoo

E1

x, y, z in x', y', z' valt. De gelijkheid 4) kan dan ook slechts toegepast worden voor de ruimte ingesloten door S en door het oppervlak van een bol, waarvan P het middelpunt is en de straal genomen wordt. Door steeds kleiner te laten worden, vindt men in dit geval, zoo weer VV1 eene P1 functie is,

i

dn E

E dn

waarin V' de waarde is van V1 in het punt x', y', z'.

6)

Ten einde voor de ruimte buiten S de stelling van GREEN toe te

passen, denken wij ons eerst die ruimte begrensd door een bol met
straal R; dan geldt voor het deel, tusschen S en het oppervlak van
dien bol gelegen, de vergelijking 4), waarin nu de integratie zoo-
wel over S als over het oppervlak van den bol moet plaats hebben,
terwijl nu de differentiatie naar de normaal binnen die ruimte ge-
trokken, moet geschieden; welke bewerking voor het oppervlak S
d
voorgesteld wordt door

dN

Onderstellen wij thans, dat U en V beide P1 functiën zijn van het oppervlak S, dan volgt uit de derde voorwaarde, waaraan die functiën voldoen, dat de integralen voor het oppervlak van den bol, zoo R steeds grooter wordt, gezamenlijk =0 zijn, derhalve is ook dan

Wordt weer in 4) voor U gesubstitueerd de waarde

voorstelt den afstand van P(x, y, z) tot een vast punt P,' (x', y', z')
buiten S gelegen en zij weer V eene V. functie, dan vindt men
even als vroeger

61)

waarin V voorstelt de waarde, die V. in het punt x', y', z' aan

neemt.

§ 3. Zoo over het oppervlak S eene lading is aangebracht, waarvan de dichtheid ୧ in ieder punt gegeven is, dan bestaat determination het bepalen van de potentiaal dezer lading in het uitvoeren van

relations

u

i

eene integratie over het oppervlak S. Is de potentiaal V1 in
een punt binnen S en hare waarde V. in een punt buiten S
bepaald; dan heeft men twee functiën gevonden, waarvan de
eerste eene P1 functie voor S, de andere eene P1 functie is, en wel
nemen beide functiën aan het oppervlak dezelfde waarde aan. Uit
de betrekkingen, hierboven afgeleid, volgt dadelijk dat omgekeerd
twee geheel willekeurige P¡ en P1 functiën voor het oppervlak S,
die slechts aan de voorwaarde voldoen dat zij voor punten van S beide

i

оброже

dezelfde waarden aannemen, kunnen beschouwd worden als de potentialen eener vlaktelading over S.

i

i

u

u

Zij nl. de P1 functie V; en de P1 functie V. en hare waarden aan het oppervlak V., dan wordt aangetoond dat V1 de potentiaal voorstelt in punten binnen S eener lading, waarvan de dichtheid is

1 /dVi dV
+

4π dn dN

en Va de potentiaal in punten buiten S van diezelfde lading. In

u

waaruit blijkt, dat de waarde, die V' in het geheel willekeurige punt x', y', z' binnen S aanneemt, de potentiaal is eener lading over S met de aangegeven dichtheid. Door gebruik te maken van de vergelijkingen 6) en 5) vindt men eveneens

Over een oppervlak S is dus steeds eene massa te verdeelen, zoodat de potentiaal in alle punten binnen S eene gegeven waarde aanneemt en evenzoo de potentiaal buiten S, zoo die gegeven

shorn

abreadz

i

waarden binnen S uitgedrukt worden door eene P, functie van S, die buiten door eene P functie en voor punten van S geldt.

De dichtheid dezer lading en daarmede de massa is geheel bepaald, zoodat er slechts ééne verdeeling mogelijk is.

§ 4. De vraag kan thans gesteld worden: zal ook iedere P1 functie van het oppervlak S kunnen beschouwd worden als de potentiaal in buitenpunten eener massaverdeeling over S, en is die massaverdeeling geheel bepaald? Geldt hetzelfde van eene geheel willekeurige P functie voor punten binnen S? De potentiaal-theorie van GAUSS en het beginsel van DIRICHLET beantwoorden onmiddellijk beide vragen, en doen tevens eene nieuwe eigenschap kennen. Geheel analytisch bewijst DIRICHLet ,,er bestaat voor zeker oppervlak S eene, maar ook slechts ééne P, functie, die in alle punten van S gegeven waarden aanneemt, die voor de verschillende punten van het oppervlak eindig zijn en continu in elkander overgaan. Ook bestaat er eene, maar slechts ééne P functie, waarvan hetzelfde geldt." Het bewijs voor deze gewichtige stelling komt voor in de reeds genoemde,,Vorlesungen" en is in verscheidene leerboeken overgenomen; zoodat het hier kan achterwege blijven.

De vragen, zoo even gesteld, kunnen derhalve bevestigend beantwoord worden.

u

Is eene P functie gegeven, dan zijn de waarden van die functie. voor het oppervlak S bekend en dan is er volgens DIRICHLET ééne Pi functie aan te wijzen, die voor alle punten van S de waarden aanneemt, waarin de P1 functie overgaat. Die functie en de gegevene kunnen beschouwd worden als potentialen in punten binnen en buiten S eener lading over dat oppervlak, die daardoor volgens de voorgaande paragraaf geheel bepaald wordt. Hetzelfde kan gezegd worden zoo eene P functie gegeven is. Maar verder, zoo voor alle punten van S eindige, continu veranderende waarden gegeven zijn, dan kan men eene P en eene P. functie aanwijzen, welke voor punten van S die waarden aannemen. Het algemeene probleem

u