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gnetstäben, bei denen es misslich wäre, eine genau gearbeitete Form und eine homogene Masse anzunehmen, noch andere Theile dazutreten, z. B. der Spiegel, deren Moment der Trägheit nicht zu berechnen ist, finden diese Lehren der Mechanik keine Anwendung. Diese Schwierigkeit hat Gauss durch ein scharfsinniges Verfahren überwunden. Wir wollen zuvörderst bemerken, dass, was die Art betrifft, wie man jetzt die Magnetnadeln beobachtet, sie so häufig beschrieben worden, und auch schon so vielfältig angewandt wird, um eine Erläuterung derselben hier überflüssig zu machen ?). Schwingt eine horizontale Nadel, so ist bekanntlich für eine

2 M Schwingung, die von der Amplitude unabhängig ist, t?=

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die Zeit, 9 die Intensität der Erdkraft nach dem Horizont zerlegt, h die Summe der magnetischen Momente mit Bezug auf die magnetische Axe, (siehe vorigen Abschnitt), und M das Moment der Trägheit ist. Im Folgenden wird es sehr nöthig sein, an die Zeit t alle Correctionen anzubringen; was jedoch diejenige für die Amplitude betrifft, so übergehen wir sie hier, weil sie hinlänglich bekannt, und jetzt sogar bei den kleinen Amplituden, in welchen die schweren Magnetstäbe schwingen, sehr viel unbedeutender ist, als früher, wo man wegen der Kleinheit der Nadeln genöthigt war, sie in grossen Bogen schwingen zn lassen. Dagegen wird nunmehr bei den bedeutenden magnetischen Massen, die Torsionskraft beträchtlicher, und ist genau in Rechnung zu ziehen, da sie die Dauer einer Schwingung verkürzt.

Es sei die Magnetnadel so aufgehängt, dass durch ihre Richtung der Faden, an welchem sie befestigt, nicht aus seiner Ruhelinie kommt. Dreht man hierauf den Faden v Grade um sich, und bildet die Nadel mit dem Meridian den Winkel u, so ist nach wohlbekannten Sätzen

gh sin u= (v-u) oder, da u ein kleiner Winkel, gh. u=(v-u).

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diese Grösse mit n bezeichnct. Braucht nun der Magnetstab zu einer Schwingung, nach angebrachter Correction wegen der Amplitude, die

*) Ausserdem findet man das Nöthige in dem Werke von Gauss und Weber: Resultate der Beobachtungen des magnetischen Vereins. Göttin

gen 1837.

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haben tı

2

2

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n+1

n

Zeit t, so hat man t?

ght Ohne hinzutretende Torsion, würde diese Zeit t, sein, und man würde

*PM

gh Den Werth von t?, um den es sich handelt, erhält man daher aus dem beobachteten, wenn man ta mit multiplicirt, wodurch der Einfluss der Torsion herausgeschafft ist.

Die Grösse a hängt, wie man weiss, von den Dimensionen und der Substanz der Fäden oder Dräthe ab. In der Regel wendet man ungedrehte Seidenfäden an, wie sie im Handel vorkommen, und von denen jeder gewöhnlich aus 4 einfachen Coconfäden besteht. Gauss giebt an, dass ein solcher beinahe 30 Grammen zu tragen vermag, wonach also die Zahl der Fäden ungefähr berechnet werden kann, die im Stande sind, einen Magnetstab von einem gegebenen Gewicht zu tragen. Dié Torsion fällt bei Anwendung von Seidenfaden viel geringer aus, als wenn man einen gleich langen Metallfaden nehmen würde, der dasselbe Gewicht zu tragen vermag. Inzwischen bieten die Seidenfaden mehrere Unbequemlichkeiten dar; sie dehnen sich anfangs, wenn sie zu tragen bekommen, sehr aus, verändern ferner ihre Länge, je nach dem Zustand der Feuchtigkeit der Luft, und endlich ist ihre Torsionskraft, wie Gauss durch Versuche ermittelt, verschieden, je nach dem Gewichte, das sie spannt, und zwar ist sie grösser, wenn das Gewicht vermehrt wird. So wurde S=0,00167.gh gefunden, als die Seidenfäden nur die Nadel, d. h. ein Gewicht von 496,2 Grammen: trugen, hingegen war = 0,0023542.gh, als das Gewicht bis auf 710,8 Gr. vermehrt wurde. Bei Metallfäden aber lehren die Versuche Coulomb's, dass ihre Torsionskraft von dem Gewichte, das sie tragen, unabhängig ist. Es dürfte daher am zweckmässigsten sein, die Dimensionen der Magnetstäbe zu vergrössern und Metallfäden anzuwenden, wie dies auch bereits geschieht, da man Stäbe von 25 Pf. Gewicht gebraucht.

- Folgendes Beispiel von Gauss wird der Methode, den Werth von n za bestimmen, zur Erläuterung dienen.

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Während dieser Versuche wurde zugleich eine andere Nadel beobachtet, uin die stattfindenden Variationen der Abweichung in Rechnung ziehen zu können. Diese letztere bewegte sich während dess nach der entgegengesetzten Seite und zwar um 34,4“ bei der Beobachtung II, und um 53,3" bei der Beobachtung III. Diese Veränderungen sind also zu addiren, und es ergiebt sich.

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Und dieser grosse Werth von n zeigt, dass in der That die angewandten Seidenfaden eine sehr geringe Torsionskraft besassen.

Um nun das Moment der Trägheit eines Stabes zu bestimmen, befestigt Gauss auf demselben eine schmale Leiste, und lässt von derselben zwei Gewichte (p), in der Entfernung (ru) von der Aufhängeaxe, und in einer und derselben verticalen Ebene mit ihr, herabhängen, welche Gewichte mittelst feiner Spitze auf dem Holze stehen. Das Moment der Trägheit wird nunmehr M+C+2pr,?, wo die Grösse C, welehe mit Bezus auf r, eine Constante ist, einmal das Trägheitsmoment der hölzernen Leiste enthält, welches unveränderlich ist, und dann einen Theil des Trägheitsmoments derjenigen Theile des Gewichts, welche sich in einer verticalen Ebene befinden, die durch den Schwerpunkt der Gewichte und senkrecht auf der magnetischen Axe stehend, gelegt worden. Befindet das Gewicht sich unterhalb des Magnetstabes, und ist die Spitze, durch welche es auf derselben steht, mittelst eines upbiegsamen Drahtes mit dem Gewicht verbunden, so sind z. B. die Theilchen dieses Drahtes nicht in der Entfernung r, von der Schwingungsaxe; inzwischen kann das Quadrat ihrer eigentlichen Entfernung gleichgesetzt werden r,2 +a’z, wo a die Entfernung der Theilchen von der verticalen Linie bezeichnet, welche durch die Spitze und den Schwerpunkt des Gewichts geht, und sich mit r, nicht ändert. Für dergleichen Massentheile setzt sich das

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Trägheitsmoment demnach aus einem constanten und einem von r,
abhängenden Gliede zusammen.
Schwingt demnach eine so beschwerte Nadel, so hat man

og 2
ti (M+C+2pr, )

2

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2

2

2px?

1

X

ta? (M+C+2 pr, ?) a. s. f.

gh

M+C Wird in diesen Gleichungen

y,

gesetzt, so 2p

gh erhalten die Gleichungen die Form t,'

r2? +y ta

U. S. W.,

2 1

+y

X

2

X

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wo y und x, falls man mehrere Beobachtungen anstellt, nach der Methode der kleinsten Quadrate zu bestimmen sind. Mittelst des Werthes von x erhält man unmittelbar gh=2px?x, and ist gh bekannt, dann ist es auch M. Man braucht zu dem Ende nur den Stab unbeschwert schwingen lassen. Ist endlich M bekannt, so erhält man C aus dem Werthe für y.

Soll man die Methode der kleinsten Quadrate zur Bestimmung von x und y anwenden, so muss man für die letztern angenäherte Werthe annehmen, und ihre Correctionen Axund Ay berechnen. Bezeich

ri+y nen x und y diese Annäherung, setzt man

2

= A12

SO

X

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Ay

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erhält man nach dem Taylor'schen Satze

1 to=A,

Δx

2x

1 t=A, +

A, A x a. s. f., welche

. 2A, X Gleichungen in Bezug auf Ay and Ax nach der Methode der klein sten Quadrate zu behandeln sind.

Gauss führt am angeführten Orte folgendes Beispiel an. Ein
Magnetstab brauchte zu einer Schwingung
I

unbeschwert 15,24515" =
Il mit Gewichten r;=180mm 24,65717
III

20,79228 = tz
IV

17,68610

tz V

15,82958 Jedes der beiden, genau gleich schwer zu wählenden Gewichte

= ti

r2 =130 rg - 80 r4 = 30

X=

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betrug 103257,2 Milligrammen (der unbeschwerte Magnetstab wog 96,2 Grammen). Die angegebenen Zeiten sind bereits corrigirt 1) wegen der Veränderung der Intensität des Erdmagnetismus im Laufe des Versuchs, welche Veränderung durch die Schwingungsdauer einer andern Nadel ermittelt wurde, 2) wegen der Torsion, und zwar fand sich der Werth von n, wie bereits angegeben, für den beschwerten und unbeschwerten Stab verschieden, 3) wegen der Amplitude und 4) wegen der Retardation der Uhr gegen mittlere Zeit. Aus den Beobachtungen II und IV ergiebt sich x= 88,13646

y 21184,85

gh= 179641070 aus der Beobachtung I

M=4230282000. Mit diesen angenäherten Werthen ergiebt die Methode der kleinsten Quadrate

88,10416 y = 21172,47 gh= 179575250

M = 4228732400, C=143686600. Wie genau sich diese Werthe den Beobachtungen anschliessen, ersieht man, wenn man mittelst derselben die Werthe tı, tz u.s.w. berech net. Es finden dann folgende Differenzen statt, II + 0,00167"

III

0,00454 IV + 0,00436

V 0,00153. Ich hatte diese Bestimmung des Trägheitsmoments wiederholt, um hier über das practische Detail, welches in der ersten Abhandlung von Gauss nicht mitgetheilt worden, das Nöthige angeben zu können. Seit der Zeit jedoch, wo das angeführte Werk von Gauss und Weber erschienen, welches diesem Mangel abhilft, hat dies weiter kein Interesse, und ich begnüge mich hier auf jenes Werk zu verweisen.

Wir wollen noch darauf aufmerksam machen, dass sich das Trägheitsmoment eines Stabes auch bestimmen lassen wird, ohne dass derselbe zu schwingen braucht. Denn umgiebt man denselben mit Kupferdraht nach Art eines Galvanometers, und erregt in diesem einen magneto-elektrischen Strom, so wird, nach den bisherigen Versuchen, eine sehr constante Ablenkung erhalten. Die Kraft des Stromes ist dann proportional dem Sinus des halben Ablenkungswinkels (a) und der Quadratwurzel aus dem Moment der Trägheit des Stabes. Beschwert man den letzteren also mit Gewichten, so wird die

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