zu dem Gliede R-2(+1) ein anderes hinzutreten, welches, wenn für , 180+ gesetzt wird, sein Zeichen nicht ändert. Da nun 2(n-+-1) eine gerade Zahl ist, so gehört das Glied mit dem Factor R−2(n+1) demnach zu den Gliedern der ungeraden Ordnungszahl, wenn n ungerade ist; dagegen zu den Gliedern der geraden Ordnungszahl, wenn n, wie in der Wirklichkeit, = 2 oder überhaupt gerade ist. Jedoch heben sich selbst für eine gerade Zahl n die alternirenden Coeffizienten der Reihe (uu1+¤1⁄2—¤ ̧) auf, und man erhält also + + Rati Rn+2 Ru+3 wo immer noch L dem frühern F gleich ist, also gh+ (ncos. (1)—U)sin. (4)—u, )+sin.(4 — U) cos. (1) .... Uo und Die Grösse (u-u,+u1⁄2—u ̧) ist der arithmetische Mittelwerth aus den vier beobachteten Ablenkungen; die Zeichen bei u u rühren davon her, dass diese Winkel nach der entgegengesetzten Seite liegen; und daher an sich negativ genommen werden müssen. Wir werden in der Folge diesen Mittelwerth mit v bezeichnen. Die Lage des ablenkenden Stabes ist bis jetzt beliebig angenommen worden; bei der Anwendung der entwickelten Formel ist.cs aber nöthig und U zu messen, welches ohne Fehler nicht zu bewerkstelligen sein wird. Die Fehler bei der Bestimmung von und U werden einen verschiedentlichen Einfluss je nach der Grösse dieser Winkel ausüben, und man hat diese letztern daher so zu wählen, dass dieser Einfluss auf das erste Glied F, dem wir im Vorhergehenden ausschliesslich Aufmerksamkeit geschenkt haben, und dass in der Folge gebraucht werden wird, ein Minimum werde. Dies wird dann der Fall sein, wenn und U so gewählt werden, dass F in Bezug auf sie ein Maximum oder Minimum wird. Man hat folglich F nach beiden Grössen zu differentiiren, und die Differentialquotienten einzeln der Null gleich zu setzen, wodurch man folgende zwei Gleichungen erhält: n sin. (— U) sin. (4 — u ̧ ) — cos. (4 —U) cos. (✨ — u。)=0 (n−11) cos. (2 4 — U—u,)=o Man kann ihnen auf zwei verschiedene Weisen genügen: I. U = 90 U 270. C 0 " Eigentlich müsste in diesem Schema für 屮 überall up geschrieben werden, jedoch ist bei den Beobachtungen u ein so kleiner Winkel, dass er hierbei zu vernachlässigen ist, ausserdem ist auch u bei länger dauernden Versuchen nicht einmal constant. Da der Winkel ist, den der Stab mit dem magnetischen Meridian der Nadel bildet, U derjenige, welcher seine magnetische Axe mit dem Meridian einschliesst, so ergiebt sich, dass nach der ersteren Art die Verlängerung der Nadel den Stab senkrecht trifft, nach der zweiten die Verlängerung des Stabes senkrecht steht auf der Nadel, vorausgesetzt, dass sie sich in allen Fällen im Meridian befindet. Ferner liegt der Stab nach I. nördlich oder südlich von der Nadel, nach II. östlich oder westlich; in allen Fällen aber schneidet seine magnetische Axe den Meridian rechtwinklicht. Für das System I. wird der erste Coeffizient der Reihe F= hh, II. gh+ nhh, gh+ und da n grösser als 1, so entspricht die Lage des Stabes im ersteren Falle dem Minimum der Anzichung, im zweiten dem Maximum. VII. Beweis, dass die magnetische Kraft im umgekehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernungen abnehme, Wenn eine Kraft nach allen Seiten hin gleichmässig wirkt, so ist es freilich am wahrscheinlichsten, dass sie sich umgekehrt wie das Quadrat der Entfernung verhalte; allein von diesem Schlusse bis zu dem eigentlichen Beweise ist in der Regel noch ein grosser Schritt. Bei der magnetischen Kraft sollte er deshalb noch grösser sein, als bei andern Kräften, weil man es hierbei mit zwei entgegengesetzten Kräften zu thun hat, die nicht von einander zu trennen sind, so 1 dass es doppelt schwierig ist, gerade für diese Kraft das Gesetz der Molekularwirkung zu finden. Nichts desto weniger haben Coulomb und vor Allen Hansteen in seinem berühmten Werke über den Magnetismus es durch vielfältige Versuche ziemlich sicher begründet; Gauss jedoch hat die Richtigkeit desselben entschieden nachgewiesen. Im vorigen Abschnitte haben sich zwei vortheilhafte Methoden ergeben, einen Magnetstab auf eine Nadel einwirken zu lassen, von denen die eine dem Maximum, die andere dem Minimum der Anziehung oder Abstossung für einen gegebenan Werth von R entspricht. Da jede einzelne Beobachtung, wie bemerkt, aus vier Ablesungen besteht, deren arithmetischer Mittelwerth in die Rechnung tritt, so werden wir denselben für das Maximum mit V, für das Minimum mit v bezeichnen. Gauss theilt hierüber folgende Be ! 0,7 0 5 33,7 6 56,9 0 3 28,9 4,0 0 4 35,9 0 2 22,2 Nun ist dem vorigen Abschnitt zufolge tg V= nP so dass das Verhältniss der ersten Coeffizienten beider Reihen = n ist. Die eben angeführten Zahlen zeigen nun deutlich, dass V oder sich mehr und mehr der 2 nähern, je grösser R ist; ferner ver halten sich die beiden Reihen von Winkel nahe, wie die dritten Potenzen von R. Daher ist für n im Exponenten 2 zu setzen. Behält man nur die ersten beiden Glieder, so würde man demnach haben tg V R+ + nP P. tg v P Q1 Bestimmt man in den Werthen, welche sich hieraus für V und v ergeben, die Coeffizienten nach der Methode der kleinsten Quadrate, mittelst angenäherter Werthe für dieselben, so findet man das merkwürdige Resultat tg V 0,086870.R-3 0,002185 R5, tg v = 0,043435.R3+0,002449 R ̄5, so dass also die beiden ersten Coeffizienten sich genau wie 2:1 verhalten... Gauss führt an, dass, wenn man bei dieser Rechnung noch ein 1 drittes Glied, welches in multiplicirt ist, beachtet hätte, die GeR7 nauigkeit, der Beachtungsfehler wegen, eher verringert, als vermehrt worden wäre. Da nun n unzweifelhaft = 2, so folgt aus dieser Bemerkung das für die Folge wichtige Resultat, dass in der Reihe nach negativen Potenzen von R nur zwei Glieder beizubehalten sind, oder, bestimmter ausgedrückt, dass, wenn die Länge der angewandten Magnete 0,3m beträgt, wie das der Fall bei den obigen Beobachtungen gewesen ist, und wenn man mit dem ablenkenden Stabe in keine Entfernungen rückt, welche kleiner als das 4fache davon, nehm 1 lich 1,2", sind, dass dann die Glieder von zu vernachlässigen sind. R7 Man kann übrigens, wie aus dem Folgenden erhellt, den Stab noch in eine Entfernung bringen, welche das 3fache der Länge beträgt, VIII. Bestimmung der absoluten Intensität der horizontalen magnetischen Erdkraft. Es bedarf keiner Auseinandersetzung, wie nöthig es sei, die magnetische Erdkraft unabhängig zu machen von der zufälligen und veränderlichen Intensität der Magnete. Bekannt ist es, dass Poisson zuerst eine Methode angegeben hat, diese Aufgabe mittelst der Combination zweier Magnete zu lösen, die von mehreren Physikern, auch von Riess und mir versucht worden ist, jedoch ohne Erfolg. Nach der früheren Art, Magnetnadeln, und zwar kleine, schwingen zu lassen, hing bei der Poisson'schen Methode das Endresultat von kleinen Differenzen zwischen beobachteten Zeiten ab, die wenig von einander unterschieden und mit einem einflussreichen Beobachtungsfehler behaftet waren, der seinen vollen Werth geltend machte. Da jedoch dieser Gegenstand durch Gauss eine andere Gestalt angenommen, so lohnt es nicht der Mühe, über die frühere Methode viel Worte zu verlieren. Die Aufgabe, die horizontale Erdkraft absolut zu messen, lässt sich einfach folgender Art einsehen. Durch die Oszillationsdauer darum von h zu trennen. Diess wäre bewirkt, wenn sich eine lenkung eines Stabes zu finden, ist bereits in dem Abschnitte: Ablenkung einer Nadel durch einen Magnetstab gelöset, und es ist nur nöthig, die dortige Formel zu unserm Zwecke zu verwenden. Da man in der Reihe für tg v den ersten Coeffizienten zur Bestimmung benutzt, so ist der ablenkende Stab so zu legen, dass dieser Coeffizient ein Maximum werde, d. h. man wird ihn in den magnetischen Aequator der Nadel legen. Man hat dann mit Vernachlässigung von R-7 u. s. w. von und wenn für zwei verschiedene Entfernungen R, R, die Grössen V, V, beobachtet sind |