war so klein, dass man wohl die erhaltenen Resultate als befriedigend annehmen darf. Berlin, April 1877. II. Ueber einen allgemeinen Satz in Bezug auf electrische Influenz; von R. Clausius. Es sind schon mehrfach von verschiedenen Autoren gewisse Reciprocitätssätze in Bezug auf die gegenseitige Influenz zweier die Electricität leitender Körper aufgestellt. Ich will mir erlauben, hier einen sehr allgemeinen und, soviel ich weiss, neuen Satz mitzutheilen, aus welchem sich mehrere jener Reciprocitätssätze als unmittelbare Folgen ergeben. Es sei irgend eine Anzahl leitender Körper C1, C2, C, etc.. gegeben, welche influenzirend aufeinander wirken. Diese sollen in zwei verschiedenen Weisen mit Electricität geladen werden. Bei der ersten Ladung seien die auf den einzelnen Körpern befindlichen Electricitätsmengen: Q1, Q2, Q3 etc. und die dadurch entstehenden Potential niveaux der Körper: V1, V2, V3 etc., und bei der zweiten Ladung seien die Electricitätsmengen und Potential niveaux: D1, D2, D3 etc. V1, V2, V3 etc. Dann gilt folgende Gleichung: (I) V1Q1+VgQ2+ V3 Dg + etc. = V1 Q1 +V2 Q2+V3 Q3+etc, 2 oder unter Anwendung von Summenzeichen, kürzer geschrieben: Zum Beweise dieser Gleichung denken wir uns um einen in der Nähe der Körper gelegenen Punkt eine unendlich grosse Kugelfläche geschlagen, und auf den zwischen den Körpern und der Kugelfläche liegenden unendlichen Raum wenden wir die bekannte Green'sche Gleichung an, indem wir die beiden darin vorkommenden Functionen mit V und 2 bezeichnen und darunter die der ersten und zweiten Ladung entsprechende Potentialfunction verstehen. Die Gleichung lautet dann: (1) dw V Sv dB du + SV4B dr = SB or dw + SB 4 V dr. дп дп Hierin bedeutet do ein Element der Fläche, welche den betrachteten Raum begrenzt, und welche aus den Oberflächen der gegebenen Körper und aus der unendlich grossen Kugelfläche besteht, n soll die auf dem Flächenelemente errichtete Normale (nach dem betrachteten Raume zu positiv gerechnet) darstellen, und die Integrale, welche dw enthalten, beziehen sich auf jene ganze Begrenzungsfläche. Ferner bedeutet du ein Element des betrachteten მკ 02 Raumes, durch wird die Operation + + dx2 dy2 O z2 angedeutet, und die Integrale, welche dɩ enthalten, haben sich über den ganzen betrachteten Raum zu erstrecken. Nun ist aber in diesem Raume bei den beiden angenommenen Ladungsweisen keine Electricität enthalten, und es gelten also in ihm überall die Gleichungen: AV = 0 und 4V = 0, wodurch die Gleichung (1) sich reducirt auf: Auch in dieser Gleichung tritt noch eine Vereinfachung ein. Die beiden Integrale sind dem Obigen nach. über die Oberflächen der gegebenen Körper und über die unendlich grosse Kugelfläche zu nehmen. Nun sind aber, wenn R den unendlich grossen Radius der Kugelfläche bedeutet, die Werthe von V und 2 an der Kugelfläche 1 unendlich kleine Grössen von der Ordnung 9 R und die Werthe der Differentialcoefficienten und av JV bei denen die Normalrichtung mit der Richtung des Radius zusammenfällt, sind unendlich kleine Grössen von der Ordnung 1 R2* R3 Kugelfläche unendlich kleine Grössen von der Ordnung 1 Was ferner das Flächenelement do der Kugeloberfläche anbetrifft, so können wir dasselbe, wenn do ein Element des körperlichen Winkels am Mittelpunkte der Kugelfläche bedeutet, durch das Product R2do ersetzen. Dann ist an beiden Seiten der Gleichung der Factor, mit welchem do unter dem Integralzeichen behaftet ist, noch 1 ein unendlich Kleines von der Ordnung woraus folgt, R' dass von beiden Integralen der auf die Kugelfläche bezügliche Theil, welcher nach o von 0 bis 4 zu nehmen ist, unendlich klein ist und vernachlässigt werden kann. Die in der Gleichung (2) vorkommenden Integrale brauchen. also nur auf die Oberflächen der gegebenen Körper bezogen zu werden. Auf der Oberfläche jedes Körpers ist die Potentialfunction constant, und kann daher für den Theil des Integrals, welcher sich auf ihn bezieht, aus dem Integralzeichen genommen werden. Demnach können wir die Gleichung (2) so schreiben: worin do, do, do, etc. Flächenelemente der Körper C1, C2, C3 etc. sein und die verschiedenen Integrale sich auf die Oberflächen der einzelnen Körper beziehen sollen. Ferner besteht bekanntlich an der Oberfläche eines mit Electricität geladenen leitenden Körpers zwischen dem nach der Normale genommenen Differentialcoefficienten der Potentialfunction und der electrischen Dichtigkeit eine einfache Beziehung. Wenn nämlich h und die Flächendichtigkeiten bei den beiden Ladungen bedeuten, so gelten die Gleichungen: =V1 Sh dw, + V2 Shd w2 + V. Sh dwy + etc. 3 Die hierin noch vorkommenden Integrale sind aber nichts weiter, als die auf den einzelnen Körpern befindlichen Electricitätsmengen, und wir erhalten somit die zu beweisende Gleichung: V1Q1+V2Q2+V3Qg + etc. = V1 Q1 + V2 Q2+ V3Q3+ etc. 2 2 Was nun die Anwendungen dieser Gleichung anbetrifft, so werden diese noch dadurch erleichtert, dass die Gleichung unter gewissen, oft stattfindenden Umständen sich noch weiter vereinfacht. Betrachten wir nämlich die Glieder, welche sich auf irgend einen der gegebenen Körper, der C; heisse, beziehen, nämlich die beiden Producte: so werden diese in zwei Fällen Null, so dass sie aus der Gleichung fortgelassen werden können. Wenn der Körper mit der Erde in leitender Verbindung steht, so bleibt sein Potentialniveau bei jeder Ladung des Systemes Null, und wir haben also für diesen Fall zu setzen: wodurch die obigen Producte verschwinden. Wenn ferner der Körper isolirt und ursprünglich unelectrisch ist, und bei der Ladung keine Electricität von aussen empfängt, sondern nur durch Influenz eine ungleiche Vertheilung seiner eigenen Electricität erleidet, so wird seine Oberfläche theils positiv, theils negativ electrisch, in der Weise, dass die ganze auf der Oberfläche befindliche Electricitätsmenge Null bleibt. Wir haben dann also zu setzen: Qi = Di = 0, wodurch wiederum die obigen Producte verschwinden. Demgemäss kann folgende Regel aufgestellt werden. Solche Körper, die bei beiden Ladungen mit der Erde in leitender Verbindung stehen, oder die isolirt und ursprünglich unelectrisch sind, und bei den Ladungen keine Electricität empfangen, können bei der Aufstellung der Gleichung (I) unberücksichtigt bleiben. Es möge nun als specieller Fall angenommen werden, dass bei allen gegebenen Körpern, mit Ausnahme von C und C, einer der beiden genannten Umstände stattfinde. Dann reducirt sich die Gleichung auf: (5) V1 Q1 + V2Q2 = V1 Q1 + V2 Q2 • 1 2 Wenn wir diese Gleichung noch weiter dadurch vereinfachen, dass wir auch über das Verhalten der Körper C und C, noch besondere Annahmen machen, so gelangen wir zu den eingangs erwähnten Reciprocitätssätzen. Zunächst wollen wir die beiden Körper als isolirt und ursprünglich unelectrisch voraussetzen, und annehmen, Ann. d. Phys. u. Chem. N. F. I. 32 |