EXERCICES D'ANALYSE NUMÉRIQUE, formant un Traité de la Théorie des nombres; par V.-A. Lebesgue, professeur à la Faculté des Sciences de Bordeaux, membre correspondant de l'Institut (*). Ces Exercices contiendront dans un ordre et avec des démonstrations simplifiées, les recherches contenues dans la Théorie des Nombres, de Legendre, et les Disquisitiones arithmeticæ, de Gauss. Les travaux de M. Cauchy, notamment ceux qui ont rapport à l'équation binôme, et de nombreux Mémoires de MM. Jacobi, Dirichlet, Eisenstein, Kummer, etc., entreront en substance dans ces Exercices, qui commenceront en janvier 1849, et paraîtront de mois en mois par livraisons de 2 ou 3 feuilles in-8°, avec tableaux. THÉORÈME SUR LE SYSTÈME DE DROITES CONJUGUÉES A UNE CONIQUE ET PASSANT PAR UN MÈME POINT; PAR M. LUCIEN GILLES, Toutes les circonférences circonscrites aux triangles formés par des systèmes de droites conjuguées passant par un même point pris sur le plan d'une ellipse, et par (*) Prix de la souscription: Pour Paris et les départements.. Pour l'Étranger... 15 francs par an. 20 A Paris, chez M. BACHELIER, imprimeur-libraire du Bureau des Longitudes, de l'École Polytechnique, etc., quai des Augustins, no 55. (**) Maintenant élève de l'École Polytechnique. une droite parallèle au diamètre conjugué du diamètre qui passe par le point O, se coupent en un même point situé sur le diamètre qui passe par le point O (fig. 5, Pl. I). En effet, soit A le centre de l'ellipse, prenons AO et son conjugué pour axes coordonnés; l'équation de la courbe sera a11y2+b2x2=a'b', Soit DD la parallèle à l'axe des Y. Posons OA = d et AB P. Soit ym (xd) l'équation de OE; celle de OD sera Soit M le point où le cercle qui passe par les trois points E, O, D rencontre OA. Nous avons MB BOBEX BD. En remplaçant ces quantités par leurs valeurs, nous !rou La quantité BM étant constante, il s'ensuit que le théo rème est démontré. Tous ces cercles avant une corde commune MO, il s'ensuit que le lieu de leur centre est la perpendiculaire élevée sur le milieu de MO. Si l'on place le point O au centre, et qu'en même temps on prenne la directrice pour la ligne DD', on trouve alors que le point M est situé sur le grand axe, à une distance de la directrice, troisième proportionnelle à l'excentricité et au demi-petit axe; et le lieu des centres devient une perpendiculaire au grand axe menée à une distance du centre égale à De cette propriété on déduit le théo rème suivant: b2 20 « Si d'un point quelconque de la perpendiculaire au grand axe menée à une distance du centre, troisième proportionnelle au double de l'excentricité et au demipetit axe, on décrit une circonférence passant par le » centre de l'ellipse, cette circonférence coupera la di>> rectrice en deux points tels, qu'en les joignant au » centre, on aura un système de diamètres conjugués. » L'hyperbole jouit des mêmes propriétés. SOLUTION GÉOMÉTRIQUE DE LA QUESTION 154 (t. VI, p. 388); PAR M. A. MANNHEIM, Élève du lycée Charlemagne, classe de M. Catalan ('. D'un point A (fig. 6, Pl. I), extérieur à une courbe du second degré, on mène deux tangentes AB et AC; d'un point G de la courbe on mène une tangente DE et un diamètre GO; on joint le point A au point de rencontre de ce diamètre avec la corde de contact BC: cette droite partagera en deux parties égales la portion de tangente DE comprise entre les deux tangentes AB et AC. (*) Maintenant élève de l'École Polytechnique. Menons du point A la droite AL parallèle à la tangente DE. Le pôle de cette droite est le point de rencontre F du diamètre GO et de la corde BC. La corde BC, qui passe au point F, est divisée harmoniquement par ce point et par la droite AL. Les droites AL, AB, AF, AC forment un faisceau harmonique, et la droite DE, parallèle au rayon vecteur AL, est partagée en deux parties égales par les trois autres AB, AC, AF; ainsi DH = HE. La démonstration est exactement la même pour l'hyperbole et pour la parabole. Dans le cas de l'hyperbole, si le point A est au centre de la courbe, les tangentes AB, AC sont les asymptotes, et l'on retombe sur un théo rème connu. Dans le cas de la parabole, on a AH=HF (fig. 7, Pl. I), car le point F étant le pôle AL, on a GF = GM. La figure AEFD est donc un parallelogramme; on voit donc que si, par le point A, on mène deux tangentes AB et AC à une parabole, si, d'un point F de la corde de contact de ces tangentes, on mène des parallèles FD et FE aux tangentes AB et AC, la droite DF, qui joint les points de rencontre de ces parallèles avec les tangentes est ellemême tangente à la parabole. Les triangles DBF et EFC sont équiangles, et, par ronséquent, semblables, et l'on a d'où l'on voit que la tangente DE divise en parties inver sement proportionnelles les tangentes AC et AB. ÉQUATION De la courbe que décrit un chien à la poursuite de son maître qu'il voit constamment parcourir une droite: le rapport m des vitesses est constant ; PAR UN ÉLÈVE DE L'INSTITUTION BARBET. La tangente à la courbe y = (x) au point occupé par le chien passe par le point où se trouve l'homme au même moment. Si A' et A sont deux positions du chien, B' et B sont les deux positions correspondantes du maître. De plus Posons BB' = m arc AA' (fig. 8, Pl. I), z=xq'(x), et soient et k les accroissements de z et de y correspondants à un accroissement h de x, nous aurons |