Quadratwurzeln bei ARCHIMEDES; Nachr. d. Gesch. d. Wiss. zu Göttingen 1893, S. 403-404) hergeleitet worden und einige dieser Herleitungen sind meines Erachtens gar nicht schlechter als die WERTHEIM Sche. Auffällig ist es jedenfalls, daß Herr CANTOR so ausführlich über diese berichtet, während er die älteren Versuche kaum andeutet (siehe S. 317). G. ENESTRÖM.

13: 374. Der Absatz, der mit den Worten: Nun wird aber eine ähnliche Benutzung zweier falschen Ansätze angewandt, um eine angenäherte Kubikwurzel zu finden" beginnt, gibt zu verschiedenen Bemerkungen Anlaß. Das ganze Kapitel handelt von HERON, und wenn man die zitierten Worte liest, so wird man wohl zuerst versucht sein zu vermuten, daß die fragliche Benutzung von HERON herrührt. In Wirklichkeit sind indessen nach dem Worte aber" die Worte „von G. WERTHEIM" einzufügen, und der Absatz ist eigentlich eine Fortsetzung des Berichtes, der S. 372 Z. 20 mit den Worten „Da ist nun“ beginnt, zu betrachten. Aber auf diese Weise tritt das eigentliche historische Ergebnis, nämlich daß bei HERON die Formel 100 = 4+ kommt, in den Hintergrund.

=

5.36

180 + 100

Vor

an

Noch mehr ist indessen zu bedauern, daß Herr CANTOR das ihm vorliegende Material, nämlich den Artikel von WERTHEIM: HERONS Ausziehung der irrationalen Kubikwurzeln, nicht gut benutzt hat. Dieser Artikel enthält: 1. einen Nachweis, (a+1)d, daß HERON höchstwahrscheinlich die Formel m= m = a + (a + 1) d1 + a d ̧ wendete, wo a E (†/m), d1 = m — a3, d, = (a + 1)3 — m; 2. einen Versuch, diese Formel durch Benutzung zweier falscher Ansätze herzuleiten; 3. als Nachtrag eine andere Herleitung der Formel von Herrn A. KERBER. Hier ist ganz gewiß 1. das wichtigste, und von Interesse ist auch 3., während 2. eigentlich fast wertlos ist; nichtsdestoweniger erwähnt Herr CANTOR zuerst 2., dann 1., aber geht stillschweigend über 3. vorbei.

m = a

Meine Behauptung, daß der WERTHEIM sche Versuch, die Formel m (a+1)d, + herzuleiten, fast wertlos sei, stütze ich teils auf den von (a+1) dad, WERTHEIM selbst erkannten Umstand, daß kein Beispiel einer Anwendung des doppelten falschen Ansatzes seitens der Griechen bekannt ist, teils darauf, daß WERTHEIMS Versuch von einer durchaus willkürlichen Voraussetzung ausgeht, nämlich daß HERON (a + 1)d, und ad, als die Fehler, die beziehungsweise den Annahmen a und a + 1 entsprechen, betrachtet, teils endlich darauf, daß der WERTHEIM sche Nachtrag eine ganz andere, sehr einfache und natürliche Herleitung der Formel bringt. Meiner Ansicht nach kann man diese Herleitung noch ein wenig verbessern und ich erlaube mir diese Verbesserung hier auseinanderzusetzen.

Sei Vm = x, d1 = (x − a)3, d2 = (a +

81 = x3-3x2a + 3x a2 a3, oder 3 ax(x

1

− x)3, so ist

a) = x3 — a3 — d1

a) = x3 — a3 — d1 = d1 — dj,

d2 = (a + 1)3 — 3 (a + 1)2x + 3(a + 1)x2 — x3,
oder 3 (a+1)x(a + 1 − x) = (a + 1)3 — x3 — d2 =
— d2 — 82,

Löst man nun diese Gleichung in bezug auf x a, so erhält man

(a + 1)d,
(a + 1) d1 + ada

man diese vernachlässigt,

Meine Herleitung kann ein wenig verwickelt erscheinen, aber vernachlässigt man schon von Anfang an die eigentlichen Brüche d1 und da, so kann dies Herleitung leicht geometrisch ausgeführt werden. Sie hat auch den Vorzug, daß man den Fehler sofort abschätzen kann, und sie kann oft benutzt werden, um bessere Näherungswerte zu berechnen; für diesen Zweck hat man nämlich nur statt d1 und d2 bzw. (x、 — a)3 und (a + 1 − x1)3 zu setzen, wo î1 den soeben berechneten Näherungswert bedeutet. In dem bei HERON vorkommenden Beispiel ist m = 100 und HERONS Näherungswert ist 4 4.64286. Durch meine Formel erhält man als zweiten Näherungswert 4.64157, während der richtige Wert 4.6415888... ist, so daß die vier ersten Dezimale korrekt sind. G. ENESTRÖM.

9 14

=

13: 376. Es wäre nicht ohne Interesse hier zu bemerken, daß in HERONS Metrika (S. 48 der Ausgabe von H. SCHÖNE) der Term dvvaμodóvaμis für x1 vorkommt (siehe die Bemerkung zu 13: 470; BM 8, 1907/8, S. 311).

G. ENESTRÖM.

13: 380, siehe BM 8,, 1907/8, S. 66-67. 19: 388, 406, 409, 410, siehe BM 8, 1907/8, S. 177-178. 1:429, 431, siehe BM 8,, 1907/8, S. 67. 1: 432, siehe BM 8, 1907/8, S. 67, 178—179. 15:433, 452, siehe BM 8,, 1907/8, S. 179. 13: 459, siehe BM 8, 1907/8, S. 309–310. 1:464, siehe BM 8, 1907/8, S. 179. 13:470, siehe BM 8,, 1907/8, S. 311.

13: 471. Als Herr CANTOR in die 2. Auflage der Vorlesungen die Bemerkung einfügte, das DIOFANTische Zeichen für Minus sei,,dahin gedeutet worden, es sei ein aus A und gebildetes Kompendium für den Anfang des Wortes Leis", und dagegen die nachweislich unrichtige Behauptung strich, DIOFANTOS habe selbst dies Zeichen als ein verstümmeltes umgekehrtes 4 erklärt, so war diese Änderung ohne Zweifel eine Verbesserung. Es ist nur schade, daß Herr CANTOR nicht in der 3. Auflage noch einen Schritt weiter auf dem eingeschlagenen Wege gegangen ist unter Bezugnahme auf den Artikel von PAUL TANNERY, Sur le symbole de soustraction chez les Grecs (Biblioth. Mathem. 5, 1904, S. 5-8). Hier lenkt TANNERY die Aufmerksamkeit darauf, daß das DIOFANTISche Zeichen für Minus offenbar schon in HERONS Metrika (S. 156 der Ausgabe von H. SCHÖNE) vorkommt, und daß es wahrscheinlich nicht λείψις, sondern vielmehr λείψας oder λιπών (vom Verbum Leine) bezeichnete. G. ENESTRÖM.

1: 498, siehe BM 8,, 1907/8, S. 180. - 13:503 -504, siehe BM 8.

545, 563-564, siehe BM 8.

1907/8, 1907/8,

15: 488, siehe BM 8, 1907/8, S. 67. 13: 500, 502, siehe BM 8, 1907/8, S. 67. S. 180-181. 18:509, 510, 513, 515, 528, S. 67-69. 13:576, siehe BM 1907/8, S. 69-70, 181. 19:580, 583, 590-591, 660, 664, 703, 704, siehe BM 8, 1907/8, S. 70. 1:713, siehe BM 8, 1907/8, S. 70.

19:718, - 1: 720,

1907/8, S. 70-71, 181. 13:717, siehe BM 8, 1907/8, S. 71, 182-183. siehe BM 8, 1907/8, S. 71. — 1:719, siehe BM 8,, 1907/8, S. 183-184. siehe BM 8, 1907/8, S. 71. 13:730, siehe BM 8, 1907/8, S. 71, 184—185. 15: 734, siehe BM 8, 1907/8, S. 71. - 1: 736-737, siehe BM 8,, 1907/8, S. 71-72, 185. 18: 738, 743, 748, 750, siehe BM 8,, 1907/8, S. 72. 1: 764, 770, siehe BM 8, 1907/8, S. 185. 19: 780, 781, 794, 800, siehe BM 8, 1907/8, S. 72–73. 13: 801, siehe BM 8,, 1907/8, S. 185-186.

13: 802. Es ist richtig, daß in der von Herrn CANTOR zitierten mittelalterlichen Übersetzung der Algebra ALKHWARIZMIS das Wort „,articulus" vorkommt und wörtlich durch Gelenkzahl übersetzt werden kann. Aber wenn Herr CANTOR weiter unten bemerkt, daß das entsprechende Wort des arabischen Originals Zehner bedeutet, so ist diese Bemerkung nur bis zu einem gewissen Grade richtig. ROSEN gibt das arabische Wort nicht durch „ten", sondern durch ,,greater number" wieder, und in der Tat handelt es sich um das Produkt (a+b) (cd), wo a, b, c, d beliebige Zahlen sein können, vorausgesetzt, daß ab und c> d. Wenn also in der lateinischen Übersetzung steht: si ergo fuerit articulus, et cum eo fuerint unitates aut fuerint unitates excepte ex eo...", so haben eigentlich die zwei Wörter „articulus“ und „,unitates“ eine weitere Bedeutung als die sonst gewöhnliche, ganz wie die entsprechenden Wörter des arabischen Originals (vgl. hierüber F. WOEPCKE, Extrait du Fakhri, Paris 1853, S. 48). Aus dem Umstande, daß in der fraglichen lateinischen Übersetzung das Wort ,, articulus" vorkommt, folgt also nicht, daß der Übersetzer den rein arithmetischen Term Zehner durch ,,articulus" wiedergegeben haben würde (vgl. BM 8, 1907/8, S. 151). G. ENESTROM.

13: 802. Wenn Herr CANTOR hier (Z. 12-14) behauptet, der Verfasser des Liber algorismi de pratica arismetrice habe das Wort,,articulus" genau in dem gleichen Sinne, in welchem es in der gefälschten Geometrie des BOETIUS zur Anwendung kam, gebraucht, so ist diese Behauptung vielleicht richtig, aber ganz sicher ist es nicht. Herr CANTOR verweist auf S. 583, wo die betreffende Stelle der Geometria BOETII wörtlich übersetzt ist, aber daraus kann man nicht ersehen, ob ein „, articulus" von der Form A 10 (A eine beliebige ganze Zahl) oder von der Form a∙ 10" (a < 10) ist. Auf der anderen Seite wird in der Geometria BOETHI ,limes" als ein numerus incompositus" bezeichnet, und daraus darf man wohl folgern, daß ,,limes" eine Zahl von der Form a 10" (a < 10) bedeutet, aber daß ,,articulus" mit limes" identisch sei, wird meines Wissens nicht in der Geometria BoËTII ausdrücklich angegeben. Bekanntlich hatte im Mittelalter,,limes" eine andere Bedeutung als „articulus“ (vgl. G. ENESTRÖM, Sur les neuf,,limites" mentionnés dans l',,Algorismus“ de SACROBOSCO; Biblioth. Mathem. 1897, S. 97-102). Man könnte also sehr wohl annehmen, daß in der Geometria BOETII vier Arten von Zahlen genannt werden, nämlich: 1.,,digitus", d. h. eine Zahl kleiner als 10; 2.,, articulus", d. h. eine Zahl, die ein Multiplum von 10 ist; 3.,,limes", d. h. eine Zahl von der Form a 10" (a <10); 4.,,numerus compositus", d. h. eine Zahl, die weder ,,digitus" noch ,,limes" ist.

Dagegen wird im Liber algorismi de pratica arismetrice ausdrücklich hervorgehoben (siehe die Ausgabe von BONCOMPAGNI, Rom 1857, S. 26), daß ,, articulus" eine Zahl von der Form a 10" (a < 10) ist. G. ENESTRÖM,

13:838. Da die hier erwähnte 34. Aufgabe der „Propositiones ad acuendos juvenes" das älteste mittelalterliche Beispiel einer unbestimmten Aufgabe ist, so gebe ich nach einer freundlichen Mitteilung des Herrn GEORG THIELE den besten Text der Aufgabe nebst deren Lösung wieder:

Quidam paterfamilias habuit familias (!) centum, quibus praecepit dare de annona modios C, eo vero tenore, ut viri acciperent modios ternos et mulieres binos et infantes singula semodia. Dicat ergo qui valet quot viri, quot mulieres aut quot infantes fuerunt.

Solutio.

Undecim terni fiunt XXXIII, et XV bis ducti fiunt XXX; duc vero septuagies quattuor semis, fiunt XXXVII; viri acceperunt XXXIII modios, XV mulieres acceperunt XXX et LXXIIII infantes acceperunt XXXVII, qui simul iuncti, id est XI et XV et LXXIV fiunt C, que sunt familiae (1) C. Similiter iunge XXXIII et XXX et XXXVII, fiunt C, qui sunt modii C. His ergo simul iunctis habes familias (!) C et modios C. Die älteste bekannte Handschrift der „, Propositiones" stammt aus dem 10. Jahrhundert, aber nach Herrn THIELE sind die Aufgaben spätestens in Karolingischer Zeit entstanden, und vielleicht ist deren älteste Fassung ins 4. Jahrhundert zurückzuverlegen; die Auflösung dagegen gehörte ursprünglich nicht der Aufgabe zu. G. ENESTRÖM.

13:855, 857, 859, 862, 863, siehe BM 8, 1907/8, S. 73-74. 13:867, siehe BM 8, 1907/8, S. 74, 187. 1:869, 875-876, 877, 878, siehe BM 8,, 1907/8, S. 74-76.

13: 881. Die Angabe, daß bei BERNELINUS,, das Einmaleins" vorkommt, ist so undeutlich, daß sie fast notwendigerweise mißverstanden werden muß, denn wenn man die Worte,,das Einmaleins" sieht, so denkt man wohl in erster Linie an das gewöhnliche Einmaleins; beispielsweise hat J. TROPFKE (Geschichte der Elementarmathematik I, Leipzig 1902, S. 69) Herrn CANTORS Angabe auf diese Weise aufgefaßt, denn er behauptet unter Berufung auf die Vorlesungen, daß bei BERNELINUS,,die Diagonalreihe frei gelassen ist". In Wirklichkeit kommt bei BERNELINUS (siehe Oeuvres de GERBERT, éd. OLLERIS, Clermont 1867, S. 361-362) gar nicht das gewöhnliche Einmaleins vor, sondern nur eine Zusammenstellung von 36 besonderen Multiplikationsregeln, die mit ,,Semel II II" beginnt und mit ,,Octies VIIII LXXII" endet. Eine noch ältere Zusammenstellung dieser Art findet sich nach CURTZE (Centralbl. für Bibliotheksw. 16, 1899, S. 278-279) im Cod. Bernensis 250 Bl. 1.

Das gewöhnliche Einmaleins dürfte den eigentlichen Abacisten unbekannt gewesen sein. Freilich findet es sich in einer Abakusschrift (siehe BM. 83, 1907/8, S. 79), aber diese stammt nach NARDUCCI aus der zweiten Hälfte des 12. Jahrhunderts und enthält auch andere Sachen, die sonst nicht von den Abacisten gelehrt wurden. Meines Wissens kommt das gewöhnliche Einmaleins zuerst in der von CURTZE 1898 herausgegebenen Algorismusschrift aus dem 12. Jahrhundert vor (siehe Abhandl. z. Gesch. der Mathem. 8, S. 18), und zwar in dreieckiger Anordnung. Dagegen hat LEONARDO PISANO nicht das

gewöhnliche Einmaleins, sondern nur eine Zusammenstellung von Multiplikationsregeln etwa wie die 36 Regeln bei BERNELINUS (siehe Scritti pubblicati da B. BONCOMPAGNI, I, Rom 1857, S. 6). G. ENESTRÖM.

1: 882, 889, 893, siehe BM 8, 1907/8, S. 77–78. 18:900, siehe BM 8,, 1907/8, S. 78, 187-188. 15: 902, siehe BM 8,, 1907/8, S. 78-79. 1:906, siehe BM 8, 1907/8, S. 79, 188-189. 13:908, 909, 910, siehe BM 8, 1907/8, S. 79.

13910. Es ist durchaus unrichtig, daß (Z. 1) es für den Algorithmiker in lateinischer Sprache keine anderen Wörter für Einer und Zehner als „,digitus“ und ,,articulus" gab. Man braucht sich nur die Mühe zu geben, den Anfang des Traktates Algoritmi de numero indorum näher einzusehen, um zu finden, daß der lateinische Übersetzer dieser Schrift nicht die Wörter ,,digiti" und ,,articuli" (vgl. M. CANTOR, Mathematische Beiträge zum Kulturleben der Völker, Halle 1863, S. 274 Z. 12-13), sondern ,,unitates", „,deceni", ", centeni" etc. anwendet (siehe z. B. die Ausgabe von BONCOMPAGNI, Rom 1857, S. 3: „prima est differentia unitatum secunda differentia decenorum"). Auch aus LEONARDO PISANOS Liber abbaci kann man leicht die Unrichtigkeit der Behauptung des Herrn CANTOR ersehen. Die zwei soeben genannten Arbeiten waren schon vor der Herausgabe der ersten Auflage der Vorlesungen zugänglich; ein später veröffentlichter Beleg für die Unrichtigkeit der Behauptung ist die von CURTZE 1898 zum Abdruck gebrachte Algorismusschrift.

G. ENESTRÖM.

13:911, siehe BM 8,, 1907/8, S. 79–80.

Über Bemerkungen zu den Bänden 2 und 3 der „Vorlesungen" siehe

S. 189-215.

Anfragen.

136. Über eine im Mittelalter übersetzte arabische Schrift algebraischen Inhalts. In der Pratica d'arithmetica (siehe die Ausgabe 1548, Bl. 71) wird von GHALIGAI eine Übersetzung einer arabischen Algebra erwähnt, wo die sieben Terme Geber, Elmechel, Elchal, Elchelif, Elfazial, Buram und Eltermen vorkommen. Daß die betreffende Algebra nicht die des ALKHWARIZMI ist, scheint daraus hervorzugehen, daß, wie mir Herr SUTER mitteilt, der von ROSEN herausgegebene arabische Text jedenfalls nicht die Terme Elchelif, Buram und Eltermen enthält.

Gibt es unter den jetzt bekannten arabischen Traktaten über Algebra irgendeinen, wo die sieben Terme vorkommen? Kommen diese Terme vielleicht in der noch nicht näher untersuchten lateinischen Algebra des Pariser Ms. 7377 A vor, dessen arabisches Original nach G. SACERDOTE (Il trattato del pentagono e del decagono di ABU KAMIL SHOGIA; Festschrift zum achtzigsten Geburtstage MORITZ STEINSCHNEIDERS, Leipzig 1896, S. 171) von ABU KAMIL SCHODJA BEN ASLAM verfaßt ist?

G. ENESTRÖM.