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.

- U

1

wo jedoch dic Coeffizienten f, f, f" ebenfalls noch den Winkel u enthalten. Um denselben aus der Reihe rechts, mindestens aus denjenigen Gliedern fortzuschaffen, die später zur Anwendung kommen werden, wollen wir zuerst nur das erste Glied f betrachten und annehmen, man berücksichtige nur dieses. Dann wäre (ph+a) sin. (u-u,)=hh, (ncos. (— U) sin.(y-u)

+sin(x-U)cos. (x-u) R-(n-+1) Setzt man in den Ausdruck rechts für u, u,+(u-u.), so erhält man tg(u-0.)=

hh, (n cos. (4- U) sin.(y-u.)+-sin. (1)-U)cos. (y)-u.) R-(n+1) gh+*+hh, (ncos. (-U)cos. (14-u, --sin. (1-U)sin. (y-u.))R-("+-1)

1.4.1 Das Glied, welches in R-(n+1) multiplizirt ist, ist also dem frühern Werthe von f ganz ähnlich, nur dass darin u nicht mehr vorkömmt, sondern durch u, ersetzt ist; ausserdem ist es noch durch gli-ta dividirt. Was aher den übrigen Theil des Divisors betrifft, so giebt er bei der Entwickelung, wegen seines Factors R-(n+1), der an den gleichen Factor dles Dividenden tritt, Glieder von der Ordnung R-2(1+1), die hier nicht in Betracht kommen.

Man kann auf ähnliche Weise verfahren, indem man von der Reihe für sin. (u- 1.) die andern Coeffizienten betrachtet, und' crhält daher folgende neue Reihe

1

gó 1 tg (u -- u.)

t. ghta R(u+-1)

gh-taR(u-+2) F

+

R(n+-1) wo g, g', g“ dieselben Coeffizienten als f, f', .... sind, indem nur in den letztern für u, 10 gesetzt worden. Diese Aehnlichkeit beider

1 Reihen hört inzwischen mit dem Gliede auf, welches in

mul

R2(0+1) tiplizirt ist, aus dem eben nachgewiesenen Grunde.

Statt der Tangente kann man auch den Bogen (u~u0) in eine solche Reihe entwickeln, die genau dieselben Coeffizienten F, F1, F, ...

1 enthält, bis zu demjenigen hin, welcher in multiplizirt ist.

R3(+-+1) Es leuchtet dieses augenblicklich aus der bekannten Relation zwischen dem Bogen uud der Tangente ein, nach welcher....x=tgx - tgx +tgox ....

+

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+

R(1-2)

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um

Lässt man den Winkel U, durch welchen die Lage des Magnetstabes gegen den magnetischen Meridian bestimmt wird, um 180° sich verändern, d. h. legt man den Stab entgegengesetzt, so dass sein Südende dahin weiset, wo früher sein Nordende, so wird die Nadel nach der entgegengesetzten Seite abgelenkt werden, und zwar den Winkel – Un. Dieser letztere wäre nun in dem Falle = , wo 0,=0, d. b. wo die freie Nadel im Meridian selbst zur Ruhe kömmt, und wenn zugleieh der Magnetismus des Stabes und der Nadel symmetrisch vertheilt ist. Da aber F weder von u noch u, abhängt, so wird trotz des Mangels an Symmetrie und des von o verschiedenen Werthes von ud, die Beobachtung mit dem entgegengesetzt liegenden Stabe eine Reihe ergeben, die mit demselben Werthe von F anfängt. Nur wird das Zeichen desselben entgegengesetzt sein, weil cos.(y-U) und sin. (¥– U) ihr Zeichen ändern, wenn für U, 180 + U gesetzt wird. Aus dem Vorhergehenden erhellt also, dass auch ilu-u,) und dann tg ž (u —u,) in ähnliche Reihen zu. entwickeln sind, deren erster Coeffizient F ist.

Man kann ferner auch y um 1800 verändern lassen, d. h. den: ablenkenden Stab 'auf die entgegengesetzte Seite der Nadel legen. Macht man in dieser Lage ebenfalls zwei Beobachtungen u, und uz, indem man den Magnetstab in die Lagen U und 180+U bringt, so gilt dasselbe für {(u, -uz) und tg i (u, -u3), was so eben, für' }(u-a,) und tg (u-ui) angegeben worden.

Wäre der Exponent n, der das Gesetz der Wirkungsabnahme der magnetischen Kraft ausdrückt, eine ungerade Zahl, so würden, wenn man die beiden Reihen für u-ug und u, -u, mit einander vergleicht, die ersten, dritten, fünften u. s. w. Coeffizienten, d. h. die Coeffizienten der ungeraden Ordnungszahl einander gleich sein,

die Coffizienten von der geraden Ordnungszahl ebenfalls gleich, aber dem Zeichen nach entgegengesetzt. Dasselbe gilt für die Reihen u und, ug—u,. Somit ist es leicht einzusehen, dass in diesem Falle

u + ua und a, tug Reihen ergeben, wo die alternirenden Glieder, welche in R-(v+), R-(+) a. s. w. multiplizirt sind, verschwinden.

u In der Wirklichkeit jedoch ist n eine gerade . Zahl und zwar = 2; hierbei findet das Angegebene nicht statt, denn schon vom Gliede, welches in R-2(n+1) multiplizirt ist, werden die alternirenden Coeffizienten nicht mehr gleich und dem Zeichen nach entgegengesetzt. Bei der Entwiekelupg von tgíu-u,) ads sin. (u-0.) sahen wir

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R++3

1

(nc

n cos. (4- —-U)sin. (4—w.)+sin.(4 — U)cos. (4 —u.)).

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3

zu dem Glicde R-2(+1) ein anderes hinzutreten, welches, wenn für

, 180+4 gesetzt wird, sein Zeichen nicht ändert. Da ņun 2(n+1) einc gerade Zahl ist, so gehört das. Glied mit dem Factor R-2(n+1) demnach zu den Gliedern der ungeraden Ordnungszahl, wenn n ungerade ist; dagegen zu den Gliedern der geraden Ordnungszahl, wenn n, wie in der Wirklichkeit, = 2 oder überhaupt gerade ist.

Jedoch heben sich selbst für eine gerade Zahl o die alternirendlen Coeffizienten der Reihe (u-u,+u, -0,) auf, und man crhält also

L L L" tg (u-u, -u, -uz)

+

Rn+2 wo immer noch L dem frühern F gleich ist, also

hh

ghts Die Grösse (u-u,+u, — ug) ist der arithmetische Mittelwerth aus den vier beobachteten Ablenkungen; die Zeichen - bei u, und Uz rühren davon her, dass diese Winkel nach der entgegengesetzten Seite liegen; und daher an sich negativ genommen werden müssen. werden in der Folge diesen Mittelwerth mit v bezeichnen.

Die Lage des ablenkenden Stabes ist bis jetzt beliebig angenommen worden; bei der Anwendung der entwickelten Formel ist, es aber nöthig x und U zu messen, welches ohne Fehler nicht zu bewerkstelligen sein wird. Die Fehler bei der Bestimmung von und U werden einen verschiedentlichen Einfluss je nach der Grösse dieser Winkel ausüben, und man hat diese letztern daher so zu wählen, dass dieser Einfluss auf das erste Glied F, dem wir im Vorhergehenden ausschliesslich Aufmerksamkeit geschenkt haben, und dass in der Folge gebraucht werden wird, ein Minimum werde. Dies wird dann der Fall sein, wenn und U so gewählt werden, dass F in Bezug auf sic ein Maximum oder Minimum wird. Man hat folglich F nach beiden Grössen zu differentiiren, und die Differentialquotienten einzeln der Null gleich zu setzen, wodurch man folgende zwei Gleichungen erhält: nsin.(-U)sin.(4--1,)-cos.(--U)cos. (V-u,)=0

(n-+-1) cos.(24-U-0)=0
Man kann ihnen auf zwei verschicdene Weisen genügen:

1.
U - 90

270

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U S 90
270

U =270
Eigentlich müsste in diesem Schema für überall --1, ge-

☺ schrieben werden, jaloch ist bei den Beobachtungen 1, ein so kleiner Winkel, dass er hierbei zu vernachlässigen ist, ausserdem ist auch u, bei länger dauernden Versuchen nicht einmal .constant. Da \ der Winkel ist, den der Stab mit dem magnetischen Meridian der Nudel bildet, U derjenige, welcher seine magnetische Axe mit dem Meridian einschliesst, so ergiebt sich, dass nach der ersteren Art die Verlängerung der Nadel den Stab senkrecht trifft, nach der zweiten die Verlängerung des Stabes senkrecht steht auf der Nadel, vorausgesetzt, dass sie sich in allen Fällen im Meridian befindet. Ferner liegt der Stab nach I. nördlich oder südlich von der Nadel, nach II. östlich oder westlich; in allen Fällen aber schneidet seine magnetische Axe den Meridian rechtwinklicht.

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hli,

Für das System I. wird der erste Coeffizient der Reihe F=

ghts

nhh,

ghta und da n grösser als 1, so entspricht die Lage des Stabes im ersteren Falle dem Minimum der Anzichung, im zweiten dem Maximum.

II.

VII. Beweis, dass die magnetische Kraft, im amgekehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernungen

abpehme, ' Wenn eine Kraft nach allen Seiten hin gleichmässig wirkt, so ist es freilich am wahrscheinlichsten, dass sie sich umgekehrt wie das Quadrat der Entfernung verhalte; allein von diesem Schlusse bis zu dem eigentlichen Beweise ist in der Regel noch ein grosser Schritt. Bei der magnetischen Kraft sollte er deshalb noch grösser sein, als bei andern Kräften, weil man es hierbei mit zwei entgegengesetzten Kräften zu thun hat, dic nicht von einander zu trennen sind, so

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dass es doppelt schwierig ist, gerade für diese Kraft das Gesetz der Molekularwirkung zu finden. Nichts desto weniger haben Coulomb und vor Allen Hansteen in seinem berühmten Werke über den Magnetismus es durch vielfältige Versuche ziemlich sicher begründet; Gauss jedoch hat die Richtigkeit desselben entschieden nachgewiesen.

Im vorigen Abschnitte haben sich zwei vortheilhafte Methoden ergeben, einen Magnetstab auf eine Nadel einwirken zu lassen, von denen die eine dem Maximum, die andere dem Minimum der Anziehung oder Abstossung für einen gegebenan Werth von R entspricht. Da jede einzelne Beobachtung, wie bemerkt, aus vier Ablesungen besteht, deren arithmetischer Mittelwerth in die Rechnung tritt, so werden wir denselben für das Maximum mit V, für das Minimum mit v bezeichnen. Gauss theilt hierüber folgende, Beobachtụngsreihe mit:

R

V

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2

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1° 57' 24,811

1 29 40,5 2° 13' 51,211|| 1 10 19,3 1. 47 28,60 55 58,9 1 27 19,1 0 45 14,3 1 12 7,6|| 0.37 12,2 1 0 9,9 0, 30, 57,9. 0 50 52,5 || 0 25 59,5 0 43 21,8 | 0 22 9,2 0 37 16,20 19 1,6 C 32

4,6 | 0 16 24,7 0 18 51,9|| 0 9. 36,1 O 11 0,7 0

5 33,7 0 6 56,9

0

3 28,9 0

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4 35,9

2 22,2

""Núh ist' dem vorigeni" Abschuitt" zufolge

Pi

np
R("--11+

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11

tg V

P
R(+3)

R(nt 5)

! Juin

р
tg v

Q
R(n-1) +
- R(1+3) + R(n+- 5)'
n

Rinop:) 30 dass das Verhältniss der ersten Coeffizienten beider Reihen = 1 ist. Die eben angeführten Zahlen zeigen nun deutlich, dass

tg V

tg v V oder

sich mehr und mehr der 2 nähern, je grösser R ist; ferner ver

V

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