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Ablenkung durch denselben Strom verringert, und man erhält für sin. La ähnliche Bedingungsgleichumgen, wie die obigen für t sind.

VI. Ueber die Ablenkung einer horizontal beweglichen

Nadel durch einen Magneten. Dies Problem ist ein sehr altes, und von dessen Lösung hängen einige der wichtigsten Aufgaben im Gebiete des Magnetismus, die Abnahme der magnetischen Wirkung mit der Entfernung, und die Bestimmung der absoluten magnetischen Erdkraft ab. Vielfältige Versuche sind von jeher gemacht worden, dasselbe zu lösen, die aber jetzt wenig Interesse darbieten, seitdem Gauss das Problem in seiner Allgemeinheit aufgestellt und so gelöset hat, dass nichts zu wünschen übrig bleibt. Wir theilen im Folgenden diese schöne Untersuchung mit, indem wir noch einmal bemerken, dass wir von einer Magnetnadel nur der leichtern Verständigung wegen, und um den beweglichen Magneten vom ruhenden zu unterscheiden, reden.

Wenn ein Stab eine horizontal bewegliche Nadel ablenkt, so kommen drei Kräfte in Betracht, die sich das Gleichgewicht halten: die Richtkraft der Nadel, die Torsion ihres Fadens, und endlich die Anziehung und Abstossung des Magneten. Gauss bildet die Bedingungsgleichung des Gleichgewichts mittelst des Prinzips der virtuellen Geschwindigkeiten. Es bezeichne W die Summe der Producte aus den Kräften in die unendlich kleinen Bewegungen der Punkte, auf welche sie wirken, und zwar in der Richtung der Kräfte genommen: so ist die Bedingung des Gleichgewichts, wie sie jetzt ausgesprochen wird, diese: dass W für keine, mit den sonstigen Bedingungen des Systems verträgliche Bewegung einen positiven Werth annehmen dürfe. Da nun in dem Falle, der uns beschäftigt, die Bewegung einer am Faden aufgehängten Nadel betrachtet wird; da dieser Faden keine andere Bewegung verhindert, als diejenige, welche ihn zu verlängern strebt; da also die Bewegung der Nadel in der horizontalen Ebene, welche in einer Veränderung der Ablenkung oder des Azimuthu besteht, völlig frei ist, und daher sowohl nach der einen als nach der entgegengesetzten Seite hin gerichtet sein kann: so muss für diesen Fall W=0 sein.

Es seien x, y, z die rechtwinklichten Coordinaten eines Punktes der Nadel, gezählt von einem Punkte h in der Drehungsaxe; és bezeichne e den freien Magnetismus des Punktes. Liegen x und y

,

2

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horizontal, 'und x in der Richtung des magnetischen Meridians, so ist derjenige Theil von W, der durch die Richtkraft der Nadel entsteht gedx, mit die horizontale Intensität der Erdkraft bezeichnet.

Es seien ferner X, Y, Z die Coordinaten eines Punktes im Stabe, E sei freier Magnetismus; die Entfernung desselben von dem in der Nadel betrachteten Punkte wird sein r=V (X-x)? +(Y-y)2+(2-2) 2 Nimmt man an, die magnetische Kraft wirke umgekehrt wie die nte Potenz der Entfernung, so tritt zu W, wegen der Entfernung des

Eedr Magneten, das Glied

r Endlich ist noch die Torsion zu betrachten. Wenn die Nadel im Zustand des Gleichgewichts um den Winkel u aus dem Meridian gelenkt ist, so wird der Faden im Allgemeinen bei einem Winkel N ohne Torsion sein. Die Drehungskraft, welche durch die Torsion bewirkt wird, ist also (N-u), und in die unendliche kleine Bewegung nach der Richtung der wirkenden Kraft multiplizirt (N—u)du.

Eedr
Somit ist W=9edx+ +N-a) du,

r" wo das Summationszeichen des ersten Gliedes alle möglichen Punkte der Nadel, und das im zweiten Gliede die sämmtlichen Combinationen aller Punkt im Stabe und in der Nadel bezeichnet.

Dieser Ausdruck muss = o sein, oder wenn man ihn integrirt, so lässt sich die Bedingung des stabilen Gleichgewichts dahin angeben, dass

Ee ΦΣ ex-Σ;

(n-1)/(0-1) - ** (N—u)? ein Maximun werde mit Bezug auf u; würde es ein Minimum, so wäre das Gleichgewicht von der Art, wie man es instantan nennt. Es macht jedoch keine Schwierigkeit, beide Fälle von einander zu unterscheiden.

Um den letzten Ausdruck nach u zu differentiren, und das Differentiale = 0 setzen zu können, müssen die Grössen x and r der ersten beiden Glieder in u ausgedrückt werden; das letzte enthält diesen Werth bereits.

Statt des Coordinatensystems sollen deren zwei angenommen werden, das eine in der Nadel von einem Punkte k ausgehend, und so gelegt, dass die horizontale Axe der a mit der magnetischen Axe zusammenfalle; die Axe der b steht darauf senkrecht und ist ebenfalls horizontal gerichtet; die Axe der c steht vertical. Das andere Coordinatensystem liegt in dem Stabe, der, wie vorausgesetzt wird, sich mit der Nadel in ungefähr derselben Höhe befindet. Der Anfangspunkt dieser Coordinaten ist der Punkt K, der mit dem entsprechen

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den Punkte k sich in derselben horizontalen Ebene befindet, die Axen A und B liegen horizontal, die erstore fällt mit der magnetischen Axe des Stabes zusammen; die Axe C steht, vertikal.

Da hier zwei isolirte Coordinatensysteme angenommen, so muss die gegenseitige Lage beider gegeben sein. Zieht man zwischen k und K eine gerade Linie, so muss angegeben werden

1) die Grösse dieser Linie oder R,

2) der Winkel, den sie mit dem magnetischen Meridian billet oder 4.

Durch R und of wäre allerdings der Punkt K mit Bezug auf das Coordinatensystem der Nadel gegeben, allein die Lage des Stabes wäre noch in so fern beliebig, als man den Stab um diesen Punkt drehen könnte. Um diese Lage völlig zu bestimmen, muss

3) noch der Winkel gegeben sein, den die magnetische Axe des Stabes, oder die Axe der A mit dem Meridian bildet, und dieser Winkel werde mit U bezeichnet.

Durch R, ¥ und U sind beide Coordinatensysteme mit einander verbunden. Gauss bezieht, wegen grösserer Allgemeinheit, den Punkt K auf einen Punkt k, in der Nadel, in derselben horizontalen Ebenc, und nahe an k liegend. Denn, wenn der Stab, wie es die Versuche erfordern, in verschiedenen Entfernungen R gebracht wird, so bleibt dabei der Punkt K immer in einer und derselben geraden Linie, die aber nicht nothwendig durch den Pankt k gehen wird. Es seien Og B die Coordinaten des Punktes k in der horizontalen Ebene; die verticale Coordinate dieses Punktes ist der Annahme nach = 0. Bildet nunmehr die magnetische Axe der beweglichen Nadel mit dem Meridian den Winkel a, so erhält man für die frühern Coordinaten x, y, 2, X, Y, Z, zufolge bekannter Sätze über die Transformation der Coordinaten, folgende Werthe:

- b sin. u y = a sin. u + b cos. a

Xa cos. U

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ZC

X=a+R cos. af + A cos. U - B sin. U
Y=B+ R sin. 4 + A sin. U + B cos. U

Z=C welche Werthe in den obigen Ausdruck, der ein Maximum werden soll, zu setzen sind. Sein erstes Glied gex wird dadurch gcos. u Zea-o sin. Seb, wo das letztere verschwindet, weil Xeb die Summe der Momente des freien Magnetismus mit Bezug auf die Axe der bist, welche senkrecht auf der magnetischen Axe steht. Sea ist

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2

dasselbe Moment, aber für die magnetische Axe genommen; wir werden es mit h bezeichnen. Somit wird y ex = 9hcos, u, und nach u differentiirt gh sin. u.

1

Ee Bei dem zweiten Gliode

wird es für unsern Zweck

r(0-1) auf eine Entwicklung nach negativen Potenzen von R ankommen, weil diese Grösse in Bezug auf die übrigen linearen Grössen, d. h. in Bezug auf die Dimensionen des Stabes und der Nadel, immer beträchlich ist. Die einfachste Form, in welche man zum Behuf dieser Entwicklung die Grösse p2 oder (X-x)2+(-y)2+(2--z)2 bringen kann, ist diese

r =(R+9')+1
wo q=acos.*-+bsin. + Acos. (43 — U) +-Bsin. (1-U)

acos. (4 —u) — bsin. (4. - u)
I=[asin.” — Bcos.*+A sin. (1)- U) - Beos. (4- U)

y

-asin. (v-u) + bcos. (\-- a)]2+(C-—c)? 1

1 Daher wird

pn–1[(R-+-q*)+1]"7

? Entwickelt man nun diesen Ausdruck zuerst nach negativen Po tenzen von R+q, so wird

I
1

1 (n−1)n 1 das erste Glied

(n-1)9

+

-9 (R-+-"-1

1.2 (n-1) 1

(n-1)

1 zweite

1
2 (R+q)uti

2
und so ergiebt sich
1 1
1 -1)

1
+
R4--1

2

R"41
n+1

1
- -(n-1) 99
6

2

Еer
Diese Reihe ist init zu multipliziren, für E und e alle mög-

(1-1) lichen Werthe zu setzen und zu summiren.', Berücksichtigt man nun, dass Ee und E als die Summen des Magnetismus in der Nadel und im Stabe = o sind, dass eben so, nachdem was im Abschnitt über die magnetische Axe bemerkt worden, Seb, sec, SEB, SEC verschwinden, so fallen die beiden ersten Glieder der Reihe fort, und das erste Glied von den zu berücksichtigenden wird

1
n&qEe-Ee multiplizirt in
Aus demselben Grunde aber bleibt hierin

2

it...

RO-1

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Rutit.

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(n − 1)9R1

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R"

n

von që nur das Glied - 2 Aacos. (^-- U)cos. (x – u)
1

- 2 Aa sin. (-U) sin. (1) - u). Bezeichnet man daher das magnetische Moment des Stabes mit h, wie das der Nadel mit h, so wird das erste zu berücksichtigende Glied hh, (ncos

. (4 –

,— U)cos. (4 — u) - sin. (4 -- U) sin. (y—u)) R•+1 (Die Zeichen unter der Klammer sind entgegengesetzt, weil das ganze

Ec
Gliedig negativ ist.)

)
r-

1 1 Die Coeffizienten von

U. S. w. brauchen nicht wei

R9+2? Rn+39 ter entwickelt zu werden, da ihre Kenntniss in der Folge nicht nöthig ist. Differentiirt man das erste Glied nach u, so ergiebt sich

hh, (ncos. (¥— U)sin. (4 — u)+-sin. (4- U)cos. (*— u))=f' und daher wird die Bedingungsgleichung für das Gleichgewicht der Nadel

f

f o=-gh sin, uof

+ >(u-N)+(u-N).

-N. R6:1 Rut2 Da die Magnetnadel möglichst ohne Torsion aufgehängt, jedenfalls N unbedeutend anzunehmen ist, da u in den Versuchen auch nur ein kleiner Winkel und á gegen g unbeträchtlich ist, so kann man für Şu-N) auch schreiben sin. (u-N), und die Summe 9hsin. utasin. (u - N) auf folgende Weise in einem Gliede darstellen.

Es sei u, der Winkel, welchen die Nadel mit dem Meridian bildet, falls kein zweiter Magnet sie ablenkt. Setzt man für u 4,+(u-u,) so, wird ghsin.u+asin.(u-N)=(qhsin. u, +asin. (u. --N))cos. (u-u.)+(ghcosu, +scos(u --N)) sin. (u-u.) Das Glied aber, welches in cos.(u-u.) multiplizirt ist, verschwindet, wegen der Natur des Werthes von u., nach welcher ghsin. U. = sin. (N-0,).

Daher ist ohsin.a+*sin. (u — N)=(ghcos. u, + cos. (u, -N)) sin.(u-u.), und da u, und N kleine Winkel sind, unbedenklich

ghsin. utasin.(u— N)=(ph-+*)sin.(u-u,). Man erhält daher folgende Gleichung zur Bestimmuug des Win

+

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0

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f f11 R"+2

+

R4-+3

11*

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