druck eine Rolle spielt, wenig gemein. Nur mit dem vorhergehenden Kapitel II 6 hängt sie insofern zusammen, als darin ein ähnlicher Apparat beschrieben wird, bei dem man mit Hilfe ausströmender Dämpfe ebenfalls eine kleine Kugel in der Mitte einer größeren Halbkugel schweben lassen kann, und das 6. Kap. seinerseits erinnert an die Ausführungen im Proömium S. 10, 26ff, wo die Dünste, die aus der Erde aufsteigen, hinsichtlich ihrer Entstehung mit den Dämpfen verglichen werden, die aus geheizten Kesseln aufsteigen. Ob sich HERON überhaupt mit astronomischen Fragen eingehend befaßt hat, muß so lange zweifelhaft bleiben, als das rätselhafte Zitat bei Is. VOSSIUS, Observat. in CATULLUM p. 302: „HERO in Astronomicis" nicht aufgeklärt ist.1) Es ist immerhin möglich, daß das 7. Kap. des II. Buches der Pneumatika, wie SCHMIDT vermutet, ein späterer Zusatz ist, zumal da auch die überlieferten Worte in mancher Beziehung Bedenken erwecken. Doch kann die Frage, aus welchen Bestandteilen die HERONische Sammlung sich zusammensetzt, nur in größerem Zusammenhange behandelt werden. Übrigens setzt die Aufgabe, zwei genau aufeinander passende Halbkugeln größeren Umfangs aus durchsichtigem Glas herzustellen, eine verhältnismäßig hochentwickelte Technik der Glasfabrikation voraus. Das würde wieder zur Heimat des HERON VON Alexandreia stimmen; denn Ägypten hat seinen hohen Ruf hinsichtlich seiner vortrefflichen Glasarbeiten bis in die Kaiserzeit hinein bewahrt.2) 1) Den Spuren dieses Buchtitels ist F. BOLL in der 5. Beilage zu seinem Buche Sphaera (Leipzig 1903), S. 480 nachgegangen, wobei er den Buchtitel HERONS TEQ ὀνομάτων ἀστρονομικών endgültig beseitigt. 2) Bestätigt durch STRABON XVI 758. Vgl. H. BLÜMNER, Technologie und Terminologie der Gewerbe und Künste bei Griechen und Römern (Leipzig 1886), IV 381, 392 Einige griechische Aufgaben der unbestimmten Analytik. Von J. L. HEIBERG und H. G. ZEUTHEN in Köbenhavn. In der von R. SCHÖNE gefundenen Handschrift der Serailbibliothek, wonach H. SCHÖNE die echten METQizά HERONS herausgegeben hat, finden sich einige neue Beispiele unbestimmter Gleichungen, die in mehreren Beziehungen Beachtung verdienen und geschichtlich höchst wertvoll werden können, wenn es gelingen sollte sie zeitlich festzulegen. Zum Verständnis der Sachlage sind einige Vorbemerkungen über die Handschrift notwendig (vgl. die Inhaltsangabe bei H. SCHÖNE, HERONIS Opera III, S. IX). Der Cod. Constantinopolitanus Palatii veteris Nr. 1, den ich übrigens eher ins XII. als ins XI. Jahrhundert datieren möchte, enthält außer den selbständigen Werken Διδύμου Αλεξανδρέως περὶ παντοίων ξύλων τῆς μετρήσεως (f. 64-66) und Ἥρωνος Μετρικά (f. 67–110) ein byzantinisches Rechenbuch1), aus verschiedenen Quellen zusammengestellt. Einige davon sind mit Namen angeführt, aber diesen Überschriften gegenüber ist aus verschiedenen Gründen die größte Vorsicht geboten. Fol. 3 steht über zwei Stücken, die von dem Wesen und der Aufgabe der Geometrie handeln: Evxλeídov rewμerola, aber auf Rasur mit jüngerer Hand; also stand EUKLIDS Name ursprünglich nicht da, und in der Tat haben die Stücke nicht das geringste mit EUKLID zu tun. Jedenfalls gilt die Überschrift nur für diese beiden Stücke; denn auf sie folgt fol. 3 ein Stück über die in mathematischen Handschriften gebräuchlichen Abkürzungen mit der Überschrift onuɛia peœuɛtolas, das mit den vorhergehenden nichts zu tun hat. Darauf folgt fol. 4-17 eine Sammlung planimetrischer und (von fol. 10 an) stereometrischer Aufgaben, im wesentlichen gleich dem Liber geeponicus und Stereometrica I bei HULTSCH; sie hat weder Überschrift (der Anfangsbuchstabe ist ausgerückt aber nicht illuminiert) noch Spezialtitel. Fol. 17-26 folgt mit der Überschrift togάv(t)ov[6] die 1) Wesentlich gleichartig sind die beiden anderen Haupthss. der von HULTSCH herausgegebenen „, Heroniana", Paris. 1670 u. Suppl. 387. Sammlung, die TANNERY, DIOPHANTI Opera II, S. 15-31 herausgegeben hat; fol. 19 Spezialtitel uέdodo τav лolvyóvov = TANNERY, p. 18, 7, fol. 24 nach S. 27, 20 (abweichend) Schlußornament, darauf fol. 24"-25" einige stereometrische Definitionen, die bei TANNERY fehlen, fol. 25o лɛì zvλívôqov = TANNERY S. 27, 21. Fol. 26 ohne Titel zwei Aufgaben die κυλίνδρου Kugel betreffend. Fol. 27 mit der Überschrift "Hoovos sloαyoyal Geometria 106, 1—2 HULTSCH, darauf mit Überschrift ɛgì evdvuetqıxãv (wie bei HULTSCH S. 139, 18) Geom. 106, 3-25, fortgesetzt fol. 27-28▾ mit anderen metrologischen Stücken. Fol. 28-29 nach einem Schlußornament Geepon. 78-79, fortgesetzt ohne Unterbrechung oder Überschrift mit neuen planimetrischen Aufgaben in systematischer Ordnung (Rechtecke, rechtwinklige Dreiecke, ein- und umgeschriebene Figuren1), Kreis) bis fol. 38 und mit neuen stereometrischen bis fol. 42. Dann folgt fol. 42-48 Stereometrica II, 1-33 HULTSCH mit der Überschrift: uétonois τετραστίου ἤτοι τετρακαμάρου ἐπὶ τετραγώνου βάσεως (ohne HERONS Namen), fortgesetzt fol. 48-51' mit neuen stereometrischen Aufgaben über Gewölbe. Darauf fol. 51-53 nach einem Schlußornament Geepon. 68 und andere stereometrische Aufgaben (z. B. Vermessung von Schiffen), meist neu, aber auch Geepon. 87; fol. 54, nach Ornament und mit Überschrift: uétonois övros áírov ¿ àñovéбεws, Geepon. 203; nach einem leeren Raum von 11⁄2 Seite fol. 55-61 Aufgaben über Pyramiden, Überschrift: uéronous avoάuídov; dann, nach einem Ornament, mit Überschrift: Εὐκλείδου εὐθυμετρικά, Geepon. 165-90. Die hier behandelten Aufgaben stehen fol. 28-31 im Anfang einer namenslosen Sammlung, äußere Kriterien für ihr Alter gibt es also nicht; natürlich sind sie nicht byzantinischen Ursprungs. Ich gebe den Text nach Constantinopolit., wovon die von HULTSCH benutzte Handschrift abhängig ist. Die nutzlosen Figuren der Handschrift lasse ich fort. 1-2 sind hier der Vollständigkeit wegen wiederholt; nach dem etwas geringeren Text der Geepon. sind sie behandelt von CANTOR, Agrimens. S. 62. 1) Darunter fol. 34-35 Geepon. 53-58, die auch fol. 7v-8v stehen. 2. ἔστω οὖν ἡ μὲν μία πλευρὰ ποδῶν νγ, ἡ δὲ ἑτέρα πλευρὰ ποδῶν νδ. καὶ τοῦ ἄλλου χωρίου οὕτως· θὲς ὁμοῦ τὰ νγ καὶ τὰ νδ γίνονται πόδες οζ· ταῦτα ποίει ἐπὶ τὰ γ' <γίνονται πόδες τκα. ἆρον τὰ γ)· λοιπὸν γίνον ται πόδες τιη. ἔστω οὖν ἡ τοῦ προτέρου πλευρὰ ποδῶν τιη, ἡ δὲ ἑτέρα πλευρὰ ποδῶν γ· τὰ δὲ ἐμβαδὰ τοῦ ἑνὸς γίνεται ποδῶν νδ καὶ τοῦ ἄλλου ποδῶν βωξβ. Εὑρεῖν χωρίον χωρίου τῇ περιμέτρῳ ἴσον, τὸ δὲ ἐμβαδὸν τοῦ ἐμβαδοῦ τετραπλάσιον. ποιῶ οὕτως τὰ δ κύβισον ἐφ' ἑαυτά γίνονται πόδες ξδ' ἄρον μονάδα α· ἔγ λοιπὸν γίνονται πόδες γ τοσούτου ἑκάστη τῶν περιμέτρων τῶν β παραλλήλων πλευρῶν. διαστεῖλαι οὖν τὰς πλευράς. ποιῶ οὕτως θὲς τὰ δ' ἆρον μονάδα α· λοιπὸν γ. ἡ μία οὖν πλευρὰ ποδῶν γ. ἡ δὲ ἑτέρα πλευρὰ οὕτως τῶν ἔγ ἆρον τὰ γ' λοιπὸν μένουσι πόδες ξ. τοῦ δὲ ἑτέρου χωρίου ποίει οὕτως· τὰ δ ἐφ' ἑαυτά γίνονται πόδες ις· ἀπὸ τούτων ἆρον μονάδα α λοιπὸν γίνονται πόδες ιε. τοσούτων ἔστω ἡ πρώτη πλευρά, ποδῶν ιε. ἡ δὲ ἑτέρα πλευρὰ οὕτως· ἆρον τὰ ιε τῶν ξγ· λοιπὸν γίνονται πόδες μη. ἔστω ἡ ἄλλη πλευρὰ ποδῶν μη. τὸ δὲ ἐμβαδὸν τοῦ ἑνὸς ποδῶν ψκ καὶ τοῦ ἄλλου ποδῶν (π. Zu finden einen Flächenraum, dessen Umkreis dem eines anderen gleich ist, der Rauminhalt aber 4 mal SO groß. Ich mache so: 4* = 64 Fuß, 64 : 1 = 63 Fuß; so viel ist jeder Umkreis aus 2 der parallelen Seiten zusammengesetzt. Man hat dann die Seiten zu sondern. Ich mache so: 4:1=3; die eine Seite ist also = 3 Fuß Die andere Seite so: 63 : 3= 60Fuß. Bei dem anderen Flächenraum mache so: 4 x 4 = 16 Fuß, 16 + 1 = 15 Fuß; so viel sei die erste Seite, also -15 Fuß. Die andere Seite so: 6315-48 Fuß; es sei die andere Seite 48 Fuß. Der Rauminhalt aber des einen ist =720 Fuß, der des anderen =180 Fuß. 1) Statt του προτέρου ist προτέρα zu schreiben. = 3. Χωρίον τετράγωνον ἔχον τὸ ἐμβαδόν μετὰ τῆς περιμέτρου που δῶν ωςς· διαχωρίσαι τὸ ἐμβαδόν ἀπὸ τῆς περιμέτρου. ποιῶ οὕτως ἔκθου καθολικῶς μονάδας δ' ὧν ['· γίνονται πόδες β. ταῦτα ποίη- | σου ἐφ' ἑαυτά γίνονται πόδες δ. σύνθες ἄρτι μετὰ τῶν ωςς· ὁμοῦ γίνονται πόδες π' ὧν πλευρά τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν λ· καὶ ἀπὸ τῶν δ ὕφειλον τὸ γίνονται πόδες β· λοιπὸν γίνονται πόδες κη· τὸ οὖν ἐμβαδόν ἐστιν ποδῶν ψπδ, καὶ ἡ περίμετρος ἔστω ποδῶν ριβ. ὁμοῦ σύνθες ἄρτι τὰ πάντα γίνονται πόδες ωςς τοσούτων ἔστω τὸ ἐμβαδόν μετὰ τῆς περιμέτρου, ποδῶν ωςς. 4. Τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ ἔστω ἡ περίμετρος ποδῶν ν· διαχωρίσαι τὰς πλευρὰς ἀπ ̓ ἀλλήλων. ποιῶ οὕτως κατὰ τὴν Πυθαγορικὴν μέθοδον· ἐπεί ἐστι τὸ παρὰ Πυθαγόρου πρῶτον τρίγωνον ὀρθογώνιον ηὑρημένον τὸ γ' δ' ε', ποίει) κοινωνοὺς τοὺς γ ὁ πρῶτος ποδῶν γ, ὁ δεύτερος ποδῶν δ, ὁ γ' ποδῶν ἐ· κοινὰ δὲ αὐτοῖς τὰ πάντα ἔστω ποδῶν ν. ἔστω οὖν τῷ μὲν πρώτῳ ποδῶν ιβ L', τῷ (δὲ δευτέρῳ ποδῶν ις Β, τῷ δὲ τρίτῳ ποδῶν κι' γ'. ὁμοῦ ἔστω τὰ πάντα ποδῶν ν, ὅ ἐστι περίμετρος τοῦ τριγώνου. Ein Quadrat, dessen Rauminhalt + Umkreis = 896 Fuß; den Rauminhalt vom Umkreis zu sondern. Ich mache so: allgemein / > 4 = 2 Fuß, 2>2 = 4 Fuß. 4 + 896 = 900 Fuß, 900 = 30 Fuß; 1/2 × 4 = 2 Fuß, 4+2=2 Fuß, 30 = 2) = 28 Fuß; so viel die Seite. Der Rauminhalt ist also = 784 Fuß, und der Umkreis [sei] 112 Fub. 784 + 112 - 896 Fuß. So viel sei also der Rauminhalt + der Umkreis, nämlich 896 Fuß.1) = = Ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Umkreis 50 Fuß; die Seiten voneinander zu sondern. Ich mache so nach der Pythagoreischen Methode: da das von PYTHAGORAS Zuerst gefundene rechtwinklige Dreieck das mit den Seiten 3, 4, 5 ist, mache diese drei Zahlen zu Faktoren; der erste sei 3 Fuß, der zweite 4 Fuß, der dritte 5 Fuß; die Summe des Ganzen aber sei = = 50 Fuß. Es sei also die erste Seite 3 = 121/2 Fuß, die zweite = 16% Fuß, die dritte =201/21/3 Fuß. Zusammen = 50 Fuß, was Umkreis des Dreiecks ist.4) 1 3 enthält die Auflösung der unreinen quadratischen Gleichung z+ 4x 896 = 0, und ist nur mitgenommen, weil sie in der Hs. hier steht. Der mißverständlich formulierte Schluß muß ursprünglich als Probe gemeint sein. 2) εʹ, ποίει] ἐποίει Hs. 3) Entweder muß ἔστωσαν und πόδες (3mal) gelesen werden oder τὸ ... πρῶτον, |